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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题32一类与斜率和、差、商、积问题的探究(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题32一类与斜率和、差、商、积问题的探究(原卷版+解析)，共64页。
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【题型归纳目录】
题型一：斜率和问题
题型二：斜率差问题
题型三：斜率积问题
题型四：斜率商问题
【典例例题】
题型一：斜率和问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．
(1)求动点所在的曲线的方程；
(2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
例2．（2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
例3．（2023·贵州·高三阶段练习（理））平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.
变式1．（2023·广西·模拟预测（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．
变式2．（2023·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
变式3．（2023·辽宁·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
变式4．（2023·广西·桂平市第五中学高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.
若，，求直线的方程；
若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.
变式5．（2023·安徽·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
变式7．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
变式8．（2023·山西大附中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
例5．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
例6．（2023·四川绵阳·高三期末（文））设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.
变式9．（2023·江西·南昌二中高三阶段练习（文））如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.
（1）求抛物线C的标准方程
（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.
变式10．（2023·江苏南通·高三期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．
题型三：斜率积问题
例7．（2023·河南安阳·高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
例8．（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
例9．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
变式11．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
变式14．（2023·山西长治·高三阶段练习）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
变式15．（2023·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
变式16．（2023·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
题型四：斜率商问题
例10．（2023·湖南衡阳·三模（文））如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
例11．（2023·重庆一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式．已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点．设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立？
例12．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
变式19．（2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
变式20．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
变式21．（2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
变式22．（2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
变式23．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．
(1)若，求横坐标的取值范围；
(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．
变式24．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
专题32 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
【方法技巧与总结】
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【题型归纳目录】
题型一：斜率和问题
题型二：斜率差问题
题型三：斜率积问题
题型四：斜率商问题
【典例例题】
题型一：斜率和问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．
(1)求动点所在的曲线的方程；
(2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
【解析】（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，
等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，
由抛物线的定义可得：
动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
可得，抛物线开口向右，
∴曲线的方程为．
（2）设直线的斜率为，
∵直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
∴直线的斜率为，
则，，
联立方程组，整理得，
即，或（舍）
可得
联立方程组，整理得，
即，或（舍）
可得
则
即直线的斜率为定值．
例2．（2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
例3．（2023·贵州·高三阶段练习（理））平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.
【解析】（1）设点，由题，有，即，解得，
所以所求点轨迹方程为
（2）由题，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
与曲线联立方程组得，解得，
设，，则有，
依题意有直线的斜率为，则直线的方程为，
令，则有点的坐标为，
由题，，
，
因为，
所以
解得，则必有，
所以.
变式1．（2023·广西·模拟预测（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．
【解析】（1）由题意可知，设抛物线的方程为，易知点，
由题意可得，所以，抛物线的方程为.
（2）设点、，则，同理，
若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，
可得，解得，即直线的方程为，
所以，直线过定点.
变式2．（2023·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【解析】（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）设直线，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
变式3．（2023·辽宁·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）联立方程，解得或，
不妨设，，
因为，所以，，
因为，所以，
化简得，即，
因为，所以，，
故椭圆的方程为，
（2）当直线的斜率存在时：
显然斜率不为，否则直线、的斜率之和为，不符合题意，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，，
因为直线、的斜率之和为，，
所以，
代入，，
即，化简得，
故直线的方程为，即，恒过定点，
当直线的斜率不存在时：
设直线的方程为，，，其中，
因为直线、的斜率之和为，，
所以，解得，恒过定点，
综上所述：直线恒过定点.
变式4．（2023·广西·桂平市第五中学高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.
若，，求直线的方程；
若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.
【解析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义知，
，设，，由题设知，
，，
解得，则，，即，①
又由抛物线的定义知，，即，②
联立①②，解得，或，
，∴，则，
焦点为，，
则直线的斜率为，
故直线的方程为；
证明：若，则抛物线，
，准线，
设直线的方程为，
，，，
由消去得，，
则，，
则
又，，
故直线，，的斜率成等差数列.
