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浙教版七年级数学下册专题11乘法公式(平方差、完全平方公式)压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题11乘法公式(平方差、完全平方公式)压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)，共41页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12699" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12699 \h 1
\l "_Tc8399" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc8399 \h 1
\l "_Tc20377" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc20377 \h 2
\l "_Tc26806" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc26806 \h 5
\l "_Tc7391" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc7391 \h 6
\l "_Tc29208" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc29208 \h 6
\l "_Tc3262" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc3262 \h 8
\l "_Tc24460" 【考点七 完全平方公式在几何中的应用】 PAGEREF _Tc24460 \h 9
\l "_Tc27095" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc27095 \h 12
\l "_Tc16899" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16899 \h 16
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于x的二次三项式可化为一个二项式的平方，m的值是（ ）
A．8B．16C．8或D．16或
4．（2023春·七年级单元测试）如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ）
A．4块B．6块C．9块D．12块
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，那么的值为_____．
8．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
9．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）先化简再求值：，其中，；
12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
14．（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
15．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（2023春·七年级单元测试）已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
18．（2023春·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
19．（2023春·七年级单元测试）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
20．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
专题11 乘法公式(平方差、完全平方公式)压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12699" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12699 \h 1
\l "_Tc8399" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc8399 \h 1
\l "_Tc20377" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc20377 \h 2
\l "_Tc26806" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc26806 \h 5
\l "_Tc7391" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc7391 \h 6
\l "_Tc29208" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc29208 \h 6
\l "_Tc3262" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc3262 \h 8
\l "_Tc24460" 【考点七 完全平方公式在几何中的应用】 PAGEREF _Tc24460 \h 9
\l "_Tc27095" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc27095 \h 12
\l "_Tc16899" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16899 \h 16
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的逆运用分析求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的知识，熟记平方差公式的结构是解题关键．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式===，
当时，
原式==．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3
②=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可．
【详解】A．不是完全平方式；
B．不是完全平方式；
C．不是完全平方式；
D．是完全平方式；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【答案】B
【分析】由完全平方式的特点可得或 再解方程即可．
【详解】解： 是完全平方式，
∴或
解得：或，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解∶原式
．
当时
原式．
．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
【答案】(1)；
(2)，12
【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入取值求出代数式的值．
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．
【详解】（1）
将代入得：
（2）
将，代入得：
【点睛】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），2；（2）7
【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
当时， 原式；
（2），
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【答案】B
【分析】根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】∵，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出，将代数式因式分解进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式
；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，
，
，
的最小值为；
（3）
解：∵
，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即，据此逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：根据平方差公式可知，不能用平方差公式进行计算，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题关键是掌握平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，注意这两个数其中一个相同，另一个必互为相反数．
2．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
【答案】C
【分析】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于x的二次三项式可化为一个二项式的平方，m的值是（ ）
A．8B．16C．8或D．16或
【答案】C
【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是一个二项式的平方，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用面积公式及割补法分别求出图中正方形①的面积，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
图中正方形①，其边长为，故其面积可表示为：，
利用割补法，正方形①的面积也可计算如下：
，
即有．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形，理解并掌握完全平方公式是解题关键．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ）
A．4块B．6块C．9块D．12块
【答案】C
【分析】直接计算面积求出正方形的边长即可．
【详解】设C类地砖x块，则
因为小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形，
当时，可得
所以C类地砖9块．
故选：C．
【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是利用完全平方化简．
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据完全平方公式进行计算，熟知完全平方公式是解题关键．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，那么的值为_____．
【答案】0
【分析】首先根据多项式乘多项式法则进行运算，把原式化为含有，的形式，再把，代入计算，即可求得其值．
【详解】解：，，
；
故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，把原式化为含有已知式子的形式是解决本题的关键．
8．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
【答案】
【分析】将所给式子变形为，再将所求式子利用完全平方公式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整体思想的运用，不要盲目代入．
9．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】或##或
【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；
【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意得到，，利用完全平方公式和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式、正方形的面积公式、三角形的面积公式，理解题意，掌握完全平方公式的应用是解答的关键．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）先化简再求值：，其中，；
【答案】；
【分析】根据单项式乘以单项式，平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式
【点睛】本题考查了整式的乘法以及化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．
12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，把字母的值代入化简结果即可．
【详解】解：原式．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和准确计算是解题的关键．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用多项式乘多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可求解；
（2）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．
14．（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1)4037
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟记平方差公式．
15．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先计算多项式相乘，然后合并同类项即可；
（2）先计算单项式乘多项式和完全平方公式，然后合并同类项即可；
（3）首先根据整式的混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
∵
∴原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算和代入求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为，再把已知条件式整体代入求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴当，时，原式；
（2）解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．
17．（2023春·七年级单元测试）已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)58
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）解：当，时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
18．（2023春·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，即可求解；
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）①根据所给式子的规律，把x换为3即可求解；根据上述规律计算其和，即可得解．②用添项法，实在补充为题干给定形式，即乘以即可解答．
【详解】（1）；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）①
②
【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
19．（2023春·七年级单元测试）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据题意可得，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（2）根据题意，，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解：设，根据题意可得，
∴，
∴，
∴阴影部分面积面积为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积以及完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
20．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)等边三角形；见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；
（2）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；
（3）①根据可得，，再由可结算结果；
