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2023年海南省海口市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年海南省海口市中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省海口市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−3|的相反数是( )
A. −3 B. 3 C. 13 D. ±3
2. 数据160000000用科学记数法表示为( )
A. 16×107 B. 1.6×107 C. 1.6×108 D. 1.6×109
3. 计算(2ab)2÷ab2，正确的结果是( )
A. 2a B. 4a C. 2 D. 4
4. 若x−3y=4，则3−2x+6y的值是( )
A. −5 B. −1 C. 8 D. 11
5. 下面有4组立体图形，从左面看与其他3组不同的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线a//b，CD⊥AB于点D，若∠1=36°，则∠2等于( )
A. 54°
B. 126°
C. 136°
D. 144°
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分∠BAC，则AD等于( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
8. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是( )
A. 4
B. 6
C. 9
D. 16
9. 掷一枚普通的硬币三次，落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 38
10. 如图，直线y=−12x与双曲线y=kx相交于A(−2,1)、B两点，则点B坐标为( )
A. (2,−1)
B. (1,−2)
C. (1,−12)
D. (12,−1)
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4.以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则BE等于( )
A. 32 B. 4− 5 C. 3−12 D. 5−1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：2a2−8a+8=______．
14. 方程1x−2=32x+1的解为______ ．
15. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠APC=32°，则∠ADC= ______ °.
16. 如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，E为边CD的中点，连接BE，则菱形ABCD的面积等于______ ，BE的长等于______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：6×2−3− 482 3+(56)0；
(2)求不等式组x−2≤2xx−1<1+2x3的所有整数解．
18. (本小题10.0分)
为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，我市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息为：甲型号挖掘机每小时每台挖掘土石方60m3，乙型号挖掘机每小时每台挖掘土石方80m3.若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
19. (本小题10.0分)
为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，按学生身高情况分为5组，并绘制了如下的统计图表：
学生身高情况分组表：
组别
身高(单位：cm)
A
x<155
B
155≤x<160
C
160≤x<165
D
165≤x<170
E
x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)样本中，男生的身高众数在______ 组，中位数在______ 组；
(2)样本中，女生身高在E组的人数有______ 人，中位数在______ 组；
(3)已知该校共有男生400人，女生380人，估计身高在160≤x<170之间的学生约有______ 人.
20. (本小题10.0分)
小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，点A、B、C、D在同一平面内．
(1)填空：∠BAC= ______ °，∠ADC= ______ °；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道AB的长.(结果保留根号)
21. (本小题15.0分)
(1)【证明推断】如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的动点(与点B、D不重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G．
①求证：△ABE≌△FGE；
②求EFAE的值；
(2)【类比探究】如图2，将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变．
①若AB=3，BC=4，求EFAE的值；
②若AB=m⋅BC，直接写出EFAE的值(用含m的代数式表示)；
(3)【拓展运用】如图3，在矩形ABCD中，点E是对角线BD上一点(与点B、D不重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G，连接CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长．
22. (本小题15.0分)
在平面直角坐标系中，把抛物线y1=−12x2向右平移2个单位，再向上平移92个单位后得到的新抛物线为y2=ax2+bx+c(a≠0)，新抛物线的顶点为D，对称轴与原抛物线交于点E．