变式5．（2023·安徽·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，
当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
设.
因为为的中点，所以.
由题意知，
则，
即，
则.又，
所以，
故离心率.
（2）证明：由题意知，所以，
故的方程为.
设直线的方程为，
联立消去得关于的一元二次方程，整理得：
.
因为与交于两点，
所以，即，
解得或，
故.
设，直线的方程为，
直线的方程为，
两式联立，得
（*）.
又，代入式，
得，
则，
故
即为定值2.
变式7．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
【解析】（1）由对称性可设，
则，
因为点在双曲线上，所以，即，且
所以，
当时，为直角，
当时，为钝角，
所以最小时，.
（2）设，由题意知动直线一定有斜率，设点的动直线为，
设
联立得，
所以，解得且，
，即，
即，
化简得，
，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
将①代入②得，从而
如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，
因此，从而，代入，解得，
此时在双曲线上，
综上，，或者.
变式8．（2023·山西大附中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率，则，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立整理得．
则，故，则．
所以
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，共线，
得，所以．
的斜率为．
则．
为定值．
例5．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以，即
因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
切线方程为:y-y0＝k(x-x0)，
联立，化简得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴将代入得
，
∴.
∴的取值范围是
例6．（2023·四川绵阳·高三期末（文））设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.
【解析】（1）设，.
直线的斜率为，
又、都在抛物线上，
所以，.
由两式相减得，
两边同除以，且由已知得，.
可得，即.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，.
因为
所以，所以，
线段的中点的纵坐标为8，
，
联立解得，
所以，.
设直线的斜率为，则直线，
由消得.
由，得，即.
所以直线，
同理得直线.
联立以上两个方程解得
所以.
变式9．（2023·江西·南昌二中高三阶段练习（文））如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.
（1）求抛物线C的标准方程
（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设抛物线的方程为将M（-2，1）点坐标代入方程中，解得
（2）设，设直线PQ的方程为,代入抛物线方程，得到，则，结合，而
则，代入，得到所以
，解得
过P点的切线斜率为，过Q切线斜率为，则PS的方程为，QS的方程为，联解这两个方程，得到S的坐标为，故点S的直线PQ的距离为，而PQ的长度为，故面积为
，故为定值．
变式10．（2023·江苏南通·高三期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．
依题意，，且，解得a＝2，c＝1．
故b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．
据题意，，即，整理可得，所以．
代入坐标，可得 即
又点M， N在椭圆C上，所以解得
所以直线l的斜率．
（3）依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，
所以两式相减，得，
即，所以，即，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，
所以．
又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组
整理得，
所以，得，．
所以点M的坐标为．
同理，点N的坐标为．
又点M，N，F三点共线，
所以，整理得，
依题意，，，故．
由可得，，即．
所以．
题型三：斜率积问题
例7．（2023·河南安阳·高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求椭圆方程为.
（2）由已知及（1）可得，
设点，则.
设过点P与相切的直线l的方程为，
与联立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根据题意和为方程③的两个不等实根，
所以，
即为定值.
例8．（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，
所以，，得，
所以椭圆方程为，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
例9．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
【解析】（1）由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2），设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
变式11．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
【解析】（1）由题意可知直线的方程为：， 即，
令，解得，所以，
椭圆过点，
可得， 解得，
所以的方程： ；
（2）设，
由题意得直线斜率不为零， 设， 代入到椭圆，
由得，即
所以,
由， 得， 即，
所以，
所以，
所以，
化简得，
所以或，
若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，
所以过定点，
因为为垂足，
所以在以为直径的圆上，，的中点为，
又，所以，
所以的最大值为，
即的最大值为.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
【解析】（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．
又点A的坐标为（－a，0），
所以，解得a＝1．
又因为椭圆M过点P，所以，解得，
所以椭圆M的方程为．
（2）由题意易求直线AP的方程为，即x－y＋1＝0．
因为点Q在椭圆M上，故可设，
又，
所以，
当，即时，，
取得最大值．
（3）法一：单参数法
由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，
得，
设D（xD，yD），则，
即，所以．
设E（xE，yE），同理可得，．
又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，
所以，
所以
故直线DE的方程为．
令y＝0，可得．
故直线DE过定点（－2，0）．
法二：双参数法
设D（xD，yD），E（xE，yE）．
若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，
此时与题设矛盾，
若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，
得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，
则．
又，
可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，
所以，
，
化简得，
解得s＝－2或s＝－1．
又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2．
所以DE的方程为x＝ty－2．
故直线DE过定点（－2，0）．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
【解析】（1）由椭圆的右焦点为，离心率为得. 所以.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设A，则.
