新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析)，共86页。

1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【题型归纳目录】
题型一：面积定值
题型二：向量数量积定值
题型三：斜率和定值
题型四：斜率积定值
题型五：斜率比定值
题型六：线段定值
题型七：直线过定点
题型八：动点在定直线上
题型九：圆过定点
题型十：角度定值
【典例例题】
题型一：面积定值
例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值．
例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．
例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．
变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．
变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．
变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．
题型二：向量数量积定值
例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
题型三：斜率和定值
例7．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例8．已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例9．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
题型四：斜率积定值
例10．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
例11．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
例12．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
变式7．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
变式8．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
题型五：斜率比定值
例13．已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
例14．设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例15．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．
题型六：线段定值
例16．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
例17．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
例18．已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．
变式9．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．
变式10．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．
(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；
(2)在（1）的条件下，若，求的值．
变式11．已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值．
变式12．已知椭圆的离心率为，点在上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．
变式13．已知椭圆，其上顶点与左、右焦点、围成的是面积为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线的斜率存在）交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
题型七：直线过定点
例19．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
例20．在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
例21．已知，是椭圆上的两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．
变式14．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
变式15．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型八：动点在定直线上
例22．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
例23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
例24．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
变式16．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
变式17．已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
变式18．如图，已知椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为．已知△是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．
变式19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．
变式20．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由．
变式21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的一条准线方程为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设为椭圆的上顶点，过点作两条直线，，分别与椭圆相交于，两点，且直线垂直于轴．
①设直线，的斜率分别是，，求的值；
②过作直线，过作直线，与相交于点．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
变式22．已知椭圆的长轴长为，，是的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，直线与轴交于点，过点作直线交于点，．
（1）求的方程；
（2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由．
变式23．已知椭圆的左、右顶点分别为和，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于，两点，连接、，直线与交于点，探求点是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由．
题型九：圆过定点
例25．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．
（3）已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
例26．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
例27．已知定点，曲线上任意一点，到定点的距离比它到轴的距离大2．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
变式24．已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求和的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使以线段为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
变式25．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
变式26．已知椭圆离心率，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程；
（Ⅲ） 如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
