2024年湖北省荆楚初中联盟中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年湖北省荆楚初中联盟中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年湖北省荆楚初中联盟中考一模数学试题原卷版docx、2024年湖北省荆楚初中联盟中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1．考生答题全部在试题卷上．
2．请学生将自己的姓名、班级用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在试卷的密封区．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．例，如果把收入10元记作元，那么支出15元应记作（ ）
A. 元B. 0元C. 元D. 15元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正负数的意义，根据把收入10元记作元，即可得出支出15元应记作元，即可作答．
【详解】解：∵收入10元记作元，
∴支出15元应记作元，
故选：A．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断即可．
【详解】解：A．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A 28°B. 52°C. 62°D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故选：C．
5. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
【详解】A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确；
故选B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
6. 不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键，根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：因为袋子中有2个红球和4个蓝球共有6个球，
所以，取出红球的概率为，
故选A．
7. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．根据两个工程队用时相同，可列方程，然后作答即可．
【详解】解：依题意得，，
故选：A．
8. 一种弹簧秤最大能称不超过20kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，最大能称不超过20kg的物体，
挂重后弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的函数关系式为．
故选：B．
9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∵，．
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
10. 如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴负半轴交于点．①；②；③．上述结论中，正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和坐标轴交点情况．根据二次函数的图象与轴有两个交点，可得①正确；根据函数图象开口向下，与轴负半轴交于点，当时，，可得②正确；根据图象与轴负半轴交于点，可得，再由图象与轴正半轴交于点，可得③正确．
【详解】解：①：图象与轴有两个交点，
，
①正确；
②：由图象可得，图象开口向下，与轴负半轴交于点，
当时，，
即，
，
②正确；
③：抛物线与轴正半轴交于点，
即，
抛物线与轴负半轴交于点，
③正确．
故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 分解因式：4a﹣a3＝_____．
【答案】a（2+a）（2﹣a）．
【解析】
【分析】利用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.
【详解】解：4a﹣a3
＝a（4﹣a2）
＝a（2+a）（2﹣a）．
故答案为a（2+a）（2﹣a）．
【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
12. 在一次数学测试中，第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：84，78，89，74，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是______．
【答案】79
【解析】
【分析】本题主要考查平均数和中位数的定义，牢记求平均数和中位数的方法是解题的关键．根据平均数的定义先求得被墨水污染的同学的成绩数据，再根据中位数的定义即可求得答案．
【详解】解：设被墨水污染的同学的成绩为．
根据题意，得
．
解得．
将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，．
这组数据的个数为偶数，所以这组数据的中位数．
故答案为：．
13. 如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行一次就停止了，则x的取值范围是_______．
【答案】x10
【解析】
【分析】根据第一次运算结果大于28就停止，列出关于x的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：由题意可得：3x-228，解得：x10．
故答案为：x10．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序正确列出不等式是解答本题的关键．
14. 学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为______．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案．
【详解】解：点作于点，
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴；
在中，米，
∴（米），
（米），
∴米，
∵，
∴米，
故答案为：米．
15. 如图，在四边形中，，，平分且与垂直，E为的中点．当与的差最大时，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、矩形及正方形的判定与性质，过点A作于点G，分别过点E、A、D作，垂足分别为N、P、H，证出当面积最大时，与的差最大，进而求出此时的长即可．
【详解】解：过点A作于点G，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
分别过点E、A、D作，垂足分别为N、P、H，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
当面积最大时，与的差最大，
此时，
当，四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握乘方、绝对值等考点的运算．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式
．
17. 如图，在中，D为斜边的中点．延长至E，使得，连接．请按要求画出图形，判断四边形的形状并说明理由．
【答案】图形见解析，四边形是矩形，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查复杂作图和矩形的判定，首先根据题目的叙述画出图形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形是矩形．
【详解】解：画图如下，
四边形是矩形．理由如下：
∵D为斜边的中点．
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
已知，
∴平行四边形是矩形．
18. 先化简，再求值．．已知．
【答案】；2
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答．
【详解】解：原式
．
∵，
∴原式．
19. 某校为了解全校1500名学生参加学校兴趣活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
