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2024年海南省海口市中考数学二模试卷（含答案）
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这是一份2024年海南省海口市中考数学二模试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）相反数等于4的数是（ ）
A．2和﹣2B．4和4C．4D．﹣4
2．（3分）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a6÷a3＝a2C．a3﹣a2＝aD．（﹣a3）2＝a6
3．（3分）2024年海南春节假期接待游客约9510000人，数据9510000用科学记数法表示为（ ）
A．95.1×106B．9.51×106C．9.51×107D．0.951×108
4．（3分）若代数式和的值相等，则n等于（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2
6．（3分）某商店在一周内卖出某种品牌衬衫的尺寸数据如下：
38，42，38，41，36，41，39，40，41，40，43
那么这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．40，40B．41，40C．40，41D．41，41
7．（3分）如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．100°
9．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别是边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，使得四边形BCFD是平行四边形的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．∠A＝∠FC．BD＝CFD．AB＝AC
10．（3分）已知点（a﹣1，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．4
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．1C．D．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当x＝5时，y的值为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（3分）化简：＝ ．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，分别以A、B为圆心，大于为半径在AB两侧作弧，两弧的交点分别为M、N，直线MN交AC于点D，在直线MN上取一点E，连接AE、BE，若BE∥AC，且BE＝6，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B'落在对角线AC上，则∠DAB'＝ °，B'C'交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于 ．
三、解答题(本大题满分72分)
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（10分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题．
19．（10分）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ ；
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 °；
（3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人；
（4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ．
20．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝96厘米，DE＝28厘米，EC＝42厘米．
（1）∠D′AD＝ °，D'E'＝ 厘米；
（2）求点D'到BC的距离（结果保留根号）；
（3）求E、E′两点的距离．
21．（15分）如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠ACE＝90°，M是AC上的动点（不与点A、C重合），连接BM，作BN⊥MB，交射线CE千点N，连接MN．
（1）求证：△ABM≌△CBN；
（2）点M在运动过程中，四边形BMCN的面积是否改变，若不变，请求出四边形BMCN面积；若改变，请说明理由；
（3）如图2，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，AB＝4，AD＝4，其他条件不变．
①请判断线段AM与线段CN的数量关系，并说明理由；
②若BC把四边形BMCN的面积分为1：2两部分，求此时线段CN的长．
22．（15分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD＝CE时，求CE的长；
（3）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。
1．（3分）相反数等于4的数是（ ）
A．2和﹣2B．4和4C．4D．﹣4
【解答】解：相反数等于4的数是﹣4，
故选：D．
2．（3分）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a6÷a3＝a2C．a3﹣a2＝aD．（﹣a3）2＝a6
【解答】解：A．∵a3•a3＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵a6÷a3＝a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a3，a2不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣a3）2＝a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）2024年海南春节假期接待游客约9510000人，数据9510000用科学记数法表示为（ ）
A．95.1×106B．9.51×106C．9.51×107D．0.951×108
【解答】解：9510000＝9.51×106．
故选：B．
4．（3分）若代数式和的值相等，则n等于（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
【解答】解：A．当n＝1时，代数式的值为1，代数式的值为1，两者相等，故A正确；
B．当n＝2时，代数式和代数式的值不相等，故B错误；
C．当n＝﹣2时，代数式和代数式的值不相等，故C正确；
D．当n＝﹣1时，代数式无意义，故D正确，
故选：A．
