新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题34两条直线的位置关系(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题34两条直线的位置关系(原卷版+解析)，共65页。

知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
知识点二：三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【方法技巧与总结】
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7．斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
【题型归纳目录】
题型一：两直线位置关系的判定
题型二：有关距离的计算
题型三：有关距离的最值问题
题型四：点点对称
题型五：点线对称
题型六：线点对称
题型七：线线对称
题型八：直线系方程
【典例例题】
题型一：两直线位置关系的判定
例1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例2．（2023·全国·高三专题练习（文））已知，则直线：和直线：的位置关系为（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．垂直或重合
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则满足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
例4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．B．2或C．2D．
例5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为（－1，1）B．△ABC的顶点C的坐标可能为（－2，0）
C．△ABC的垂心坐标可能为（－2，0）D．△ABC的重心坐标可能为
例6．（2023·全国·高三专题练习（理））直线和直线垂直，则实数__________．
例7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例8．（2023·全国·高三专题练习）直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【方法技巧与总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
题型二：有关距离的计算
例9．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1B．C．D．3
例10．（2023·吉林市教育学院模拟预测（理））已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
例11．（2023·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
例12．（2023·全国·高二课时练习）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______．
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
例14．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
例16．（2023·江苏·高二）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
【方法技巧与总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
例18．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．
C．D．
例19．（2023·广东潮州·二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5B．C．45D．
例20．（2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
例21．（2023·全国·高三专题练习）记，，，则的最小值是___________．
例22．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最小值为___________．
例23．（2023·全国·高三专题练习（文））已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________．
例24．（2023·上海·复旦附中青浦分校高三开学考试）已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为__________________．
例25．（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________．
例26．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
例28．（2023·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
例29．（2023·全国·高三专题练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例31．（2023·全国·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例32．（多选题）（2023·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
（2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
例34．（多选题）（2023·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
例35．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6B．7C．10D．15
【方法技巧与总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
题型四：点点对称
例36．（2023·全国·高二）过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
例37．（2023·全国·高二课时练习）已知，，点是线段的中点，则______．
例38．（2023·内蒙古包头·高一期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
例39．（2023·海南·高二期末）已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________．
【方法技巧与总结】
求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得
题型五：点线对称
例40．（2023·江西省峡江中学高二期中（理））在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点（如图）．若光线经过的重心，且则_________
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（ ）
A．（－1，2）B．（2，－1）C．（1，3）D．（3，1）
例42．（2023·全国·高三专题练习）已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标．
【方法技巧与总结】
求点关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得
题型六：线点对称
例45．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
例46．（2023·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．
例48．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
求直线l关于点中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．
题型七：线线对称
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
例50．（2023·全国·模拟预测）与直线关于对称的直线的方程为__________．
例51．（2023·全国·高三专题练习（文））直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
例52．（2023·全国·高三专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例53．（2023·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
例54．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离