(1)写出新抛物线的解析式，及其与x轴的两个交点A、B的坐标；
(2)点P是新抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为t．
①如图1，过点P作PF⊥DE于点F，当2
③若点Q是x轴上一点，求使以点A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−3|的相反数是−3．
故选：A．
根据绝对值和相反数的性质求解．
本题考查了绝对值和相反数，掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】
解：将160000000用科学记数法表示为：1.6×108．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：(2ab)2÷ab2
=4a2b2÷ab2
=4a．
故选：B．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵x−3y=4，
∴3−2x+6y
=3−2(x−3y)
=3−2×4
=−5，
故选：A．
将3−2x+6y变形得3−2(x−3y)，然后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将3−2x+6y变形为3−2(x−3y)是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：上面4组立体图形，从左面看的图形分别得到的形状图，如图所示：
故选项C与其他3组不同；
故选：C．
分别画出从左面看4组立体图形得到的形状图，然后比较即可得出答案．
此题考查了从三个不同方向看几何体，熟练掌握从左面看立体图形得到的形状图是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠1=36°，
∴∠BCD=36°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ABC=54°，
∵a//b，
∴∠2=180°−∠ABC=126°，
故选：B．
依据对顶角相等，可得∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质，可得∠ABC的度数，最后利用平行线的性质，即可得出∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=6，
在Rt△ABD中，AD= AB2−BD2= 102−62=8，
故选：C．
根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD=DC=12BC=6，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．
∴C△ABC：C△DEF=2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长是6，
故选：B．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
9.【答案】D
【解析】解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面一个反面朝上的结果有3种，
∴落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是38，
故选：D．
画树状图，共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面一个反面朝上的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】A
【解析】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为(2,−1)．
故选：A．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数．
11.【答案】B
【解析】解：由作图知，AF⊥BC，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．
∴AB= 3AC=4 3，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴BF= 32AB= 32×4 3=6，
故选：B．
根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，DC=AB，AD=BC，∠ADC=∠B=90°，
∴∠DCE=∠BEC，
∵把△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上的点F处，AE=2，
∴FC=BC，EF=BE，∠FEC=∠BEC，∠CFE=∠B=90°，
∴∠DCE=∠FEC，AD=FC，
∴DE=DC=AB=2+BE，
∵DE=DF+FE=DF+BE，
∴DF+BE=2+BE，
∴DF=2，
∵点E，F，D在同一条直线上，
∴∠AFD=∠DFC=90°，
∵∠ADF=∠DCF=90°−∠CDF，
∴DFAD=cos∠ADF=cos∠DCF=FCDC，
∴AD2=DF⋅DC=2(2+BE)，
∵AD2=DE2−AE2=(2+BE)2−22，
∴2(2+BE)=(2+BE)2−22，
解得BE= 5−1或BE=− 5−1(不符合题意，舍去)，
故选：D．
由矩形的性质得DC//AB，∠ADC=∠B=90°，所以∠DCE=∠BEC，由折叠得FC=BC，EF=BE，∠FEC=∠BEC，∠CFE=∠B=90°，所以∠DCE=∠FEC，AD=FC，则DE=DC=AB=2+BE，由DF+BE=2+BE，得DF=2，由∠AFD=∠DFC=90°，∠ADF=∠DCF，得DFAD=cos∠ADF=cos∠DCF=FCDC，则AD2=2(2+BE)，而AD2=(2+BE)2−22，所以2(2+BE)=(2+BE)2−22，解方程求出符合题意的BE的值即可．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明DE=DC是解题的关键．
13.【答案】2(a−2)2
【解析】解：2a2−8a+8
=2(a2−4a+4)
=2(a−2)2．
故答案为：2(a−2)2．