题型十：角度定值
例28．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
例29．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，，动点在上且位于第一象限，.当时，直线的斜率为.
(1)求的方程；
(2)设，，证明：.
例30．已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
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专题39 圆锥曲线中的定点、定值问题
【方法技巧与总结】
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【题型归纳目录】
题型一：面积定值
题型二：向量数量积定值
题型三：斜率和定值
题型四：斜率积定值
题型五：斜率比定值
题型六：线段定值
题型七：直线过定点
题型八：动点在定直线上
题型九：圆过定点
题型十：角度定值
【典例例题】
题型一：面积定值
例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值．
【解析】解：（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，解得：，，
所以双曲线的方程为：；
（2）证明：设直线的方程：，直线与曲线的右支相切（切点不为右顶点）
则，整理可得：，
△，可得，①
设直线与轴交于一点，则，
，
双曲线的渐近线的方程为，
联立，可得，，
同理可得，，
则，
由①及直线与曲线右支相切，与异号，
则．
例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）解：由双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，
得，解得，则双曲线的方程为．
（2）证明：由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点）则直线的斜率在不为0．
设直线的方程为，，
联立，消去，得，．
由直线与双曲线右支相切得，△，即．
由于直线与轴正半轴交于一点，令，代入直线方程得，即．
所以，
双曲线两条渐近线方程为，
联立，所以，
联立，所以，
，
故的面积为定值．
例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
【解析】解：（1）因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）因为椭圆的方程为，
所以，，
设，，，
则，即，
则直线的方程为，
令，得，
同理，直线的方程为，
令，得，
所以
，
所以四边形的面积为定值2．
变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】解：（1）椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆方程为．
（2）由直线与椭圆交于，两点，
联立，得，
设，，，，则△，
，，
所以，
，
，
原点到的距离，
为定值．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由已知，，又点在椭圆上，
，，故椭圆方程为
（Ⅱ）设，，，，
由得：
△且，
直线，的斜率之积等于，
，即：
又到直线的距离为，，
所以（定值）．
变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．
【解析】解：（1）由题意可知且，
解得，，
，
所以椭圆方程为；
（2）证明：设，，，，，，直线设为，
联立方程，得，
，，
，
四边形为平行四边形，
，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
所以平行四边形的面积为：
．
变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．
【解析】解：（1）因为椭圆的离心率为,且过点,,
所以,
解得,,
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设,,,,
联立,得,
所以,,
,
因为,
所以,,即,,
因为点在椭圆上，
所以,
化简得,
所以
,
所以原点到直线的距离,
所以
．
变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．
【解析】解：（1）由题意可知，，即，设，，
在△中，，（2分）
解得：，（4分）
椭圆方程为．（5分）
（2）证明：由直线与椭圆相交于、两点，设，，，，
联立，消可得，（6分）
△，则，
则，（8分）
，
而，
（9分）
点在椭圆上，
代入椭圆方程：，
整理可得：，满足△，（10分）
又（11分）
设到直线的距离为，则，（12分）
，
平行四边形的面积为定值．（13分）
变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．
【解析】解：（1），，，
，，
，
椭圆的标准方程为：；
（2）最多只有1条边所在直线与轴垂直，
不妨设所在直线与轴不垂直，其方程为
的重心是，不在直线上，
由得，
设，、，，则
△，
且，，
从而，
设，，的重心是坐标原点，
，
，
，
点，在椭圆上，
即，且符合△，
点，到直线的距离为：
，
的面积，
由即，得
为常数．
题型二：向量数量积定值
例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
【解析】（1）椭圆左顶点为，，又离心率，，
，的方程为：.
（2）设，，则，，
由得：，
则，
，；
直线方程为：，，；
同理可得：，又，
，，
，
为定值.
例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
【解析】解：（Ⅰ）椭圆：椭圆的离心率为，且经过点．
，，．
，．
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，．
代入，整理可得．
解得，于是，
直线的斜率为．
，直线的方程为．
由，解得
（定值）．
例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【解析】解：（1）由为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．
可得：，且，
解得：，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）当切线的斜率不存在时，其方程，
将代入椭圆的方程：得，设，，，，
又，，所以，
同理可得，也有，
当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，，，
直线与圆相切，所以，即，联立，整理可得：，
，，
又，
因为，
所以，所以是直角三角形，
所以．
综上所述：．
题型三：斜率和定值
例7．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【解析】解：（Ⅰ）依题意知：，
椭圆方程为；
（Ⅱ）直线过点，设直线的方程为，再设，，，，
由，消得：，
，
，，
为定值．
例8．已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的，椭圆过点，则，则，
椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，．
联立，消去，整理得，△，整理得：．
则，，，，
直线，的斜率分别为，，，
，
为定值2．
例9．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，
当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
题型四：斜率积定值
例10．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
例11．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
故定值为
例12．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由已知，，
所以，解得，
椭圆方程为；
（2）设，，则，，所以，,
直线方程为，代入椭圆方程得，
显然是此方程的一个解，另一解为，而，即为点的横纵坐标，
,
所以．
所以为定值．
变式7．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求椭圆方程为.
（2）由已知及（1）可得，
设点，则.
设过点P与相切的直线l的方程为，
与联立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根据题意和为方程③的两个不等实根，
所以，
即为定值.