例55．（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例56．（2023·全国·高三专题练习（文））直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为（ ）
A．x－3y＋14＝0B．x＋y－2＝0C．x＋2y－6＝0D．2x－y+8＝0
【方法技巧与总结】
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型八：直线系方程
例57．（2023·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________．
例58．（2023·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
例59．（2023·江苏·高二）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
例60．（2023·全国·高二专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
例61．（2023·全国·高一课时练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【方法技巧与总结】
利用直线系方程求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件
3．（2023·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2B．最大值为
C．最大值为D．最大值为
5．（2023·全国·高三专题练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
6．（2017·河南新乡·高三）设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
7．（2023·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设点P（-4，2），Q（6，-4），R（12，6），S（2，12），则有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
10．（2023·湖北襄阳·高三阶段练习）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可能是直线B．当时，直线与曲线相切
C．曲线经过定点D．当时，直线与曲线相交
11．（2023·重庆一中高三期中）若过点，，，作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·河北衡水·高三阶段练习）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（ ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率；②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
14．（2023·全国·高二专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
15．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））不等式的解集为______．
16．（2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点，、，的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为_________．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知直线
（1）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）直线与直线平行，求与之间的距离．
19．（2023·全国·高三专题练习（理））已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）．O为坐标原点，若线段OB交AD于M点，且，求t的值和相应M点的坐标．
21．（2023·全国·高三专题练习（理））已知平行四边形的三个顶点坐标为
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）求平行四边形的面积；
（3）在中，求外心的坐标．
22．（2016·江苏常州·高三阶段练习）如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．
专题34 两条直线的位置关系
【考点预测】
知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
知识点二：三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【方法技巧与总结】
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7．斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
【题型归纳目录】
题型一：两直线位置关系的判定
题型二：有关距离的计算
题型三：有关距离的最值问题
题型四：点点对称
题型五：点线对称
题型六：线点对称
题型七：线线对称
题型八：直线系方程
【典例例题】
题型一：两直线位置关系的判定
例1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】当时，：，即；：，
即，两直线的斜率相等，所以，即“”是“”的充分条件；
当时，，解得或，当时，两直线方程不同，符合题意，
当时，：，：即，不符合题意，
所以，当时，，即“”是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习（文））已知，则直线：和直线：的位置关系为（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．垂直或重合
答案：D
【解析】因为，所以或．
当时，：，：，，
所以，则两直线垂直；
当时，：，：，则两直线重合．故选：D
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则满足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
答案：C
【解析】由可得，得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
故满足的的值为0或．
故选：C．
例4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．B．2或C．2D．
答案：D
【解析】直线斜率必存在，
故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．
故选：D．
例5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为（－1，1）B．△ABC的顶点C的坐标可能为（－2，0）
C．△ABC的垂心坐标可能为（－2，0）D．△ABC的重心坐标可能为
答案：ACD
【解析】由顶点A（－4，0），B（0，4），可知直线AB的垂直分线方程为，
的外心在直线x－y＋2＝0上，
联立，可得外心坐标为（－1，1），故A正确；
设外心为G，则G（－1，1），故，
所以外接圆方程为，
设，则的重心为，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，
得：，和联立，解得或，
即C点坐标可以为，故B错误；
由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确，
故选：ACD．
例6．（2023·全国·高三专题练习（理））直线和直线垂直，则实数__________．
答案：0或1【解析】因直线和直线垂直，
则有，即，解得或，
所以或．
故答案为：0或1
例7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】直线与直线垂直，
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
例8．（2023·全国·高三专题练习）直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
答案：C
【解析】由直线与直线互相垂直，
可得，解得或3，
当时，联立，解得交点坐标为，不合题意；
当时，联立，解得交点坐标为，合乎题意，
故实数a的值为，
故选：C
【方法技巧与总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
题型二：有关距离的计算
例9．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1B．C．D．3
答案：B
【解析】原点到直线的距离为．
故选：B．
例10．（2023·吉林市教育学院模拟预测（理））已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
答案：D