首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
14.【答案】x=7
【解析】解：方程两边都乘以(x−2)(2x+1)得，
2x+1=3(x−2)，
解得：x=7，
检验：当x=7时，(x−2)(2x+1)=(7−2)×(2×7+1)=75≠0，
所以，x=7是方程的解，
所以，原分式方程的解是x=7．
故答案为：x=7．
方程两边都乘以(x−2)(2x+1)化为整式方程，然后求解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】61
【解析】解：连接OC，
∵PC切圆于C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=32°，
∴∠AOC=∠P+∠OCP=122°，
∴∠D=12∠AOC=61°．
故答案为：61．
由切线的性质得到∠OCP=90°，由三角形外角的性质求出∠AOC的度数，由圆周角定理即可求出∠D的度数．
本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16.【答案】2 3 7
【解析】解：如图，连接AC，AE，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，
∴∠D=60°，AD=CD=AB=2，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，
∵E为边CD的中点，
∴AE⊥CD，CE=DE=1，
∴AE= 3DE= 3，
∴菱形ABCD的面积=CD⋅AE=2 3；
∵AB//CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴BE= AB2+AE2= 22+( 3)2= 7．
故答案为：2 3； 7．
连接AC，AE，证明△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质证明AE⊥CD，CE=DE=1，然后可以求出菱形面积；再利用勾股定理求出BE．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ADC是等边三角形．
17.【答案】解：(1)原式=6×18−2+1
=34−2+1
=−14；
(2)x−2≤2x①x−1<1+2x3②，
解不等式①得x≥−2；
解不等式②x<4，
∴不等式组解集为−2≤x<4，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，2，3．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，最后合并；
(2)求出每个不等式的解集，再求出公共解集，取符合条件的整数即可．
本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和取公共解集的方法．
18.【答案】解：设需甲型号的挖掘机x台，则乙两种型号的挖掘机(8−x)台，
由题意得：60x+80(8−x)=540，
解得：x=5，
∴8−x=3，
答：需甲型号的挖掘机5台，则乙两种型号的挖掘机3台．
【解析】根据“每小时挖掘土石方540m号“列方程求解．
本题考查了一元一次方程是应用，找到相等关系是解题的关键．
19.【答案】C C 2 B 322
【解析】解：(1)根据条形图可知，C组人数最多，故男生身高的众数在C组，
男生总人数为4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为：C；C；
(2)女生身高在E组的频率为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人，
女生身高的分布为：A组：40×17.5%=7，B组：40×37.5%=15，C组：40×25%=10，D组：40×15%=6，E组：2，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在B组，
∴中位数在B组，
故答案为：2；B；
(3)400×10+840+380×(25%+15%)=180+152=332(人)．
答：估计该校身高在160≤x<170之间的学生约有332人．
故答案为：332．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数，根据中位数的定义，然后计算即可得解；
(3)分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，掌握利用统计图获取信息和众数、中位数的定义是关键．
20.【答案】75 90
【解析】解；(1)由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°−45°−45°=90°，
∠BAC=45°+(90°−60°)=75°；
故答案为：75°，90°；
(2)在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=100 3×tan60°=100 3× 3=300(米)，
答：点D与点A的距离为300米．
(3)过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE=45°，∠BDE=60°，
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300× 22=150 2(米)，
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=150 2×tan60°=150 2× 3=150 6(米)，
∴AB=AE+BE=(150 2+150 6)(米)，
答：隧道AB的长为(150 2+150 6)米．
(1)根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，∠BAC=45°+(90°−60°)=75°；
(2)解Rt△ADC即可求解；
(3)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABE=∠GBE=45°，
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF=∠BEG=90°，