设的外接圆方程为，
得，
两式相减得，
因为，所以，
同理：.
两式相减得：，于是：
所以
将代入得：
因为
所以
所以得证.
变式14．（2023·山西长治·高三阶段练习）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【解析】（1）点，在椭圆：（）上代入得：，
点到椭圆右顶点的距离为，则，
解得，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为（），，，．
联立得．
．
∴，，
∵直线与直线斜率之积为．
∴，
∴．
化简得，
∴，
化简得，解得或．
当时，直线方程为，过定点．
代入判别式大于零中，解得（）．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．
综上所述：直线过定点．
变式15．（2023·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
变式16．（2023·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
故定值为
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.
【解析】（1）因为椭圆经过点，所以
又因为，所以
又，解得
所以椭圆的方程为
（2）设三点坐标分别为，，，
设直线斜率分别为，则直线方程为，
由方程组消去，得，
由根与系数关系可得
故，
同理可得，又，
故，
则，从而.
即两点的横坐标之和为常数.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．
试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，由
得．
∴，，
由，，三点共线可知，，所以；
同理可得
所以．
因为，
所以．
考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
题型四：斜率商问题
例10．（2023·湖南衡阳·三模（文））如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，设动圆的圆心，由题意，，
当不在轴上时，过作交于，则是的中点，
∴，
又，
∴，化简得；
又当在轴上时，由已知可得与重合，点的坐标也满足方程，
∴动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）为定值，下面给出证明：
设直线的方程为，，
，，不妨设，
联立得，
∴，
①当时，
若，则，，，
：，，
∴，.
若，同理可得；
②当时，直线的方程为，
联立得，
则，故，同理，
故，
∴（定值）.
综上得为定值.
例11．（2023·重庆一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式．已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点．设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立？
【解析】(1)由题意得：，，，又，
，即，曲线的方程为：.
(2)由题意知：直线斜率存在且不为，可设直线，
由得：…①，
，可将代入①式，
化简得：，
设，则，，
，代入得：，即，
同理可得：；
三点共线，，可得，
，
存在实数，使得成立.
例12．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】(1)由题意得：，且，解得：，，所以椭圆方程为：.
(2)直线l过定点，理由如下：由（1）得：，，设，联立椭圆方程得：，设，，则，，则，，由，化简得：，将，代入得：，由于不恒为0，所以，解得：，故过定点.
变式19．（2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.
变式20．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以
又，，，
所以，即，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）依题意，设，
若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，
且，
因为是椭圆上一点，即
所，
则，即，
因为，得
即
因为
，
，
整理得 解得，
所以直线恒过定点 .
变式21．（2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线
的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
变式22．（2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
变式23．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．
(1)若，求横坐标的取值范围；
(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．
【解析】（1）设，
∵，∴，即，∴，
直线的方程为：，
整理可得，，令，则，
即横坐标的取值范围；
（2）的重心为，，
∴，又，且，
∴，化简得，，
∵，
∴，
.