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2
【解答】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
6．（3分）某商店在一周内卖出某种品牌衬衫的尺寸数据如下：
38，42，38，41，36，41，39，40，41，40，43
那么这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．40，40B．41，40C．40，41D．41，41
【解答】解：把已知数据重新从小到大排序后为36，38，38，39，40，40，41，41，41，42，43，
∴中位数为40，众数为41．
故选：C．
7．（3分）如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项A符合题意；
选项B、C、D的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．100°
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠A＝70°，
∴∠2＝70°．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别是边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，使得四边形BCFD是平行四边形的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．∠A＝∠FC．BD＝CFD．AB＝AC
【解答】解：∵D、E两点分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
A、∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ADF，∴FC∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，故符合题意；
B、∵∠A＝∠F，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BD＝CF，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵AB＝AC，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
10．（3分）已知点（a﹣1，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．4
【解答】解：∵点P（a，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴2＝﹣，
解得a＝﹣2，
故选：B．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．1C．D．
【解答】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝AD＝2，
∴⊙O的半径为，
故选：C．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当x＝5时，y的值为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【解答】解：当点P运动到点C处时，x＝6，即EB+BC＝6，
当点P运动到点D处时，x＝10，即EB+BC+DC＝10，
∴DC＝4，
∵AE＝1，
∴EB＝3，
∴BC＝3，
当x＝5时，点P在BC上，且BP＝2，CP＝1，
如图，
∴y＝AB•CD﹣AD•AE﹣DC•CP﹣BE•BP
＝3×4﹣×1×3﹣×3×2﹣×1×4
＝5.5，
故选：C．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（3分）化简：＝ 2a+4 ．
【解答】解：原式＝
＝2（a+2）
＝2a+4．
故答案为：2a+4．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为 9 ．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝9．
故答案为：9．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，分别以A、B为圆心，大于为半径在AB两侧作弧，两弧的交点分别为M、N，直线MN交AC于点D，在直线MN上取一点E，连接AE、BE，若BE∥AC，且BE＝6，则BC的长为 4 ．
【解答】解：连接BD，由作图可知，MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BOD＝∠BOE＝90°，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵BE∥AC，
∴∠DAB＝∠ABE，
∴∠ABD＝ABE，
在△OBD和△OBE中，
，
∴△OBD≌△OBE（AAS），
∴BD＝BE＝AD＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2，
在Rt△BCD中，
BC＝＝4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B'落在对角线AC上，则∠DAB'＝ 30 °，B'C'交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴AC平分∠DAB，∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DAB′＝．
过点D作AC的垂线，垂足为M，
在Rt△DAM中，
sin∠DAB′＝，
∴DM＝，
∴AM＝，
∴AC＝2AM＝2，
∴．
∵∠B′＝∠B＝120°，
∴∠EB′C＝60°，
又∵∠DCM＝30°，
∴∠B′EC＝90°．
又∵B′C＝AC﹣AB′＝，
则在Rt△CEB′中，
sin∠ECB′＝，
∴EB′＝，
同理可得，CE＝3﹣，
∴＝，
∴S四边形DAB′E＝S△ADC﹣S△CEB′＝＝3﹣．
故答案为：30，．
三、解答题(本大题满分72分)
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝18÷9﹣2
＝2﹣2
＝0；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
18．（10分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题．
【解答】解：设共x人合伙购物，物价是y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共7人合伙购物，物价是53钱．
19．（10分）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 100 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ 15 ；