∴∠AEF−∠BEF=∠BEG−∠BEF，∠G=90°−∠EBG=45°，
∴∠AEB=∠FEG，∠ABE=∠EBG=∠G，
∴BE=EG，
在△ABE和△FGE中，
∠ABE=∠GBE=FG∠AEF=∠FEG，
∴△ABE≌△FGE(ASA)；
②解：由①知：△ABE≌△FGE，
∴AE=EF，
故答案是：1；
(2)①解：四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90°，
由(1)得，∠AEB=∠FEG，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠BFE+∠BAE=180°，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE，
∵∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠CBD=90°，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGBE=CDBC=ABBC=34，
∴EFAE=EGBE=34；
②解：边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90°，
由(1)得，∠AEB=∠FEG，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠BFE+∠BAE=180°，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE，
∵∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠CBD=90°，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGBE=CDBC=ABBC=m，
∴EFAE=EGBE=m；
(3)解：如图，过点C作CH⊥BD于H，过点E作EQ⊥AB于Q，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴BD= BC2+CD2= 4+16=2 5，
∵sin∠DBC=CHBC=CDBD，
∴CH4=22 5，
∴CH=4 55，
∴DH= CD2−CH2= 4−165=2 55，
∵CE=CD，CH⊥BD，
∴DE=2DH=4 55，
∴BE=6 55，
∵QE⊥AB，
∴∠BQE=∠BAD=90°，
又∵∠ABD=∠QBE，
∴△BQE∽△BAD，
∴BEBD=QEAD=BQAB，
∴6 552 5=QE4=BQ2，
∴QE=125，BQ=65，
∴AQ=45，
∴AE= AQ2+QE2= 1625+14425=4 105，
由(2)可知：EFAE=ABBC=12，
∴EF=2 105．
【解析】(1)①由“ASA”可证△ABE≌△FGE；②由全等三角形的性质可得AE=EF，即可求解；
(2)①根据(1)∠AEB=∠GEF，∠EFG=∠BAE，可证△ABE∽△FGE，可得EFAE=EGBE，通过证明△BEG∽△BCD，即可求解；
②根据(1)∠AEB=∠GEF，∠EFG=∠BAE，可证△ABE∽△FGE，可得EFAE=EGBE，通过证明△BEG∽△BCD，即可求解；
(3)由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求BE的长，由相似三角形的性质可求AQ和QE的长，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
22.【答案】解：(1)由y1=−12x2向右平移2个单位，向上平移92个单位得y2=−12((x−2))2+92，
即y2=−12x2+2x+52，
令y2=0，即−12x2+2x+52=0，
解得：x1=−1，x2=5，
∴A(−1,0)，B(5,0)；
(2)①∵抛物线y2=−12x2+2x+52对称轴为x=2，∴E(2,−2)．
设点P(t,−12t2+2t+52)，则点F(2,−12t2+2t+52)，
∴EF=yF−yE=−12t2+2t+92，
PF=t−2，PF+EF=(t−2)+(−12t2+2t+92)，
即PF+EF=−12(t−3)2+7，
∵a=−12<0，且2
②
∠PEA=90°时，点P(t,−12t2+2t+92)，点A(−1,0)，E(2,−2)
作PF⊥DE于点F，
∵∠PEA=90°，DE⊥x轴于G点，
∴△EFP∽△AGE，
∴EFPF=AGEG即−12t2+2t+92t−2=32，
整理得：t2−t−15=0，
解得：t1=−1+ 612,t2=−1− 612(舍去)，
点P的横坐标为：t1=−1+ 612；
③分三种情况讨论：
由已知可得：A(−1,0)；E(2,−2)；P(Tt,−12t2+2t+52 )
第一种：
AQ、PE为平行四边形AEQP对角线时，
yA+yQ=yP+yE即−12t2+2t+52−2=0；
解得：t1=2+ 5；t2=2− 5( 舍去)；
第二种：
当QP、AE平行四边形的对角线时；
yA+yE=yP+yQ即−12t2+2t+52=−2；
解得：t1=2+ 13，t2=2− 13(舍去)；
第三种：
AP、QE为平行四边形的对角线时，
yA+yP=yQ+yE，即−12t2+2t+52=−2；
解得：t1=2+ 13，t2=2− 13(舍去)．
综上所述：满足平行四边形的点P的横坐标为：2+ 5或2+ 13．
【解析】(1)根据函数图象平移规律上加下减，左加右减由y1=−12x2可以得到y2=−12(x−2)2+92展开即可得解析式，令y2=0得与x轴交点A、B的坐标；(2)①由y2=−12(x−2)2+92可知对称轴为x=2，顶点为(2,92)，而DE交y1=−12x2于E点，故E(2,−2)，点P的横坐标为t，PF⊥DE，可得F(2,−12t2+2t+52)，表示线段PF与EF的表达式，得到PF+EF的目标函数表达式，根据t的范围求得最大值；②当∠PEA=90°时，作PF⊥DE，易证△PFE∽△EMA，(DE交x轴于M点)，由对应边成比例求得t的值；③注意分三种情况，根据平行四边形的对角线互相平分，对角线交点是相对顶点的中点，有坐标系中点坐标公式即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，函数图象平移的规律，以及相似三角形的判定和性质应用，两角相等的两个三角形相似；还有平行四边形的性质，求P点坐标注意分类讨论P点的位置，找到符合条件的点即可，充分体现数形结合的思想．