【解析】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
例11．（2023·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：C
【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，
则或或，
∴l方程为：，
．
故选：C．
例12．（2023·全国·高二课时练习）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______．
答案：直角三角形 5
【解析】因为，
，，
所以，即是以A为直角顶点的直角三角形．
由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以．
故答案为：直角三角形；
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
答案：
【解析】设的中点为，
因为的顶点，，
则，又，
所以．
故答案为：．
例14．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
答案：
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
答案：D
【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是．
故选：D．
例16．（2023·江苏·高二）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
答案：A
【解析】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
【方法技巧与总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
答案：C
【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值．
故选：C
例18．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意．
故选：C．
例19．（2023·广东潮州·二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5B．C．45D．
答案：B
【解析】因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：B．
例20．（2023·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
答案：2
【解析】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且．
故答案为：．
例21．（2023·全国·高三专题练习）记，，，则的最小值是___________．
答案：
【解析】表示点，两点之间距离的平方，
点的轨迹方程是，点的轨迹方程是，
设平行于且与相切的直线方程为，
联立，得，
由，解得：，
所以与相切的直线方程为或，
，两点之间距离的最小值，
即为两平行直线与间的距离，为，
的最小值是．
故答案为：．
例22．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最小值为___________．
答案：5
【解析】函数
表示轴上动点到和的距离和，当
为与轴的交点时，函数取最小值，
故答案为：5
例23．（2023·全国·高三专题练习（文））已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________．
答案：5+2
【解析】设，因为PQ与两直线垂直且，
则，
故．
此式表示为点到及的距离之和，其最小值即为．
故所求最小值为．
故答案为：
例24．（2023·上海·复旦附中青浦分校高三开学考试）已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为__________________．
答案：2
【解析】由题意得，
其几何意义为：点与点的距离之和，
如图所示：
设点，则求的最小值即可，
以B为旋转中心，将绕点B逆时针旋转60°至，连接，
则均为等边三角形，
所以，
所以，
即，
又，所以，
化简可得，
左右同时平方，根据，解得，
故答案为：2
例25．（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________．
答案：
【解析】设点A关于直线的对称点，
的中点为，
故解得，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，
故答案为：
例26．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．
答案：
【解析】点关于直线和对称点为，
因为，
又因为，
所以△周长的最小值为．
故答案为：
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
答案：3
【解析】如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以的最小值为，
因为，直线为，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案为：3
例28．（2023·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
答案：B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
例29．（2023·全国·高三专题练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当三点共线时取等，
故的最小值为
故选：A
例30．（2023·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C．
例31．（2023·全国·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值．
故选：A．
例32．（多选题）（2023·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为
答案：AC
【解析】对于A选项，设点为线段上任意一点，
则，A对；
对于B选项，设点，则，
当，时，则；当，时，则；
当，时，则；当，时，则．
作出点的轨迹如下图所示：
由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；
对于C选项，设点、、，
由绝对值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C对；
对于D选项，设点、，
不妨设，，
则
，其中为锐角，且，
取，，等号成立，D错．
故选：AC．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
（2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′（a，b），
则，解得，所以C′（－1，1）．
所以直线AC′的方程为y＝1．
由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值．
（2）如图②，设点B关于l的对称点为B′（m，n），
则，解得，所以B′（3，3）．
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0．
由，得直线AB′与直线l的交点为Q（2，5），此时|AQ|－|BQ|取最大值．
例34．（多选题）（2023·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：ABC
【解析】依题意圆，
设，
当时，，
，，，
当时，，
，，．
综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合．
故选：ABC
例35．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6B．7C．10D．15
答案：BCD
【解析】，，关于轴的对称点为
故
又两圆的半径分别为2，1
故
满足要求的值有B，C，D
故选：BCD
【方法技巧与总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
题型四：点点对称
例36．（2023·全国·高二）过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，则，解得：，，，
．
故选：D．
例37．（2023·全国·高二课时练习）已知，，点是线段的中点，则______．
答案：
【解析】由中点坐标公式知：，，解得：，，．
故答案为：．
例38．（2023·内蒙古包头·高一期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
答案：
【解析】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即．
故答案为：．
例39．（2023·海南·高二期末）已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________．
答案：
【解析】由，，
得线段的中点坐标为，