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 36 °；
（3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 300 人；
（4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取了50÷50%＝100（名）学生的成绩．
n%＝15÷100×100%＝15%，
∴n＝15．
故答案为：100；15．
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为360°×＝36°．
故答案为：36．
（3）成绩优秀的学生大约有2000×15%＝300（人）．
故答案为：300．
（4）由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名女生的结果有4种，
∴恰好抽到一名女生的概率为＝．
故答案为：．
20．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝96厘米，DE＝28厘米，EC＝42厘米．
（1）∠D′AD＝ 60 °，D'E'＝ 28 厘米；
（2）求点D'到BC的距离（结果保留根号）；
（3）求E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）由旋转得：∠DAD′＝60°，DE＝D′E′＝28厘米，
故答案为：60；28；
（2）过点D′作D′F⊥AD，垂足为F，
由旋转得：AD＝AD′＝96厘米，
在Rt△AD′F中，∠DAD′＝60°，
∴D′F＝AD′•sin60°＝96×＝48（厘米），
∵DE＝28厘米，EC＝42厘米，
∴点D'到BC的距离＝D′F+DE+EC＝（48+70）厘米，
∴点D'到BC的距离为（48+70）厘米，
（3）连接AE，AE′，EE′，
在Rt△ADE中，AD＝96厘米，DE＝28厘米，
∴AE＝＝＝100（厘米），
由旋转得：AE＝AE′，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE＝100厘米，
∴E、E′两点的距离为100厘米．
21．（15分）如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠ACE＝90°，M是AC上的动点（不与点A、C重合），连接BM，作BN⊥MB，交射线CE千点N，连接MN．
（1）求证：△ABM≌△CBN；
（2）点M在运动过程中，四边形BMCN的面积是否改变，若不变，请求出四边形BMCN面积；若改变，请说明理由；
（3）如图2，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，AB＝4，AD＝4，其他条件不变．
①请判断线段AM与线段CN的数量关系，并说明理由；
②若BC把四边形BMCN的面积分为1：2两部分，求此时线段CN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，即∠ABM+∠MBC＝90°，
∵BN⊥MB，
∴∠MBC+∠CBN＝90°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCN＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝∠BCN，即∠MAB＝∠NCB，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA）；
（2）解：四边形BMCN的面积不改变，理由如下：
由（1）知，△ABM≌△CBN，
∴S△ABM＝S△CBN，
∴S△ABM+S△BMC＝S△CBN+S△BMC，
即S△ABC＝S四边形BMCN，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴S△ABC＝×4×4＝8，
∴S四边形BMCN＝8；
（3）解：①AM＝CN，理由如下：
：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，即∠ABM+∠MBC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCN+∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠BCN，
∵BN⊥MB，
∴∠MBC+∠CBN＝90°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4，
∴＝＝，
∴AM＝CN；
②当S△BCN：S△BCM＝1：2时，过M作MH⊥AB于H，如图：
设S△BCN＝x，则S△BCM＝2x，
由①知，△ABM∽△CBN，AM＝CN，
∴＝（）2＝2，
∴S△ABM＝2S△CBN＝2x，
∴S△ABC＝S△BCM+S△ABM＝2x+2x＝4x，
∵AB＝4，AD＝4＝BC，
∴4x＝×4×4，
∴x＝2，
∴S△ABM＝2x＝4，
∴AB•MH＝4，即×4•MH＝4，
∴MH＝2，
∵∠MAH＝∠CAB，∠MHA＝∠CBA＝90°，
∴△AMH∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AH＝2，
∴AM＝＝＝2，
∴2＝CN，
∴CN＝；
当S△BCM：S△BCN＝1：2时，过M作MH⊥AB于H，如图：
同理可得S△ABM＝，MH＝，AH＝，
∴AM＝，
∴CN＝＝．
综上所述，CN的长为或．
22．（15分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD＝CE时，求CE的长；
（3）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），
将点C代入可得﹣8a＝4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）①连接PB，
∵△ABD的面积是△PBD面积的3倍，
∴AD＝3DP，
过点P作PM∥y轴交于BC于点M，过点A作AN∥y轴交BC于点N，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴M（t，﹣t+4），N（﹣2，6），
∴PM＝﹣t2+2t，AN＝6，
∴AN＝3PM，
∴6＝3（﹣t2+2t），
解得t＝2，
∴P（2，4）；
②设P（m，﹣m2+m+4），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣4）x+4﹣m，
∴E（0，4﹣m），
∴CE＝m，
当﹣x+4＝﹣（m﹣4）x+4﹣m时，解得x＝，
∴D（，4﹣），
∴CD＝•，
∵CD＝CE，
∴•＝m，
解得m＝6﹣2，
∴CE＝6﹣2；
（3）存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝|﹣n2+n+4+n﹣4|＝|﹣n2+2n|，
∵C（0，4），
∴CP＝，
∵PF∥CQ，
∴CP∥FQ，