变式8．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【解析】解：（1）由题意可得，，
所以，且，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可得，，所以，
设，，，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，整理可得，
则△，即，
且，，所以，
所以
，
所以为定值．
题型五：斜率比定值
例13．已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线的方程为或；
（2）设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
例14．设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【解析】解：（1）若为椭圆的上顶点，则，
又过点，故直线，
代入椭圆，可得，
解得，，
即点，，从而直线；
（2）证明：设，，，，直线，
代入椭圆方程可得：，△，
所以，，
故，
又，均不为0，故，即为定值．
例15．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．
【解析】（Ⅰ）解：动点到点，的距离比它到直线的距离小2，
动点到点，的距离与它到直线的距离相等，
动点的轨迹是以点，为焦点的抛物线，
动点的轨迹方程为；
（Ⅱ）证明：设，，，，，，，，
则直线的方程为，代入抛物线方程中，得，
，
直线，过点，同理可得，
，，
，
．
题型六：线段定值
例16．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
【解析】（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，
从而由已知，因此，，
故所求椭圆方程为；
（2）
记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，
假设 ，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有
．
解得 ．
因此，
而，
故为定值．
综上，椭圆方程为；.
例17．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
【解析】（1）因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，
因为a＝2，，
所以椭圆Γ的方程；
（2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y整理得，
则，，
因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，
所以，即
整理得
∴
整理得，解得或，
因为，
显然当或时，成立
所以直线l的方程为或；
（3）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为，
①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，
此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，
②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，
联立，消去y整理得，
所以，
因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以，
因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，
所以，
所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．
例18．已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．
【解析】（1）圆的圆心为，半径为，
圆E在内的弧长为，可得，即有，
设在第一象限，可得，，即为，
将代入椭圆方程可得，
联立解得，
（2）由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为，
①当直线（或）与轴平行时，可得，
将代入椭圆得，则，
则；
②当直线（或）与轴不平行时，设，则，
联立方程组，消去y并化简得，
设点，，∴，，
即有，
将k换为，可得，
则，
综上所述，为定值．
变式9．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．
【解析】（1）∵椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
∴，①
，②，
由①②得：，，∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设切点坐标，，则切线方程分别为，．
又两条切线交于点M（4，t），即，，即点A、B的坐标都适合方程，令，可得
故对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点．
（3）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即，
∴，，
不妨设，，，
同理，
∴，
∴的值恒为常数．
变式10．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．
(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；
(2)在（1）的条件下，若，求的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，
所以，，
则，，
所以椭圆的方程为，
设，（，），
则，
又，即，
所以，
因为为定值，所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，直线：，
又，，，
则直线：，令，则，所以，
同理直线：，令，则，所以，
所以，
所以，
化简可得或，
解得或（舍），
所以，，
则，，，，
所以.
变式11．已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值．
【解析】解：（1）由题意知：，，，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：由（1）得：，，，由题意显然的斜率不为0，
所以设直线的方程为：，设，，
联立与椭圆的方程整理得：，，，
直线的方程为：令，，所以，同理可得点，
所以；
直线，令，，即，同理可得所以同理可得，
为定值．
所以为定值．
变式12．已知椭圆的离心率为，点在上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．
【解析】解：（Ⅰ） 根据题意，椭圆的离心率为，
则，则有，即，
又由点在椭圆上，则有，
解可得：，
所以椭圆程为．
（Ⅱ） 设直线，，
，
可得韦达定理：，
则，
令直线为且令，，得，
可得韦达定理：，
所以，则，
所以定值为2．
变式13．已知椭圆，其上顶点与左、右焦点、围成的是面积为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线的斜率存在）交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【解析】解：（1）因为△为正三角
所以，解得，
由对称性可得，
，
所以，即，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不为0时，设其方程为，，，，，
联立，得，
所以，且，
所以弦的中点的坐标为，，
则弦的垂直平分线方程为，
令，得，
所以，
所以
，
所以，
当直线的斜率为0时，，，
所以，
综上所述，是定值且为4．
题型七：直线过定点
例19．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，
依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，
，
因此，解得，
所以直线的方程为或.
（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，
则，，
而，，则，，
两式相加得：，而，
则，因此，两式相减得：
，而，则，即，
所以直线与交于定点.