所以，解得，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得
题型五：点线对称
例40．（2023·江西省峡江中学高二期中（理））在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点（如图）．若光线经过的重心，且则_________
答案：
【解析】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，
因为，，
所以，解得，
由光的反射原理可知：四点共线，所以，
所以，代入重心坐标即，
所以，解得或（舍）．
故答案为：．
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（ ）
A．（－1，2）B．（2，－1）C．（1，3）D．（3，1）
答案：D
【解析】设点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点是（a，b），
则，解得：，
故选：D．
例42．（2023·全国·高三专题练习）已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0
答案：B
【解析】由题意得AB的中点C为（1，1），又A，B两点连线的斜率为，
所以直线l的斜率为，因此直线l的方程为，即3x－4y＋1＝0．
故选：B．
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程．
【解析】直线l：即为，
所以直线过定点，
因为一条光线经定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，
如图所示：
易知
则，
即光线在这个过程中走过的路程为．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标．
【解析】设，由题设有，整理得，解得，
所以．
【方法技巧与总结】
求点关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得
题型六：线点对称
例45．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
例46．（2023·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上．
故选：C
例47．（2023·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．
答案：
【解析】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为．
故答案为：．
例48．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即．
故选：D．
【方法技巧与总结】
求直线l关于点中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．
题型七：线线对称
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
答案：．
【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为．
故答案为：
例50．（2023·全国·模拟预测）与直线关于对称的直线的方程为__________．
答案：
【解析】联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即．
故答案为：
例51．（2023·全国·高三专题练习（文））直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
答案：x＋2y－4＝0
【解析】
法一：设P（x，y）为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为（2－x，y），然后，直接代入求解即可；
法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，在利用对称的直线，斜率互为相反数，进而求解即可；
【详解】
法一：设P（x，y）为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为（2－x，y），且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0．
法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，则所求直线过点P．因为直线x－2y＋2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即x＋2y－4＝0
故答案为：x＋2y－4＝0
例52．（2023·全国·高三专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】直线的斜率为，与x轴交于点，
直线关于轴对称的直线的斜率为，并且过点A，
由直线的点斜式方程得：，即，
所以所求直线的方程为：．
故选：D
例53．（2023·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，
所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，
则，得，
即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，
即．
例54．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离
【解析】当时，直线，
在直线上取点和，
点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
则点和点在直线上，
由两点式可得直线的方程：，即，
此时直线与间的距离为．
例55．（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
求得直线与坐标轴的交点分别为，进而求得点关于的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解．
【详解】
由直线，可得与坐标轴的交点分别为，
设点关于直线的对称点为，
则满足，解得，
同理求得点关于直线的对称点为，
又由，所以直线的方程为，即，
所以直线方程关于的对称直线方程为．
故选：A．
例56．（2023·全国·高三专题练习（文））直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为（ ）
A．x－3y＋14＝0B．x＋y－2＝0C．x＋2y－6＝0D．2x－y+8＝0
答案：C
【解析】解方程组得直线l1与直线l的交点．
在直线l1上取一点B（2，0），设点B关于直线l的对称点为C（x，y），
则解得，即C（－2，4）．
又直线l2过和C（－2，4）两点，
故由两点式得直线l2的方程为，
即x＋2y－6＝0．
故选：C．
【方法技巧与总结】
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型八：直线系方程
例57．（2023·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________．
答案：
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为．
故答案为：
例58．（2023·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
【解析】（1）法一：直线与的交点为，
当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
所以由直线系方程可设所求直线为
，
当直线的斜率为时，，解得，
故所求直线方程为；
（2）法一：过点时，由两点式得：即为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
过点时，代入（1）中直线系方程得，
故所求直线方程为．
（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得，
故所求直线方程为．
例59．（2023·江苏·高二）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
【解析】设直线方程为，
化简得，
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线的斜率为，
或，解得或．
代入并化简得直线的方程为或．
所以所求的直线方程为或．
例60．（2023·全国·高二专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【解析】设过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为2，
解得λ，
∴所求的直线方程为2x+y+8＝0．
例61．（2023·全国·高一课时练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【解析】易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，解得，
故所求直线方程为，整理得．
【方法技巧与总结】