∴PF＝CF＝CQ，
当P点在F点上方时，﹣n2+2n＝
解得n＝2，
∴F（2，4），
∴Q（0，2）；
当P点在F点下方时，n2﹣2n＝，
解得n＝2（舍）；
综上所述：Q点坐标为（2，2）．
1．（3分）相反数等于4的数是（ ）
A．2和﹣2B．4和4C．4D．﹣4
2．（3分）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a6÷a3＝a2C．a3﹣a2＝aD．（﹣a3）2＝a6
3．（3分）2024年海南春节假期接待游客约9510000人，数据9510000用科学记数法表示为（ ）
A．95.1×106B．9.51×106C．9.51×107D．0.951×108
4．（3分）若代数式和的值相等，则n等于（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2
6．（3分）某商店在一周内卖出某种品牌衬衫的尺寸数据如下：
38，42，38，41，36，41，39，40，41，40，43
那么这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．40，40B．41，40C．40，41D．41，41
7．（3分）如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．100°
9．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别是边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，使得四边形BCFD是平行四边形的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．∠A＝∠FC．BD＝CFD．AB＝AC
10．（3分）已知点（a﹣1，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．4
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．1C．D．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当x＝5时，y的值为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（3分）化简：＝ ．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，分别以A、B为圆心，大于为半径在AB两侧作弧，两弧的交点分别为M、N，直线MN交AC于点D，在直线MN上取一点E，连接AE、BE，若BE∥AC，且BE＝6，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B'落在对角线AC上，则∠DAB'＝ °，B'C'交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于 ．
三、解答题(本大题满分72分)
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（10分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题．
19．（10分）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ ；
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 °；
（3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人；
（4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ．
20．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝96厘米，DE＝28厘米，EC＝42厘米．
（1）∠D′AD＝ °，D'E'＝ 厘米；
（2）求点D'到BC的距离（结果保留根号）；
（3）求E、E′两点的距离．
21．（15分）如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠ACE＝90°，M是AC上的动点（不与点A、C重合），连接BM，作BN⊥MB，交射线CE千点N，连接MN．
（1）求证：△ABM≌△CBN；
（2）点M在运动过程中，四边形BMCN的面积是否改变，若不变，请求出四边形BMCN面积；若改变，请说明理由；
（3）如图2，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，AB＝4，AD＝4，其他条件不变．
①请判断线段AM与线段CN的数量关系，并说明理由；
②若BC把四边形BMCN的面积分为1：2两部分，求此时线段CN的长．
22．（15分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD＝CE时，求CE的长；
（3）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。
1．（3分）相反数等于4的数是（ ）
A．2和﹣2B．4和4C．4D．﹣4
【解答】解：相反数等于4的数是﹣4，
故选：D．
2．（3分）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a6÷a3＝a2C．a3﹣a2＝aD．（﹣a3）2＝a6
【解答】解：A．∵a3•a3＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵a6÷a3＝a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a3，a2不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣a3）2＝a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）2024年海南春节假期接待游客约9510000人，数据9510000用科学记数法表示为（ ）
A．95.1×106B．9.51×106C．9.51×107D．0.951×108
【解答】解：9510000＝9.51×106．
故选：B．
4．（3分）若代数式和的值相等，则n等于（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
【解答】解：A．当n＝1时，代数式的值为1，代数式的值为1，两者相等，故A正确；
B．当n＝2时，代数式和代数式的值不相等，故B错误；
C．当n＝﹣2时，代数式和代数式的值不相等，故C正确；
D．当n＝﹣1时，代数式无意义，故D正确，
故选：A．
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2
【解答】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
6．（3分）某商店在一周内卖出某种品牌衬衫的尺寸数据如下：