例20．在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
例21．已知，是椭圆上的两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．
【解析】（1）由题意可得 ,解得 ，
故椭圆E的方程为．
（2）证明：由（1）可知，，则直线的方程为
联立方程组,整理得，解得或，则，
设，直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组 ，整理得，
可得，
联立方程组 ，整理得，
则，从而．
因为，，即,
所以直线经过点F．
变式14．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【解析】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
变式15．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
题型八：动点在定直线上
例22．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
则，，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程，解得，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
例23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
【解析】（1）由已知，得， ，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）证明：若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，∴直线的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线斜率不为0.
设，，
，，，．
将直线的方程代入椭圆方程联立得，，
，，
．
同理，．由得化简得，
即，，，
此时，，∴直线，
联立直线方程解得，即点在定直线上．
例24．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
【解析】（1）设，，
，
，
所以.
（2）设 ，
得到，
，
，
直线，
直线，
联立得:，
法一：，
解得.
法二：由韦达定理得，
.
解得，
所以点在定直线上.
变式16．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
【解析】(1)因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以,
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
(2)设直线的方程为：，，
联立方程得：，
则，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程得：，
把代入上式得：
，
所以当点运动时，点恒在定直线上
变式17．已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【解析】(1)由椭圆过点，且离心率为，所以，解得
故所求的椭圆方程为．
(2)由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上．
变式18．如图，已知椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为．已知△是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为，
△是边长为2的正三角形，
，，（1分）
故椭圆的方程为．（3分）
（2）由题意知直线的斜率必存在，设其直线方程为，
设，，，，联立方程组，
消去，得，
△，，，
由，得，
解得，
设点的坐标为，，则由，
得，
解得，
又，
，
从而，
故点在定直线上．
变式19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．
【解析】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，准线的方程为，
由题意可得，所以可得①，
所以椭圆的方程为：，
联立方程组，整理可得：，
解得第一象限的交点的横坐标为：，
又因为，
由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得：，
解得：，
可得，
所以椭圆的标准方程为：；
抛物线的标准方程为：；
（2）证明：由（1）可得左焦点，
联立，整理可得：，①
由直线与椭圆相切可得，且△，
可得：，即，
代入①可得，即，
解得：，，
即，，
所以，
由题意可得，
所以直线的方程为：，
联立直线，的方程：，两式相除可解得：，
即在直线上，
变式20．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意，，离心率为．
可得，，
解得，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，、，，
联立，消去并整理得，
△，
由韦达定理得，．
易知点、，
直线的斜率为，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
由，，
可得，
其中，
，
解得．
因此，点的纵坐标为定值3
变式21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的一条准线方程为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设为椭圆的上顶点，过点作两条直线，，分别与椭圆相交于，两点，且直线垂直于轴．
①设直线，的斜率分别是，，求的值；
②过作直线，过作直线，与相交于点．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为．
由题意，得解得从而．
所以椭圆的方程为．
（2）①根据椭圆的性质，，两点关于轴对称，
故可设，，，，，
从而．
因为点在椭圆上，所以，所以，
所以．
②设，，依题意．
因为，所以，即；
因为，所以，即，
故，
化得．
从而必有，即．
即点在一条定直线上．
变式22．已知椭圆的长轴长为，，是的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，直线与轴交于点，过点作直线交于点，．
（1）求的方程；
（2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为椭圆的长轴长为，
所以．
又△是底角为的等腰三角形，
所以，，
所以．
所以，即，
解得．所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知直线的方程为，．
设，，，，，，
①当过点的直线的斜率不等于0时，设直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，
所以△，即，，，则．
又由直线的方程是，
直线的方程是，
联立两直线的方程，并消去得，，，，
所以，
所以与的交点恒在定直线上．
②当过点的直线的斜率等于0时．，是椭圆的左、右两个顶点，不妨设，，则直线的方程是，
直线的方程是，
联立两直线的方程，并消去得，
所以此时与的交点也在定直线上．