利用直线系方程求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件
答案：B
【解析】若两直线平行，则，解得：或，
当时，两直线重合，故不符合题意，舍去；
当时，两直线平行，符合题意．故．
所以是的充要条件，
故选：B．
3．（2023·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是．
故选：C
4．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2B．最大值为
C．最大值为D．最大值为
答案：C
【解析】依题意，，，．
取中点为，由于为直角三角形，故
由于为直角三角形，故
显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立．
因此，最大值为．
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
答案：B
【解析】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以，即，并且，．
所以
得：即，
所以方程组有唯一解．
故选：B
6．（2017·河南新乡·高三）设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
答案：B
【解析】由题可知：直线与的斜率分别为，
又在中，所以，所以两条直线垂直，
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，，则，
的中点为，，
分别在直线和，
，，
，即．
，即，
又，，即，
所以，即，
所以，
解得．
故选：A．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设点P（-4，2），Q（6，-4），R（12，6），S（2，12），则有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
答案：ABD
【解析】依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确．
故选：ABD
10．（2023·湖北襄阳·高三阶段练习）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可能是直线B．当时，直线与曲线相切
C．曲线经过定点D．当时，直线与曲线相交
答案：ACD
【解析】当时，曲线的方程为：，表示直线，故A正确；
由，得，
令，得，所以曲线经过定点，故C正确；
当时，曲线的方程为：，即，
此时曲线表示圆，且圆心为，半径，
因为到直线的距离，
所以直线与曲线不相切，故B错误；
到直线的距离，
所以直线与曲线相交，故D正确．
故选：ACD．
11．（2023·重庆一中高三期中）若过点，，，作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点C的直线为和，则过点B和点D的直线为和，
其中和的距离与和的距离相等，即，解得：，故正方形的边长为，该正方形的面积为，
当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点B的直线为和，则过点C和点D的直线为和，其中和的距离与和的距离相等，即，解得：，故正方形的边长为，该正方形的面积为
当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点D的直线为和，则过点B和点C的直线为和，其中和的距离与和的距离相等，即，解得：，故正方形的边长为，该正方形的面积为
故选：ABD
12．（2023·河北衡水·高三阶段练习）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（ ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
答案：BC
【解析】对于A选项，直线过定点，A错；
对于B选项，直线的方程可化为，
由可得，故定点，B对；
对于C选项，，所以，，所以，，
线段的中点为，且，所以，，
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
所以，点的轨迹方程为，即，C对；
对于D选项，设点，，，
所以，，
所以，，
记点，则，
因为且，
所以，，
所以，，当且仅当、、三点共线且点在线段上时，
等号成立，故的最大值为，D错．
故选：BC．
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率；②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
答案：
【解析】因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，．
①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；
③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；
所以正确的命题个数是4．
故答案为：．
14．（2023·全国·高二专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
答案：
【解析】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
15．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））不等式的解集为______．
答案：
【解析】原不等式可化为，即平面上一点到点和距离之差的绝对值小于4的解．双曲线上的点到点和的距离之差的绝对值为4，且双曲线与直线的交点为和，所以原不等式的解集为．
故答案为：
16．（2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点，、，的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为_________．
答案：
【解析】由题意设，则．
当时，即当时，
，
，，
则当时，的最大值为；
当时，即当时，
，，
则当时，的最大值为．
综上所述，的最大值为．
故答案为：．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为．
【解析】（1）由于与相交于一点，故把点代入的方程
可得，联立解得．
（2）当时，可得和，此时不满足；
当时，因为且过点，可得，
解得或．
（3）由且l1在y轴上的截距为，可得，解得．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知直线
（1）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）直线与直线平行，求与之间的距离．
【解析】（1）直线，令，，则
（2）直线与直线平行，则，得
当时，直线，即满足条件
此时直线与之间的距离为
19．（2023·全国·高三专题练习（理））已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
【解析】（1）因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，
解得，所以，
（2）设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，所以，
经过点，所以
所以直线的方程为整理得．
（3）设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线上，
代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）．O为坐标原点，若线段OB交AD于M点，且，求t的值和相应M点的坐标．
【解析】设，，由得，解得，
故，易知直线OB的方程为，直线AD的方程为，即，联立，
解得，故，，由，解得．
21．（2023·全国·高三专题练习（理））已知平行四边形的三个顶点坐标为
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）求平行四边形的面积；
（3）在中，求外心的坐标．
【解析】（1）AC中点为，该点也为BD中点，设，根据中点坐标公式得到：，解得：，
所以；
（2）故得到斜率为：，代入点坐标可得到直线BC：，
∴A到BC的距离为，
又根据两点间距离公式得到：，∴四边形ABCD的面积为．
（3）设点，则，即，
化简得：，解得，所以外心的坐标为．
22．（2016·江苏常州·高三阶段练习）如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
【解析】（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
则可得点，
设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点，
则．
所以
即为所求．
（2）设三段水管总长为，则由（1）知
，
所以在上有解．
即方程在上有解．
故，即，
解得或，
所以的最小值为21，此时对应的．
故，方程为，
令得，即，
从而，．
所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km． 两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．