新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题33圆锥曲线中的向量问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题33圆锥曲线中的向量问题(原卷版+解析)，共55页。

题型一：向量的单共线
题型二：向量的双共线
题型三：三点共线问题
题型四：向量中的数量积问题
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例例题】
题型一：向量的单共线
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
例3．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为．
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．
(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；
(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．
变式2．（2023·湖北十堰·三模）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.
(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.
(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知、是椭圆：的左、右焦点，且椭圆经过点，又轴.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过点的直线l与椭圆E相交于点C，D，并且，求直线l的方程.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.
（1）若直线经过，求的周长；
（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；
（3）若，求实数的取值范围．
变式6．（2023·广东·高三专题练习）已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．
题型二：向量的双共线
例4．（2023·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.
变式9．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点是以原点为圆心，半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心，半径为的圆与线段交于点，作轴于点，作于点.
(1)令，若，，，求点的坐标；
(2)若点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(3)设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正负半轴分别交于点，，若点､分别满足，，证明直线和的交点在曲线上.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.
变式13．（2023·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：.
变式14．（2023·上海青浦·二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
题型三：三点共线问题
例7．（2023·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；
(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
例8．（2023·上海市松江二中高三阶段练习）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.
(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.
例9．（2023·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
变式15．（2023·广东·高三开学考试）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线（）与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且（为坐标原点）的面积为.
(1)求的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
变式17．（2023·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
变式19．（2023·云南师大附中模拟预测（理））已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.
变式20．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆C：过点，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．
题型四：向量中的数量积问题
例10．（2023·西藏拉萨·一模（文））已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．
例11．（2023·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
例12．（2023·北京四中高三开学考试）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
变式21．（2023·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
变式22．（2023·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
变式23．（2023·河南·开封高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是圆上的一点，过作圆的切线，且切线与椭圆交于、两点，证明：．
变式24．（2023·云南昆明·模拟预测（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：与C交于点D，E，线段AD，AE的中点分别为P，Q．设过点且垂直于x轴的直线为，若直线OP与直线交于点S，直线OQ与直线交于点T，求．
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
例13．如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于．证明：为定值.
例14．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
专题33 圆锥曲线中的向量问题
【题型归纳目录】
题型一：向量的单共线
题型二：向量的双共线
题型三：三点共线问题
题型四：向量中的数量积问题
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例例题】
题型一：向量的单共线
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
抛物线的焦点为，
依题意，解得．
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由，消去整理得，且．
设，，∴，
由得，
∴消去得，解得 ，，
所以直线的方程为，即或．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点、之间的距离为，
所以，因为椭圆的离心率，所以有，而，
因此组成方程组为：；
（2）设的方程为，与椭圆的标准联立为：
，
于是有，此时设，
于是有，
假设存在常数，使得与共线，
因为，，
所以有，
，因为，
所以，不满足，
因此不存在常数，使得与共线.
例3．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为．
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围.
【解析】(1)由题意，不妨令，，
设，则，斜率之积为．化简得，
∴曲线C的轨迹方程为．
(2)显然点在曲线的内部，若直线与轴重合，则直线与曲线没有公共点，
当直线不与轴重合时，令直线的方程为，
联立直线方程与曲线的方程，消去并整理得
，令，，则，
，，，∴，
∵与方向相同，∴，不妨令，，则，①
，∴，②
由①②得，
∴，即，
∴，∴，∴的取值范围是．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．
(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；
(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．
【解析】(1)由题设，且双曲线的渐近线为，
当轴时，，又，△MON的面积为，
所以，故，而，可得，
所以双曲线的方程为.
(2)对于椭圆有，而，则，
不妨假设，则且l为，
所以，又，，
令，则，故，
所以，而在椭圆上，
则，整理得，
综上，可得.
变式2．（2023·湖北十堰·三模）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.
(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.
(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)如图，以为直径的圆与以为直径的圆内切，
则.
连接，因为点O和分别是和的中点，所以.
故有，即，
又，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，，所以，故的方程为.
(2)存在满足题意.
理由如下：设，，.显然.
依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为，
因为点G在这条直线上，所以，.
联立得的两根分别为和0，
则，，
所以，.
设，则，则，，
所以，整理得，
因为，所以，即.
故存在常数，使得.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知、是椭圆：的左、右焦点，且椭圆经过点，又轴.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过点的直线l与椭圆E相交于点C，D，并且，求直线l的方程.
【解析】(1)由轴，得，
又由椭圆的通径知，即，代入中，得，得，得，，
所以椭圆E的方程为；
(2)设直线的方程为，它与椭圆交于、，
联立直线与椭圆得：，①，②，
又由，得③，将③代入①②得：④，⑤，
再④将代入⑤并约分化简得：，即，将代入（*）中得，
故这样的直线存在，且其方程为.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，即，
所以，所以椭圆方程为；
（2）由已知，设，
则直线方程为，联立方程组可得，
则，，
因为，所以，所以，
则，消去可得，
，，即，解得，
.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.