②同①可知，可知，进而可得最小值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
②解：
，
当时，取最小值．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12699" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12699 \h 1
\l "_Tc8399" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc8399 \h 1
\l "_Tc20377" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc20377 \h 2
\l "_Tc26806" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc26806 \h 5
\l "_Tc7391" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc7391 \h 6
\l "_Tc29208" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc29208 \h 6
\l "_Tc3262" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc3262 \h 8
\l "_Tc24460" 【考点七 完全平方公式在几何中的应用】 PAGEREF _Tc24460 \h 9
\l "_Tc27095" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc27095 \h 12
\l "_Tc16899" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16899 \h 16
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于x的二次三项式可化为一个二项式的平方，m的值是（ ）
A．8B．16C．8或D．16或
4．（2023春·七年级单元测试）如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ）
A．4块B．6块C．9块D．12块
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，那么的值为_____．
8．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
9．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）先化简再求值：，其中，；
12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
14．（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
15．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（2023春·七年级单元测试）已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
18．（2023春·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
19．（2023春·七年级单元测试）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
20．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
专题11 乘法公式(平方差、完全平方公式)压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12699" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12699 \h 1
\l "_Tc8399" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc8399 \h 1
\l "_Tc20377" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc20377 \h 2
\l "_Tc26806" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc26806 \h 5
\l "_Tc7391" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc7391 \h 6
\l "_Tc29208" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc29208 \h 6
\l "_Tc3262" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc3262 \h 8
\l "_Tc24460" 【考点七 完全平方公式在几何中的应用】 PAGEREF _Tc24460 \h 9
\l "_Tc27095" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc27095 \h 12
\l "_Tc16899" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16899 \h 16
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的逆运用分析求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的知识，熟记平方差公式的结构是解题关键．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式===，
当时，
原式==．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3
②=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可．
【详解】A．不是完全平方式；
B．不是完全平方式；
C．不是完全平方式；
D．是完全平方式；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【答案】B
【分析】由完全平方式的特点可得或 再解方程即可．
【详解】解： 是完全平方式，
∴或
解得：或，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解∶原式
．
当时
原式．
．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
【答案】(1)；
(2)，12
【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入取值求出代数式的值．
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．
【详解】（1）
将代入得：
（2）
将，代入得：
【点睛】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），2；（2）7
【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
当时， 原式；
（2），
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【答案】B
【分析】根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】∵，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出，将代数式因式分解进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式
；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，
，
，
的最小值为；
（3）
解：∵
，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即，据此逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：根据平方差公式可知，不能用平方差公式进行计算，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题关键是掌握平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，注意这两个数其中一个相同，另一个必互为相反数．
2．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
【答案】C
【分析】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于x的二次三项式可化为一个二项式的平方，m的值是（ ）
A．8B．16C．8或D．16或
【答案】C
【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是一个二项式的平方，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用面积公式及割补法分别求出图中正方形①的面积，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
图中正方形①，其边长为，故其面积可表示为：，
利用割补法，正方形①的面积也可计算如下：
，
即有．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形，理解并掌握完全平方公式是解题关键．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ）
A．4块B．6块C．9块D．12块
【答案】C
【分析】直接计算面积求出正方形的边长即可．
【详解】设C类地砖x块，则
因为小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形，
当时，可得
所以C类地砖9块．
故选：C．
【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是利用完全平方化简．
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据完全平方公式进行计算，熟知完全平方公式是解题关键．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，那么的值为_____．
【答案】0
【分析】首先根据多项式乘多项式法则进行运算，把原式化为含有，的形式，再把，代入计算，即可求得其值．
【详解】解：，，
；
故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，把原式化为含有已知式子的形式是解决本题的关键．
8．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
【答案】
【分析】将所给式子变形为，再将所求式子利用完全平方公式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整体思想的运用，不要盲目代入．
9．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】或##或
【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；
【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意得到，，利用完全平方公式和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式、正方形的面积公式、三角形的面积公式，理解题意，掌握完全平方公式的应用是解答的关键．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）先化简再求值：，其中，；
【答案】；
【分析】根据单项式乘以单项式，平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式
【点睛】本题考查了整式的乘法以及化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．
12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，把字母的值代入化简结果即可．
【详解】解：原式．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和准确计算是解题的关键．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用多项式乘多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可求解；
（2）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．
14．（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1)4037
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟记平方差公式．
15．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先计算多项式相乘，然后合并同类项即可；
（2）先计算单项式乘多项式和完全平方公式，然后合并同类项即可；
（3）首先根据整式的混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
∵
∴原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算和代入求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为，再把已知条件式整体代入求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴当，时，原式；
（2）解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．
17．（2023春·七年级单元测试）已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)58
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）解：当，时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
18．（2023春·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，即可求解；
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）①根据所给式子的规律，把x换为3即可求解；根据上述规律计算其和，即可得解．②用添项法，实在补充为题干给定形式，即乘以即可解答．
【详解】（1）；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）①
②
【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
19．（2023春·七年级单元测试）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据题意可得，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（2）根据题意，，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解：设，根据题意可得，
∴，
∴，
∴阴影部分面积面积为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积以及完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
20．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)等边三角形；见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；
（2）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；
（3）①根据可得，，再由可结算结果；
②同①可知，可知，进而可得最小值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
②解：
，
当时，取最小值．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键．
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