即，所以λ为定值．
变式24．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，即：；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．
（2）由（1）知，
∴直线AB的方程为，由即，
设，，
则，，
∴．
设O点到直线AB的距离为d，则．
∴．
（3）设AB直线方程，
设，，，，
由由定比分点坐标公式：，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得③，
将①②代入③可得，和①进行联立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【题型归纳目录】
题型一：斜率和问题
题型二：斜率差问题
题型三：斜率积问题
题型四：斜率商问题
【典例例题】
题型一：斜率和问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．
(1)求动点所在的曲线的方程；
(2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
例2．（2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
例3．（2023·贵州·高三阶段练习（理））平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.
变式1．（2023·广西·模拟预测（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．
变式2．（2023·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
变式3．（2023·辽宁·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
变式4．（2023·广西·桂平市第五中学高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.
若，，求直线的方程；
若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.
变式5．（2023·安徽·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
变式7．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
变式8．（2023·山西大附中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
例5．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
例6．（2023·四川绵阳·高三期末（文））设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.
变式9．（2023·江西·南昌二中高三阶段练习（文））如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.
（1）求抛物线C的标准方程
（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.
变式10．（2023·江苏南通·高三期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．
题型三：斜率积问题
例7．（2023·河南安阳·高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
例8．（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
例9．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
变式11．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
变式14．（2023·山西长治·高三阶段练习）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
变式15．（2023·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
变式16．（2023·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
题型四：斜率商问题
例10．（2023·湖南衡阳·三模（文））如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
例11．（2023·重庆一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式．已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点．设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立？
例12．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
变式19．（2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
变式20．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
变式21．（2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
变式22．（2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
变式23．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．
(1)若，求横坐标的取值范围；
(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．
变式24．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
专题32 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
【方法技巧与总结】
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【题型归纳目录】
题型一：斜率和问题
题型二：斜率差问题
题型三：斜率积问题
题型四：斜率商问题
【典例例题】
题型一：斜率和问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．
(1)求动点所在的曲线的方程；
(2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
【解析】（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，
等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，
由抛物线的定义可得：
动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
可得，抛物线开口向右，
∴曲线的方程为．
（2）设直线的斜率为，
∵直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
∴直线的斜率为，
则，，
联立方程组，整理得，
即，或（舍）
可得
联立方程组，整理得，
即，或（舍）
可得
则
即直线的斜率为定值．
例2．（2023·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
例3．（2023·贵州·高三阶段练习（理））平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.
【解析】（1）设点，由题，有，即，解得，
所以所求点轨迹方程为
（2）由题，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
与曲线联立方程组得，解得，
设，，则有，
依题意有直线的斜率为，则直线的方程为，
令，则有点的坐标为，
由题，，
，
因为，
所以
解得，则必有，
所以.
变式1．（2023·广西·模拟预测（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．
【解析】（1）由题意可知，设抛物线的方程为，易知点，
由题意可得，所以，抛物线的方程为.
（2）设点、，则，同理，
若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，
可得，解得，即直线的方程为，
所以，直线过定点.
变式2．（2023·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【解析】（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）设直线，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
变式3．（2023·辽宁·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）联立方程，解得或，
不妨设，，
因为，所以，，
因为，所以，
化简得，即，
因为，所以，，
故椭圆的方程为，
（2）当直线的斜率存在时：
显然斜率不为，否则直线、的斜率之和为，不符合题意，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，，
因为直线、的斜率之和为，，
所以，
代入，，
即，化简得，
故直线的方程为，即，恒过定点，
当直线的斜率不存在时：
设直线的方程为，，，其中，
因为直线、的斜率之和为，，
所以，解得，恒过定点，
综上所述：直线恒过定点.
变式4．（2023·广西·桂平市第五中学高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.
若，，求直线的方程；
若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.
【解析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义知，
，设，，由题设知，
，，
解得，则，，即，①
又由抛物线的定义知，，即，②
联立①②，解得，或，
，∴，则，
焦点为，，
则直线的斜率为，
故直线的方程为；
证明：若，则抛物线，
，准线，
设直线的方程为，
，，，
由消去得，，
则，，
则
又，，
故直线，，的斜率成等差数列.
变式5．（2023·安徽·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，
当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
设.