38，42，38，41，36，41，39，40，41，40，43
那么这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．40，40B．41，40C．40，41D．41，41
【解答】解：把已知数据重新从小到大排序后为36，38，38，39，40，40，41，41，41，42，43，
∴中位数为40，众数为41．
故选：C．
7．（3分）如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项A符合题意；
选项B、C、D的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．100°
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠A＝70°，
∴∠2＝70°．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别是边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，使得四边形BCFD是平行四边形的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．∠A＝∠FC．BD＝CFD．AB＝AC
【解答】解：∵D、E两点分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
A、∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ADF，∴FC∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，故符合题意；
B、∵∠A＝∠F，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BD＝CF，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵AB＝AC，不能使得四边形BCFD是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
10．（3分）已知点（a﹣1，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．4
【解答】解：∵点P（a，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴2＝﹣，
解得a＝﹣2，
故选：B．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．1C．D．
【解答】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝AD＝2，
∴⊙O的半径为，
故选：C．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当x＝5时，y的值为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【解答】解：当点P运动到点C处时，x＝6，即EB+BC＝6，
当点P运动到点D处时，x＝10，即EB+BC+DC＝10，
∴DC＝4，
∵AE＝1，
∴EB＝3，
∴BC＝3，
当x＝5时，点P在BC上，且BP＝2，CP＝1，
如图，
∴y＝AB•CD﹣AD•AE﹣DC•CP﹣BE•BP
＝3×4﹣×1×3﹣×3×2﹣×1×4
＝5.5，
故选：C．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（3分）化简：＝ 2a+4 ．
【解答】解：原式＝
＝2（a+2）
＝2a+4．
故答案为：2a+4．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为 9 ．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝9．
故答案为：9．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，分别以A、B为圆心，大于为半径在AB两侧作弧，两弧的交点分别为M、N，直线MN交AC于点D，在直线MN上取一点E，连接AE、BE，若BE∥AC，且BE＝6，则BC的长为 4 ．
【解答】解：连接BD，由作图可知，MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BOD＝∠BOE＝90°，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵BE∥AC，
∴∠DAB＝∠ABE，
∴∠ABD＝ABE，
在△OBD和△OBE中，
，
∴△OBD≌△OBE（AAS），
∴BD＝BE＝AD＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2，
在Rt△BCD中，
BC＝＝4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B'落在对角线AC上，则∠DAB'＝ 30 °，B'C'交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴AC平分∠DAB，∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DAB′＝．
过点D作AC的垂线，垂足为M，
在Rt△DAM中，
sin∠DAB′＝，
∴DM＝，
∴AM＝，
∴AC＝2AM＝2，
∴．
∵∠B′＝∠B＝120°，
∴∠EB′C＝60°，
又∵∠DCM＝30°，
∴∠B′EC＝90°．
又∵B′C＝AC﹣AB′＝，
则在Rt△CEB′中，
sin∠ECB′＝，
∴EB′＝，
同理可得，CE＝3﹣，
∴＝，
∴S四边形DAB′E＝S△ADC﹣S△CEB′＝＝3﹣．
故答案为：30，．
三、解答题(本大题满分72分)
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝18÷9﹣2
＝2﹣2
＝0；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
18．（10分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题．
【解答】解：设共x人合伙购物，物价是y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共7人合伙购物，物价是53钱．
19．（10分）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 100 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ 15 ；
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 36 °；