2023年海南省海口市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−3|的相反数是( )
A. −3 B. 3 C. 13 D. ±3
2. 数据160000000用科学记数法表示为( )
A. 16×107 B. 1.6×107 C. 1.6×108 D. 1.6×109
3. 计算(2ab)2÷ab2，正确的结果是( )
A. 2a B. 4a C. 2 D. 4
4. 若x−3y=4，则3−2x+6y的值是( )
A. −5 B. −1 C. 8 D. 11
5. 下面有4组立体图形，从左面看与其他3组不同的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线a//b，CD⊥AB于点D，若∠1=36°，则∠2等于( )
A. 54°
B. 126°
C. 136°
D. 144°
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分∠BAC，则AD等于( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
8. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是( )
A. 4
B. 6
C. 9
D. 16
9. 掷一枚普通的硬币三次，落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 38
10. 如图，直线y=−12x与双曲线y=kx相交于A(−2,1)、B两点，则点B坐标为( )
A. (2,−1)
B. (1,−2)
C. (1,−12)
D. (12,−1)
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4.以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则BE等于( )
A. 32 B. 4− 5 C. 3−12 D. 5−1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：2a2−8a+8=______．
14. 方程1x−2=32x+1的解为______ ．
15. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠APC=32°，则∠ADC= ______ °.
16. 如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，E为边CD的中点，连接BE，则菱形ABCD的面积等于______ ，BE的长等于______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：6×2−3− 482 3+(56)0；
(2)求不等式组x−2≤2xx−1<1+2x3的所有整数解．
18. (本小题10.0分)
为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，我市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息为：甲型号挖掘机每小时每台挖掘土石方60m3，乙型号挖掘机每小时每台挖掘土石方80m3.若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
19. (本小题10.0分)
为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，按学生身高情况分为5组，并绘制了如下的统计图表：
学生身高情况分组表：
组别
身高(单位：cm)
A
x<155
B
155≤x<160
C
160≤x<165
D
165≤x<170
E
x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)样本中，男生的身高众数在______ 组，中位数在______ 组；
(2)样本中，女生身高在E组的人数有______ 人，中位数在______ 组；
(3)已知该校共有男生400人，女生380人，估计身高在160≤x<170之间的学生约有______ 人.
20. (本小题10.0分)
小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，点A、B、C、D在同一平面内．
(1)填空：∠BAC= ______ °，∠ADC= ______ °；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道AB的长.(结果保留根号)
21. (本小题15.0分)
(1)【证明推断】如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的动点(与点B、D不重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G．
①求证：△ABE≌△FGE；
②求EFAE的值；
(2)【类比探究】如图2，将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变．
①若AB=3，BC=4，求EFAE的值；
②若AB=m⋅BC，直接写出EFAE的值(用含m的代数式表示)；
(3)【拓展运用】如图3，在矩形ABCD中，点E是对角线BD上一点(与点B、D不重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G，连接CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长．
22. (本小题15.0分)
在平面直角坐标系中，把抛物线y1=−12x2向右平移2个单位，再向上平移92个单位后得到的新抛物线为y2=ax2+bx+c(a≠0)，新抛物线的顶点为D，对称轴与原抛物线交于点E．
(1)写出新抛物线的解析式，及其与x轴的两个交点A、B的坐标；
(2)点P是新抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为t．
①如图1，过点P作PF⊥DE于点F，当2