请根据以上调查报告的统计分析，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有______人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数；
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们积极地参与兴趣小组活动，请你面向全体同学写出一条建议．
【答案】（1）200；
（2）选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数为144°；
（3）估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为840人；
（4）建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，求扇形统计图的圆心角度数．
（1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数；
（2）用乘B组人数的占比即可求解；
（3）用1500乘以参与劳动实践人数的占比即可；
（4）根据两项调查的情况，建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可．
【小问1详解】
解：参加调查的总人数为：（人）
故答案为：200；
【小问2详解】
解：，
故选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形圆心角度数为；
【小问3详解】
解：（人）
即估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为840人；
【小问4详解】
解：建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为的中点，．
（1）求的值；
（2）当，时，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
（1）过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明进而求出结论；
（2）先求出，根据图象写出结论即可．
【小问1详解】
解：过点A作y轴的垂线，垂足为D．
点C为的中点，
，
又；，
∴，
∴，
设，点A在第一象限，
则，
∴．
【小问2详解】
因为，
所以，
由，得，
所以，．
当时，x的取值范围是：．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点F，D为的中点，直线与直线交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接．可证，从而，，进而可证，然后根据证明得，进而可证DF为的切线；
（2）由求出，证明得，设，则，，在中利用勾股定理求出x的值即可求解．
【小问1详解】
连接．
∵O为的中点，D为的中点；
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∵，为和的公共边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线．
【小问2详解】
∵，D为的中点；
∴．
在中，，
∴，．
∵公共，，
∴，
∴，
设，则，．
在中，；
解这个方程得，（不符合题意，舍去），，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22. 电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且）．部分数据如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每周销售这种品牌儿童玩具获得的利润W元的最大值；
（3）电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．
【答案】（1）；
（2）（元）．
（3）销售单价x的范围是：．
【解析】
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）若获得等于1100元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：y与x的函数关系式为，
把和分别带入得：
解得：
∴；
【小问2详解】
解：依题意，，
∵，
∴由二次函数的性质可知，时，W有最大值，
（元）．
【小问3详解】
解：依题意，当时，，
解这个方程得，，，
∵，
∵电商平台希望每周获得不低于1100元利润，
∴销售单价x的范围是：．
23. 在中，，E，F，D分别是上的点，，．
（1）求的度数（图1）；
（2）若点G为的中点（图2），其它条件不变，请探究与是否垂直；
（3）将（1）中绕点D逆时针旋转一定的角度得到，如图3所示，G为线段的中点，吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3），证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，，结合可求出；
（2）延长至H，使．连接．根据证明得，．再证明得，进而可证；
（3）延长交于点M，延长至N，使．连接，，．证明得，，再证明得，然后根据三线合一可证．
【小问1详解】
．
理由：∵，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
【小问2详解】
．
延长至H，使．连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【小问3详解】
．
延长交于点M，延长至N，使．连接，，．
∵，
，
∴，
由三角形内角和可得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24. 如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M．
（1）直接写出b，c的值；
（2）若，求k的值；
（3）若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标．
【答案】（1）（1），；
（2）；
（3）当取得最小值时，F的坐标为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，求出点A的坐标，然后求出与y轴的交点Q的坐标，然后代入求出k的值即可；
（3）作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.则，得到，即， 当点在点的位置时， 取等号.可得的最少值等于.然后根据，再根据勾股定理即可解题．
【小问1详解】
解：∵点C在x轴上，
∴令，则，解得，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得：，
∴函数解析式为，
【小问2详解】
令，则，
解得：，，
∴点A的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为或，
把代入得，解得；
把代入得，解得；
∴；
【小问3详解】
如图所示， 作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.
又∵，
∴，
∴，
∴， 当点在点的位置时， 取等号.
即的最少值等于.
过作轴的平行线交抛物线于点，
∴，
∴，即 .
∵，
，
，
设， 则，
在中， ，
解这个方程得，(负值不符合题意，舍去)，
∴点的坐标为 ，
∴直线 的函数表达式为：，
当时，，解得，
，
即当取得最小值时，的坐标为
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
工程队
每天施工面积（单位：）
施工总面积（单位：）
施工时间（单位：天）
甲
两个工程队同时完成工作任务
乙
x
学生参加学校兴趣活动的情况调查报告
主题
学生参加学校兴趣活动的情况调查
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据的收集、整理与描述
第一项
你每周参与兴趣小组活动的时间是（单选）
A．8小时
B．6小时
C．4小时
D．2小时
E．0小时

第二项
你每周参与兴趣小组活动的主要类型是（可多选）
F．发明制作
G．劳动实践
H．音乐类
I．体育类
J．美术类

第三项
…
…
调查结论
…
销售单价x（元/个）
55
60
70
销售量y（个）
220
200
160