（1）若直线经过，求的周长；
（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；
（3）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由椭圆定义知：，
则的周长.
（2）当直线斜率不存在时，直线，设，，
则，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，，，
联立直线与椭圆得：，
，解得：，
则，，
又，，
，
即，
，解得：，满足，
直线的方程为：或；
（3）①当直线斜率不存在时， 直线，
若，，则，，，此时；
若，，则，，，此时；
②当直线斜率存在时，设直线，，，
又，即，故，
由（2）知：，即
，
又，故，，，
即，或；
综上所述：实数的取值范围为.
变式6．（2023·广东·高三专题练习）已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．
【解析】（1）联立：，
消去x并整理得：，
又椭圆C与直线l相切，
，
化简得：①，
又点在椭圆C上，
②，
由①②解得：，，
椭圆C的方程为；
（2）轴上存在点P，使得，
理由如下：
设直线的方程为，
联立，
消去y并整理得：，
，
设，
则，
假设存在点满足条件，
由于，
平分，
由题意知直线PA与直线PB的倾斜角互补，
，
即，
即，
，
代入并整理得，
，
整理得：，
即，
当时，无论k取何值均成立，
存在点使得．
题型二：向量的双共线
例4．（2023·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
设直线，设、，
由得，
解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线
的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以

，
因为，所以，，
故的范围是.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【解析】（1）由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以
所以，为定值.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
【解析】（1）抛物线的焦点F到其准线的距离为4
可得
抛物线的方程：
椭圆经过抛物线的焦点
椭圆的右顶点为，
所以．
（2）①当直线斜率存在时，
设直线方程为
由得，
∵
∴，即∴
∴，
∴
又∵
∴，即∴
∴N点轨迹为直线
②当直线斜率不存在时，经检验点在直线上．
∴N点轨迹方程为
最小值即点O到直线的距离
∴，即
椭圆的离心率为．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
【解析】(1)由已知过点，得，①
由，②
由①、②，得，
故椭圆C的方程为，
若，
设直线的方程为，设直线的方程为，设，
由，得，解得，
故，
同理，，
，则，，
故直线的方程为；
(2)设，
由，得，
故，
代入椭圆的方程得（3），
又由，得，
代入（3）式得，，
化简得，，即，
显然，故，
同理可得，
故，
所以的最小值．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.
【解析】（1）根据题意， 解得，
椭圆C的方程为
（2）设A（，），B（，），N（x，y），
由，
得 ，
∴，
又，
∴，
∴点N在直线上，
∴.
变式9．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
【解析】(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以，
又是椭圆C上一点，所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
(2)由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为，，则，
联立方程组，整理得，
则，
，.
因为，所以，
则，
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.
【解析】（1）由题意可知，c=1，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，
解得（舍），，
所以椭圆方程为.
（2）设，，，，，
因为，所以，即，
又，都在椭圆上，
所以，，
即，
②-①得，
即……③，
又，同理得……④
④-③得，
所以.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点是以原点为圆心，半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心，半径为的圆与线段交于点，作轴于点，作于点.
(1)令，若，，，求点的坐标；
(2)若点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(3)设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正负半轴分别交于点，，若点､分别满足，，证明直线和的交点在曲线上.
【解析】(1)设，则由题知，
因此；
(2)设及，则由题知，
则点Q的轨迹C为椭圆，方程为：；
(3)设，由知，，，，，
，即，
，即，
联列上述直线方程，解得
，因此交点K在椭圆C上.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.
【解析】(1)依题意得
解得所以椭圆C的标准方程是.
(2)设直线l的方程为，代入椭圆C的方程得，由得.
设，
所以，，
设，则
.
原点O到直线l的距离，
故的面积.
因为，故，
故面积的取值范围为.
变式13．（2023·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：.
【解析】设椭圆C的方程为（>>）抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即
由，∴，
椭圆C的方程为
（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入方程并整理，得
∴，
又，，，，
而，，
即，
∴，，
所以
变式14．（2023·上海青浦·二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
①当直线的斜率不存在时，，以线段为直径的圆交轴于
点在以线段为直径的圆的外部，符合，此时，
②当直线的斜率存在时，设直线，设、，
由得，
解得或（i）
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又，
解得或 （ii）
由（i）、（ii）得实数的范围是或或，
由①、②得直线的倾斜角的范围是；
（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，
所以直线的方程是：，直线的方程是：，
令，解得，所以点S为；同理点T为，
所以，，，
因为，，
所以，，
所以，
由（2）得，，
所以，
，
，
，
，
综上所以的范围是.