因为为的中点，所以.
由题意知，
则，
即，
则.又，
所以，
故离心率.
（2）证明：由题意知，所以，
故的方程为.
设直线的方程为，
联立消去得关于的一元二次方程，整理得：
.
因为与交于两点，
所以，即，
解得或，
故.
设，直线的方程为，
直线的方程为，
两式联立，得
（*）.
又，代入式，
得，
则，
故
即为定值2.
变式7．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
【解析】（1）由对称性可设，
则，
因为点在双曲线上，所以，即，且
所以，
当时，为直角，
当时，为钝角，
所以最小时，.
（2）设，由题意知动直线一定有斜率，设点的动直线为，
设
联立得，
所以，解得且，
，即，
即，
化简得，
，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
将①代入②得，从而
如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，
因此，从而，代入，解得，
此时在双曲线上，
综上，，或者.
变式8．（2023·山西大附中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率，则，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立整理得．
则，故，则．
所以
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，共线，
得，所以．
的斜率为．
则．
为定值．
例5．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以，即
因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
切线方程为:y-y0＝k(x-x0)，
联立，化简得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴将代入得
，
∴.
∴的取值范围是
例6．（2023·四川绵阳·高三期末（文））设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.
【解析】（1）设，.
直线的斜率为，
又、都在抛物线上，
所以，.
由两式相减得，
两边同除以，且由已知得，.
可得，即.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，.
因为
所以，所以，
线段的中点的纵坐标为8，
，
联立解得，
所以，.
设直线的斜率为，则直线，
由消得.
由，得，即.
所以直线，
同理得直线.
联立以上两个方程解得
所以.
变式9．（2023·江西·南昌二中高三阶段练习（文））如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.
（1）求抛物线C的标准方程
（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设抛物线的方程为将M（-2，1）点坐标代入方程中，解得
（2）设，设直线PQ的方程为,代入抛物线方程，得到，则，结合，而
则，代入，得到所以
，解得
过P点的切线斜率为，过Q切线斜率为，则PS的方程为，QS的方程为，联解这两个方程，得到S的坐标为，故点S的直线PQ的距离为，而PQ的长度为，故面积为
，故为定值．
变式10．（2023·江苏南通·高三期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．
依题意，，且，解得a＝2，c＝1．
故b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．
据题意，，即，整理可得，所以．
代入坐标，可得 即
又点M， N在椭圆C上，所以解得
所以直线l的斜率．
（3）依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，
所以两式相减，得，
即，所以，即，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，
所以．
又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组
整理得，
所以，得，．
所以点M的坐标为．
同理，点N的坐标为．
又点M，N，F三点共线，
所以，整理得，
依题意，，，故．
由可得，，即．
所以．
题型三：斜率积问题
例7．（2023·河南安阳·高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求椭圆方程为.
（2）由已知及（1）可得，
设点，则.
设过点P与相切的直线l的方程为，
与联立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根据题意和为方程③的两个不等实根，
所以，
即为定值.
例8．（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，
所以，，得，
所以椭圆方程为，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
例9．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
【解析】（1）由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2），设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
变式11．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
【解析】（1）由题意可知直线的方程为：， 即，
令，解得，所以，
椭圆过点，
可得， 解得，
所以的方程： ；
（2）设，
由题意得直线斜率不为零， 设， 代入到椭圆，
由得，即
所以,
由， 得， 即，
所以，
所以，
所以，
化简得，
所以或，
若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，
所以过定点，
因为为垂足，
所以在以为直径的圆上，，的中点为，
又，所以，
所以的最大值为，
即的最大值为.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
【解析】（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．
又点A的坐标为（－a，0），
所以，解得a＝1．
又因为椭圆M过点P，所以，解得，
所以椭圆M的方程为．
（2）由题意易求直线AP的方程为，即x－y＋1＝0．
因为点Q在椭圆M上，故可设，
又，
所以，
当，即时，，
取得最大值．
（3）法一：单参数法
由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，
得，
设D（xD，yD），则，
即，所以．
设E（xE，yE），同理可得，．
又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，
所以，
所以
故直线DE的方程为．
令y＝0，可得．
故直线DE过定点（－2，0）．
法二：双参数法
设D（xD，yD），E（xE，yE）．
若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，
此时与题设矛盾，
若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，
得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，
则．
又，
可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，
所以，
，
化简得，
解得s＝－2或s＝－1．
又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2．
所以DE的方程为x＝ty－2．
故直线DE过定点（－2，0）．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
【解析】（1）由椭圆的右焦点为，离心率为得. 所以.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设A，则.