③若点Q是x轴上一点，求使以点A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−3|的相反数是−3．
故选：A．
根据绝对值和相反数的性质求解．
本题考查了绝对值和相反数，掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】
解：将160000000用科学记数法表示为：1.6×108．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：(2ab)2÷ab2
=4a2b2÷ab2
=4a．
故选：B．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵x−3y=4，
∴3−2x+6y
=3−2(x−3y)
=3−2×4
=−5，
故选：A．
将3−2x+6y变形得3−2(x−3y)，然后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将3−2x+6y变形为3−2(x−3y)是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：上面4组立体图形，从左面看的图形分别得到的形状图，如图所示：
故选项C与其他3组不同；
故选：C．
分别画出从左面看4组立体图形得到的形状图，然后比较即可得出答案．
此题考查了从三个不同方向看几何体，熟练掌握从左面看立体图形得到的形状图是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠1=36°，
∴∠BCD=36°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ABC=54°，
∵a//b，
∴∠2=180°−∠ABC=126°，
故选：B．
依据对顶角相等，可得∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质，可得∠ABC的度数，最后利用平行线的性质，即可得出∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=6，
在Rt△ABD中，AD= AB2−BD2= 102−62=8，
故选：C．
根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD=DC=12BC=6，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．
∴C△ABC：C△DEF=2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长是6，
故选：B．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
9.【答案】D
【解析】解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面一个反面朝上的结果有3种，
∴落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是38，
故选：D．
画树状图，共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面一个反面朝上的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】A
【解析】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为(2,−1)．
故选：A．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数．
11.【答案】B
【解析】解：由作图知，AF⊥BC，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4．
∴AB= 3AC=4 3，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴BF= 32AB= 32×4 3=6，
故选：B．
根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，DC=AB，AD=BC，∠ADC=∠B=90°，
∴∠DCE=∠BEC，
∵把△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上的点F处，AE=2，
∴FC=BC，EF=BE，∠FEC=∠BEC，∠CFE=∠B=90°，
∴∠DCE=∠FEC，AD=FC，
∴DE=DC=AB=2+BE，
∵DE=DF+FE=DF+BE，
∴DF+BE=2+BE，
∴DF=2，
∵点E，F，D在同一条直线上，
∴∠AFD=∠DFC=90°，
∵∠ADF=∠DCF=90°−∠CDF，
∴DFAD=cos∠ADF=cos∠DCF=FCDC，
∴AD2=DF⋅DC=2(2+BE)，
∵AD2=DE2−AE2=(2+BE)2−22，
∴2(2+BE)=(2+BE)2−22，
解得BE= 5−1或BE=− 5−1(不符合题意，舍去)，
故选：D．
由矩形的性质得DC//AB，∠ADC=∠B=90°，所以∠DCE=∠BEC，由折叠得FC=BC，EF=BE，∠FEC=∠BEC，∠CFE=∠B=90°，所以∠DCE=∠FEC，AD=FC，则DE=DC=AB=2+BE，由DF+BE=2+BE，得DF=2，由∠AFD=∠DFC=90°，∠ADF=∠DCF，得DFAD=cos∠ADF=cos∠DCF=FCDC，则AD2=2(2+BE)，而AD2=(2+BE)2−22，所以2(2+BE)=(2+BE)2−22，解方程求出符合题意的BE的值即可．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明DE=DC是解题的关键．
13.【答案】2(a−2)2
【解析】解：2a2−8a+8
=2(a2−4a+4)
=2(a−2)2．
故答案为：2(a−2)2．
首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
14.【答案】x=7
【解析】解：方程两边都乘以(x−2)(2x+1)得，
2x+1=3(x−2)，
解得：x=7，