题型三：三点共线问题
例7．（2023·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；
(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由点关于直线的对称点为，则
则，
所以，即
所以曲线的方程为：
(2)由点在曲线上，设，点在直线上，设
由，即，
由，则
所以
当时，，此时不满足，即不满足.
所以，由，则

由，则设
由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.
此时当时，
所以线段长的最小值为
(3)在轴上存在一定点，使得、、三点共线.
设 则
由题意设直线的方程为
由，可得
所以
直线的方程为
令，得

所以直线：恒过点
所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.
例8．（2023·上海市松江二中高三阶段练习）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.
(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.
【解析】(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为。
（2）(2),所以
联立,得,而
于是,即
故成等差数列,成等比数列
（3）由于A,F,B三点共线,设
联立,得.
即动点的轨迹方程为
设AB中点为,则,即
当时取等所以面积的最小值为4
例9．（2023·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
变式15．（2023·广东·高三开学考试）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线（）与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且（为坐标原点）的面积为.
(1)求的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线C：的渐近线方程为，
不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为和，
所以
解得.
（2）由（1）知C：，则F的坐标为(2,0)，
设l与x轴交于点(p,0) ，则l的方程为（），
设.则.
联立得，
由题可知，所以
因为，F，N三点共线，所以共线，即，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
所以
解得，
所以直线l经过x轴上的定点
变式17．（2023·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
【解析】（1）由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，
，则直线的方程为，
联立，可得，即点，
，，则，
因此，、、三点共线.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【解析】（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2），，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
变式19．（2023·云南师大附中模拟预测（理））已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.
【解析】(1)由题意，得，，
又因为，所以，，
故椭圆的方程为
(2)证明：，，
设，则，
所以直线的方程为，
令，得点的坐标为，
设，由，得显然，
直线的方程为，
将代入，得，即，
故直线的斜率存在，
且
又因为直线的斜率，
所以，即，，三点共线．
变式20．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆C：过点，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．
【解析】(1)由题意知，，，
所以，则，
所以椭圆C的方程为．
(2)由题知：l斜率不为零，设l为，，，
由得，，则，，
所以，
∴，直线AM的方程为，则，
∴，，
∴
，即，
∴N、B、Q三点共线．
题型四：向量中的数量积问题
例10．（2023·西藏拉萨·一模（文））已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．
【解析】（1）设椭圆C的焦距，则
又经过点(，)，，
因此，椭圆C的方程为
（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，而，此时，故不符合题意．
②当直线斜率不为0时，的方程为，设点，
将直线l的方程代入椭圆方程，并化简得．
解得或
由韦达定理得
，同理可得．
所以
即．
解得：符合题意
因此，直线l的方程为或
例11．（2023·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
【解析】（1），，
∴，
又，即，
解得：，，
椭圆的标准方程为；
（2）当直线AB的斜率不存在时，，
不妨设，则
当直线AB的斜率存在时，设，
由，
恒成立，
故，
∴
，
综上：，
故的取值范围为．
例12．（2023·北京四中高三开学考试）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为（），
由题意，得，解得，，
即椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，
设，，，
联立，得，
即，则，，
直线，的方程分别为，，
令，则，，
则，
，
所以
因为，所以，，
即的取值范围为.
变式21．（2023·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
变式22．（2023·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
【解析】(1)由题意得：设，令得：，
解得：，
不妨设，则，故，
又，
解得：，所以，
，
所以椭圆的方程为；
(2)由题意得：，
设出直线CD：，与椭圆方程联立得：，
其中恒成立，
设，
则，
则
，
由得：
，整理得：，
解得：
变式23．（2023·河南·开封高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是圆上的一点，过作圆的切线，且切线与椭圆交于、两点，证明：．
【解析】(1)由题意知，，解得，，，
所以，椭圆的方程为．
(2)证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
当直线的方程为，联立，解得或，
此时，则；
当直线的方程为，同理可证；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、．
因为直线与圆相切，所以，即．
联立，得，
则，
所以，，
所以，
，
所以，.
综上所述，.
变式24．（2023·云南昆明·模拟预测（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：与C交于点D，E，线段AD，AE的中点分别为P，Q．设过点且垂直于x轴的直线为，若直线OP与直线交于点S，直线OQ与直线交于点T，求．
【解析】(1)依题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
(2)设，，则，，
由消去整理得，
所以，，
由于：，，所以，同理可得，
又，
所以，，
所以
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
例13．如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于．证明：为定值.
【解析】不妨设切线方程为，联立切线方程和椭圆方程，
消去得，
所以△，得，
即，
由韦达定理可得，解得，
所以，
可求得，，
为定值．
例14．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
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