综上所述，直线与的交点恒在定直线上．
变式23．已知椭圆的左、右顶点分别为和，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于，两点，连接、，直线与交于点，探求点是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题设，，，且
所以，，椭圆方程为；
（2）由（1）知，，，设直线的方程为，
联立方程组，得，
因为△，设，，，，所以，
设直线的方程为，直线的方程为，
则，即，
而，
，
，即直线与直线的交点在直线上．
题型九：圆过定点
例25．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．
（3）已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
【解析】解：（1）已知，，
则，
则所求方程为：；
（2）由已知，，
设，则，
；
（3）当直线的斜率不存在时，
因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．
代入椭圆方程可得，可得，，，，
则以为直径的圆的方程为．
当直线的斜率为零时，
因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．
代入椭圆方程可得，可得，，，，
则以为直径的圆的方程为．
显然以上两圆都经过点．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为．
代入椭圆方程消去，得，
设，，，，则，．
所以．
所以①，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，整理，得，②
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，
综上可知，以为直径的圆过定点．
例26．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
【解析】解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即．
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，
所以，所以，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，
因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．
由，可得，，
则以为直径的圆的方程为．
当直线的斜率为零时，
因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．
由，可得，，
则以为直径的圆的方程为．
显然以上两圆都经过点．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为．
由消去，得，
设，，，，则，．
所以．
所以①，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，整理，得，②
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，
综上可知，以为直径的圆过定点．
例27．已知定点，曲线上任意一点，到定点的距离比它到轴的距离大2．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：上任意一点到定点的距离与它到直线的距离相等．设方程为，，，抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，则，．由，得，同理得，
由，得，．，则，
则，因此，以线段为直径的圆经过点．
变式24．已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求和的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使以线段为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为： ，
抛物线的方程为：，
从已知中所给四点的坐标可得：点，一定在椭圆上，
，，点一定在抛物线上，
，即抛物线的方程为：，
则，也在椭圆上，
故，
解得：，
故椭圆的方程为：，
（Ⅱ）设动直线的方程为：，
由，得，
设，，，，
则，，
假设在上存在定点，满足题设，
则，，，，
，
由假设得对于任意的，恒成立，
即，
解得．
因此，在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点，点的坐标为．
变式25．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）直线的斜率为，直线的方程为，
当时，可得点坐标为．
，为垂足，点纵坐标为，
，点横坐标为，
点坐标代入抛物线方程，
，，
故抛物线的方程为；
（2）设直线的方程为，，，，，
联立，
整理得：，
△，，，
直线的方程为，
同理：直线的方程为，
令得，，
设中点的坐标为，，
则，
所以，
则，
圆的半径为，
所以以为直径的圆的方程为，
展开可得，
令，可得，解得或．
从而以为直径的圆经过定点和．
变式26．已知椭圆离心率，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程；
（Ⅲ） 如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
【解析】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得，
由，得，．
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，，，，，
由可得，
，
，
；
（2）当直线的斜率不存在时，不符合．
直线方程为和．
（Ⅲ）以为直径的圆过定点．
证明如下：设，，则，，且，即，
，直线方程为：，，
直线方程为：，，
以为直径的圆为，
或通过求得圆心，得到圆的方程．
即，
，，
令，则，解得．
以为直径的圆过定点．
题型十：角度定值
例28．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【解析】（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
例29．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，，动点在上且位于第一象限，.当时，直线的斜率为.
(1)求的方程；
(2)设，，证明：.
【解析】（1）由椭圆的定义，得，即，
设，由，得点的坐标为，
由直线的斜率为，得，
结合及，得，解得或（舍去），
所以，
所以的方程为；
（2）由题意得，，
设，
当时，，，，
故成立；
当时，，即，
整理，得，
解得，
即，考虑到为锐角，应舍去；
或.又，
所以，
综上，.
例30．已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
【解析】（1）由已知得 ，
解得，，
故椭圆的方程是.
（2）由题设直线的方程为，，，
把代入得，
所以， ，
设直线的方程为，，，
类似可得，，
因直线的方程为，
所以点的纵坐标，
同理可得点的纵坐标，
要证，只需证，
即证，
即
而式左边
，故结论成立 .
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