（3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 300 人；
（4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取了50÷50%＝100（名）学生的成绩．
n%＝15÷100×100%＝15%，
∴n＝15．
故答案为：100；15．
（2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为360°×＝36°．
故答案为：36．
（3）成绩优秀的学生大约有2000×15%＝300（人）．
故答案为：300．
（4）由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名女生的结果有4种，
∴恰好抽到一名女生的概率为＝．
故答案为：．
20．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝96厘米，DE＝28厘米，EC＝42厘米．
（1）∠D′AD＝ 60 °，D'E'＝ 28 厘米；
（2）求点D'到BC的距离（结果保留根号）；
（3）求E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）由旋转得：∠DAD′＝60°，DE＝D′E′＝28厘米，
故答案为：60；28；
（2）过点D′作D′F⊥AD，垂足为F，
由旋转得：AD＝AD′＝96厘米，
在Rt△AD′F中，∠DAD′＝60°，
∴D′F＝AD′•sin60°＝96×＝48（厘米），
∵DE＝28厘米，EC＝42厘米，
∴点D'到BC的距离＝D′F+DE+EC＝（48+70）厘米，
∴点D'到BC的距离为（48+70）厘米，
（3）连接AE，AE′，EE′，
在Rt△ADE中，AD＝96厘米，DE＝28厘米，
∴AE＝＝＝100（厘米），
由旋转得：AE＝AE′，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE＝100厘米，
∴E、E′两点的距离为100厘米．
21．（15分）如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠ACE＝90°，M是AC上的动点（不与点A、C重合），连接BM，作BN⊥MB，交射线CE千点N，连接MN．
（1）求证：△ABM≌△CBN；
（2）点M在运动过程中，四边形BMCN的面积是否改变，若不变，请求出四边形BMCN面积；若改变，请说明理由；
（3）如图2，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，AB＝4，AD＝4，其他条件不变．
①请判断线段AM与线段CN的数量关系，并说明理由；
②若BC把四边形BMCN的面积分为1：2两部分，求此时线段CN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，即∠ABM+∠MBC＝90°，
∵BN⊥MB，
∴∠MBC+∠CBN＝90°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCN＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝∠BCN，即∠MAB＝∠NCB，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA）；
（2）解：四边形BMCN的面积不改变，理由如下：
由（1）知，△ABM≌△CBN，
∴S△ABM＝S△CBN，
∴S△ABM+S△BMC＝S△CBN+S△BMC，
即S△ABC＝S四边形BMCN，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴S△ABC＝×4×4＝8，
∴S四边形BMCN＝8；
（3）解：①AM＝CN，理由如下：
：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，即∠ABM+∠MBC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCN+∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠BCN，
∵BN⊥MB，
∴∠MBC+∠CBN＝90°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4，
∴＝＝，
∴AM＝CN；
②当S△BCN：S△BCM＝1：2时，过M作MH⊥AB于H，如图：
设S△BCN＝x，则S△BCM＝2x，
由①知，△ABM∽△CBN，AM＝CN，
∴＝（）2＝2，
∴S△ABM＝2S△CBN＝2x，
∴S△ABC＝S△BCM+S△ABM＝2x+2x＝4x，
∵AB＝4，AD＝4＝BC，
∴4x＝×4×4，
∴x＝2，
∴S△ABM＝2x＝4，
∴AB•MH＝4，即×4•MH＝4，
∴MH＝2，
∵∠MAH＝∠CAB，∠MHA＝∠CBA＝90°，
∴△AMH∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AH＝2，
∴AM＝＝＝2，
∴2＝CN，
∴CN＝；
当S△BCM：S△BCN＝1：2时，过M作MH⊥AB于H，如图：
同理可得S△ABM＝，MH＝，AH＝，
∴AM＝，
∴CN＝＝．
综上所述，CN的长为或．
22．（15分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD＝CE时，求CE的长；
（3）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），
将点C代入可得﹣8a＝4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）①连接PB，
∵△ABD的面积是△PBD面积的3倍，
∴AD＝3DP，
过点P作PM∥y轴交于BC于点M，过点A作AN∥y轴交BC于点N，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴M（t，﹣t+4），N（﹣2，6），
∴PM＝﹣t2+2t，AN＝6，
∴AN＝3PM，
∴6＝3（﹣t2+2t），
解得t＝2，
∴P（2，4）；
②设P（m，﹣m2+m+4），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣4）x+4﹣m，
∴E（0，4﹣m），
∴CE＝m，
当﹣x+4＝﹣（m﹣4）x+4﹣m时，解得x＝，
∴D（，4﹣），
∴CD＝•，
∵CD＝CE，
∴•＝m，
解得m＝6﹣2，
∴CE＝6﹣2；
（3）存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝|﹣n2+n+4+n﹣4|＝|﹣n2+2n|，
∵C（0，4），
∴CP＝，
∵PF∥CQ，
∴CP∥FQ，
∴PF＝CF＝CQ，
当P点在F点上方时，﹣n2+2n＝
解得n＝2，
∴F（2，4），
∴Q（0，2）；
当P点在F点下方时，n2﹣2n＝，
解得n＝2（舍）；
综上所述：Q点坐标为（2，2）．