检验：当x=7时，(x−2)(2x+1)=(7−2)×(2×7+1)=75≠0，
所以，x=7是方程的解，
所以，原分式方程的解是x=7．
故答案为：x=7．
方程两边都乘以(x−2)(2x+1)化为整式方程，然后求解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】61
【解析】解：连接OC，
∵PC切圆于C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=32°，
∴∠AOC=∠P+∠OCP=122°，
∴∠D=12∠AOC=61°．
故答案为：61．
由切线的性质得到∠OCP=90°，由三角形外角的性质求出∠AOC的度数，由圆周角定理即可求出∠D的度数．
本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16.【答案】2 3 7
【解析】解：如图，连接AC，AE，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，
∴∠D=60°，AD=CD=AB=2，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，
∵E为边CD的中点，
∴AE⊥CD，CE=DE=1，
∴AE= 3DE= 3，
∴菱形ABCD的面积=CD⋅AE=2 3；
∵AB//CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴BE= AB2+AE2= 22+( 3)2= 7．
故答案为：2 3； 7．
连接AC，AE，证明△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质证明AE⊥CD，CE=DE=1，然后可以求出菱形面积；再利用勾股定理求出BE．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ADC是等边三角形．
17.【答案】解：(1)原式=6×18−2+1
=34−2+1
=−14；
(2)x−2≤2x①x−1<1+2x3②，
解不等式①得x≥−2；
解不等式②x<4，
∴不等式组解集为−2≤x<4，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，2，3．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，最后合并；
(2)求出每个不等式的解集，再求出公共解集，取符合条件的整数即可．
本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和取公共解集的方法．
18.【答案】解：设需甲型号的挖掘机x台，则乙两种型号的挖掘机(8−x)台，
由题意得：60x+80(8−x)=540，
解得：x=5，
∴8−x=3，
答：需甲型号的挖掘机5台，则乙两种型号的挖掘机3台．
【解析】根据“每小时挖掘土石方540m号“列方程求解．
本题考查了一元一次方程是应用，找到相等关系是解题的关键．
19.【答案】C C 2 B 322
【解析】解：(1)根据条形图可知，C组人数最多，故男生身高的众数在C组，
男生总人数为4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为：C；C；
(2)女生身高在E组的频率为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人，
女生身高的分布为：A组：40×17.5%=7，B组：40×37.5%=15，C组：40×25%=10，D组：40×15%=6，E组：2，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在B组，
∴中位数在B组，
故答案为：2；B；
(3)400×10+840+380×(25%+15%)=180+152=332(人)．
答：估计该校身高在160≤x<170之间的学生约有332人．
故答案为：332．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数，根据中位数的定义，然后计算即可得解；
(3)分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，掌握利用统计图获取信息和众数、中位数的定义是关键．
20.【答案】75 90
【解析】解；(1)由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°−45°−45°=90°，
∠BAC=45°+(90°−60°)=75°；
故答案为：75°，90°；
(2)在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=100 3×tan60°=100 3× 3=300(米)，
答：点D与点A的距离为300米．
(3)过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE=45°，∠BDE=60°，
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300× 22=150 2(米)，
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=150 2×tan60°=150 2× 3=150 6(米)，
∴AB=AE+BE=(150 2+150 6)(米)，
答：隧道AB的长为(150 2+150 6)米．
(1)根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，∠BAC=45°+(90°−60°)=75°；
(2)解Rt△ADC即可求解；
(3)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABE=∠GBE=45°，
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF=∠BEG=90°，
∴∠AEF−∠BEF=∠BEG−∠BEF，∠G=90°−∠EBG=45°，
∴∠AEB=∠FEG，∠ABE=∠EBG=∠G，
∴BE=EG，
在△ABE和△FGE中，
∠ABE=∠GBE=FG∠AEF=∠FEG，
