江苏省无锡市经开区2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

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1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成三角形的是（ ）
A. 2，3，5B. 1，1，3C. 3，4，5D. 7，10，18
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查三角形三边关系．根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边即可解答．
【详解】A．，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．，故不符合题意．
故选C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
3. 世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅0.00028米，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：；
故选：A．
4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选D
5. 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意；
、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意；
、该式从左边到右边是因式分解，符合题意；
、该式左边不能因式分解，不合题意；
故选：．
6. 下列说法：①钝角三角形的三条高交于形外一点；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】考查了钝角三角形高线的性质、平行线的性质、三角形的内角和等知识，
利用钝角三角形高线的性质、平行线的性质、三角形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①钝角三角形的三条高所在直线交于形外一点，原说法错误，不符合题意；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误，不符合题意；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角，正确，符合题意；
④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
7. 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积，
矩形的面积
故．
故选：D．
8. 如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据，得出，再求出，根据四边形的内角和定理解答即可．
【详解】解：，，
，
，
是四边形的外角，
，
，
，
．
故选：C
9. 如图，长方形中，，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，…，第n次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，则长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．每次平移4个单位，n次平移个单位，加上的长即为的长．
【详解】解：每次平移4个单位，n次平移个单位，即，加上的长即为的长．
，
故选：B．
10. 如图为长方形纸带，，点E、F分别是直线、上一点，为锐角，且不等于，将纸带沿折叠如图①，再由折叠如图②，若平分交直线于点P，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由折叠的性质得到，然后由平行线的性质得到，，由折叠得，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵
∴由折叠得，
∴
∵
∴，
∴
∴由折叠得，
∵平分
∴
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的概念等知识，解题的关键是正确分析题目中角度之间的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 一个边形的内角和是，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
【详解】解：依题意有：
，
解得．
故答案为：6．
12. 已知，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，由可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
13. 如图，在四边形中，①；②；③；④．以上条件能得出的是__________．
【答案】②
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
本题考查了平行线的判定， 掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键．
【详解】①∵，
∴，不能证明；
②∵，
∴；
③∵，
∴不能证明；
④∵，
∴，不能证明；
∴能得到的条件是②．
故答案为：②．
14. 如果是一个完全平方式，那么k的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故．
详解】解：∵，
∴．
故答案：．
15. 已知，．则________．
【答案】7
【解析】
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab值代入即可求出值．
【详解】∵a+b=3，ab=1，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2=9-2=7；
故答案为：7.
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点P，
∴，，
∵在四边形ABCD中，，
∴，
由三角形的外角性质得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的性质及外角性质是解题关键．
17. 如图，在中，是的中线，E是中点，，，垂足分别为F，G．若的周长为41，，，，则的长为 __________．
【答案】6.4
【解析】
【分析】该题主要考查了三角形中线知识点以及三角形等面积法的运用，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，同时三角形的中线平分底边；等面积法运用时需注意一定要看准在同一个三角形中运用．先求出各个边的长度，再根据三角形中线求出、的长度，运用等面积法求解即可；
【详解】解：∵，，
∴．
∵的周长为41，
∴，
∴．
∵是的中线，是的中线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：
18. 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且，若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则__________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法．分为四种情况，画出图形，分别求出、、、的度数即可．
【详解】解：如图，若点在点左侧，是“准直角三角形”，且，

，
，
，
；
若点在点左侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
；
若点在点右侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
，
；
若点在点右侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
，
综上所述，的度数为或或或
故答案为：或或或．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，同底数幂的乘法和除法，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减；
（2）首先计算同底数幂的乘法和除法，积的乘方，然后计算加减；
（3）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后计算加减；
（4）根据幂的乘方和积的乘方的逆运算求解即可．
【小问1详解】
=
=；
【小问2详解】
=
=；
【小问3详解】
=
=；
【小问4详解】
．
20. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
（2）利用平方差公式因式分解即可．
【小问1详解】


；
【小问2详解】
=
=．
21. 先化简，再求值： ，其中，
【答案】；19．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先利用乘法公式计算乘法运算，再合并同类项，最后把，代入计算即可．
【详解】解：

；
当， 时，
原式．
22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．将△ABC经过一次平移得到，点D、E、F分别是A、B、C的对应点．
（1）画出平移后的；
（2）利用格点图画出中边上的高；
（3）在格点上找一点P（不与B点重合），使的面积等于的面积．满足这样条件的点P共__________个；
（4）平移过程中，线段扫过的图形面积是__________．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）11；
（4）12．
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的高，割补法求面积等知识，解题的关键是如何用相关知识在网格中找出关键的格点．
（1）根据平移的性质画图即可；
（2）根据三角形高线的概念和网格的特点求解即可；
（3）利用等底等高的两三角形面积相等即可求解；
（4）连接，，理由割补法求出四边形的面积即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
如图所示，根据等底等高的两三角形面积相等可得，
满足这样条件的点P共11个；
【小问4详解】
如图所示，连接，，
∴线段扫过的图形面积．
23. 如图，，E是上一点，，平分交于点F，求的度数．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
24. 如图，是的高，点E、F在、上，，，．
（1）求度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键；
（1）先求解，再利用平行线的性质可得答案；
（2）先证明，，可得，再进一步证明即可．
【小问1详解】
证明：在中，∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
25. 阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于的多项式关于对称，则__________；
（3）代数式 的对称轴是__________．
【答案】（1）；对称轴为；
（2）6； （3）．
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练利用完全平方公式分解因式是解题的关键．
（1）加上，同时再减去，配方，整理，根据定义回答即可；
（2）将配成，根据对称轴的定义，对称轴为，
根据对称轴的一致性，求a即可；
（3）将代数式配方成，根据定义即可得到答案．
【小问1详解】
解：
＝
＝．
∴该多项式的对称轴为；
【小问2详解】
∵，
∴对称轴为，
∵关于的多项式关于对称，
∴，
即，
【小问3详解】
∵
，
∴对称轴为．
26. 如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．
请尝试探究：
（1）请直接写出、与的数量关系为__________；
（2）若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．
（3）若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可；
（3）由三角形的内角和定理可得，，可得，再结合（1）的结论可得答案．
【小问1详解】
解：在中，，
在中，，
，
，，
，
，
由对折可得：，
，
【小问2详解】
证明：如图，

过点作，
，
平分，平分，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：∵，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的判定及角平分线的定义．