设的外接圆方程为，
得，
两式相减得，
因为，所以，
同理：.
两式相减得：，于是：
所以
将代入得：
因为
所以
所以得证.
变式14．（2023·山西长治·高三阶段练习）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【解析】（1）点，在椭圆：（）上代入得：，
点到椭圆右顶点的距离为，则，
解得，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为（），，，．
联立得．
．
∴，，
∵直线与直线斜率之积为．
∴，
∴．
化简得，
∴，
化简得，解得或．
当时，直线方程为，过定点．
代入判别式大于零中，解得（）．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．
综上所述：直线过定点．
变式15．（2023·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
变式16．（2023·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
故定值为
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.
【解析】（1）因为椭圆经过点，所以
又因为，所以
又，解得
所以椭圆的方程为
（2）设三点坐标分别为，，，
设直线斜率分别为，则直线方程为，
由方程组消去，得，
由根与系数关系可得
故，
同理可得，又，
故，
则，从而.
即两点的横坐标之和为常数.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．
试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，由
得．
∴，，
由，，三点共线可知，，所以；
同理可得
所以．
因为，
所以．
考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
题型四：斜率商问题
例10．（2023·湖南衡阳·三模（文））如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，设动圆的圆心，由题意，，
当不在轴上时，过作交于，则是的中点，
∴，
又，
∴，化简得；
又当在轴上时，由已知可得与重合，点的坐标也满足方程，
∴动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）为定值，下面给出证明：
设直线的方程为，，
，，不妨设，
联立得，
∴，
①当时，
若，则，，，
：，，
∴，.
若，同理可得；
②当时，直线的方程为，
联立得，
则，故，同理，
故，
∴（定值）.
综上得为定值.
例11．（2023·重庆一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式．已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点．设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立？
【解析】(1)由题意得：，，，又，
，即，曲线的方程为：.
(2)由题意知：直线斜率存在且不为，可设直线，
由得：…①，
，可将代入①式，
化简得：，
设，则，，
，代入得：，即，
同理可得：；
三点共线，，可得，
，
存在实数，使得成立.
例12．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】(1)由题意得：，且，解得：，，所以椭圆方程为：.
(2)直线l过定点，理由如下：由（1）得：，，设，联立椭圆方程得：，设，，则，，则，，由，化简得：，将，代入得：，由于不恒为0，所以，解得：，故过定点.
变式19．（2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.
变式20．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以
又，，，
所以，即，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）依题意，设，
若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，
且，
因为是椭圆上一点，即
所，
则，即，
因为，得
即
因为
，
，
整理得 解得，
所以直线恒过定点 .
变式21．（2023·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线
的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
变式22．（2023·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
变式23．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．
(1)若，求横坐标的取值范围；
(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．
【解析】（1）设，
∵，∴，即，∴，
直线的方程为：，
整理可得，，令，则，
即横坐标的取值范围；
（2）的重心为，，
∴，又，且，
∴，化简得，，
∵，
∴，
.
即，所以λ为定值．
变式24．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，即：；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．
（2）由（1）知，
∴直线AB的方程为，由即，
设，，
则，，
∴．
设O点到直线AB的距离为d，则．
∴．
（3）设AB直线方程，
设，，，，
由由定比分点坐标公式：，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得③，
将①②代入③可得，和①进行联立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
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