∴△ABE≌△FGE(ASA)；
②解：由①知：△ABE≌△FGE，
∴AE=EF，
故答案是：1；
(2)①解：四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90°，
由(1)得，∠AEB=∠FEG，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠BFE+∠BAE=180°，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE，
∵∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠CBD=90°，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGBE=CDBC=ABBC=34，
∴EFAE=EGBE=34；
②解：边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90°，
由(1)得，∠AEB=∠FEG，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠BFE+∠BAE=180°，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE，
∵∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠CBD=90°，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGBE=CDBC=ABBC=m，
∴EFAE=EGBE=m；
(3)解：如图，过点C作CH⊥BD于H，过点E作EQ⊥AB于Q，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴BD= BC2+CD2= 4+16=2 5，
∵sin∠DBC=CHBC=CDBD，
∴CH4=22 5，
∴CH=4 55，
∴DH= CD2−CH2= 4−165=2 55，
∵CE=CD，CH⊥BD，
∴DE=2DH=4 55，
∴BE=6 55，
∵QE⊥AB，
∴∠BQE=∠BAD=90°，
又∵∠ABD=∠QBE，
∴△BQE∽△BAD，
∴BEBD=QEAD=BQAB，
∴6 552 5=QE4=BQ2，
∴QE=125，BQ=65，
∴AQ=45，
∴AE= AQ2+QE2= 1625+14425=4 105，
由(2)可知：EFAE=ABBC=12，
∴EF=2 105．
【解析】(1)①由“ASA”可证△ABE≌△FGE；②由全等三角形的性质可得AE=EF，即可求解；
(2)①根据(1)∠AEB=∠GEF，∠EFG=∠BAE，可证△ABE∽△FGE，可得EFAE=EGBE，通过证明△BEG∽△BCD，即可求解；
②根据(1)∠AEB=∠GEF，∠EFG=∠BAE，可证△ABE∽△FGE，可得EFAE=EGBE，通过证明△BEG∽△BCD，即可求解；
(3)由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求BE的长，由相似三角形的性质可求AQ和QE的长，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
22.【答案】解：(1)由y1=−12x2向右平移2个单位，向上平移92个单位得y2=−12((x−2))2+92，
即y2=−12x2+2x+52，
令y2=0，即−12x2+2x+52=0，
解得：x1=−1，x2=5，
∴A(−1,0)，B(5,0)；
(2)①∵抛物线y2=−12x2+2x+52对称轴为x=2，∴E(2,−2)．
设点P(t,−12t2+2t+52)，则点F(2,−12t2+2t+52)，
∴EF=yF−yE=−12t2+2t+92，
PF=t−2，PF+EF=(t−2)+(−12t2+2t+92)，
即PF+EF=−12(t−3)2+7，
∵a=−12<0，且2
②
∠PEA=90°时，点P(t,−12t2+2t+92)，点A(−1,0)，E(2,−2)
作PF⊥DE于点F，
∵∠PEA=90°，DE⊥x轴于G点，
∴△EFP∽△AGE，
∴EFPF=AGEG即−12t2+2t+92t−2=32，
整理得：t2−t−15=0，
解得：t1=−1+ 612,t2=−1− 612(舍去)，
点P的横坐标为：t1=−1+ 612；
③分三种情况讨论：
由已知可得：A(−1,0)；E(2,−2)；P(Tt,−12t2+2t+52 )
第一种：
AQ、PE为平行四边形AEQP对角线时，
yA+yQ=yP+yE即−12t2+2t+52−2=0；
解得：t1=2+ 5；t2=2− 5( 舍去)；
第二种：
当QP、AE平行四边形的对角线时；
yA+yE=yP+yQ即−12t2+2t+52=−2；
解得：t1=2+ 13，t2=2− 13(舍去)；
第三种：
AP、QE为平行四边形的对角线时，
yA+yP=yQ+yE，即−12t2+2t+52=−2；
解得：t1=2+ 13，t2=2− 13(舍去)．
综上所述：满足平行四边形的点P的横坐标为：2+ 5或2+ 13．
【解析】(1)根据函数图象平移规律上加下减，左加右减由y1=−12x2可以得到y2=−12(x−2)2+92展开即可得解析式，令y2=0得与x轴交点A、B的坐标；(2)①由y2=−12(x−2)2+92可知对称轴为x=2，顶点为(2,92)，而DE交y1=−12x2于E点，故E(2,−2)，点P的横坐标为t，PF⊥DE，可得F(2,−12t2+2t+52)，表示线段PF与EF的表达式，得到PF+EF的目标函数表达式，根据t的范围求得最大值；②当∠PEA=90°时，作PF⊥DE，易证△PFE∽△EMA，(DE交x轴于M点)，由对应边成比例求得t的值；③注意分三种情况，根据平行四边形的对角线互相平分，对角线交点是相对顶点的中点，有坐标系中点坐标公式即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，函数图象平移的规律，以及相似三角形的判定和性质应用，两角相等的两个三角形相似；还有平行四边形的性质，求P点坐标注意分类讨论P点的位置，找到符合条件的点即可，充分体现数形结合的思想．
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