2024年江苏省苏州市昆山市六校联考中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江苏省苏州市昆山市六校联考中考数学一模试卷（含详细答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−12024的相反数是( )
A. 2024B. 12024C. −2024D. 1
2.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x4)2=x6
C. (−3xy2)3=−9x3y6D. x9÷x3=x6
4.一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
5.《九章算术》是我国古代数学名著，卷7“盈不足”中有题译文如下：现有一伙人共同买一个物品，每人出8钱，还余3钱；每人出7钱，还差4钱，问有人数、物价各是多少?设物价为x钱，根据题意可列出方程( )
A. 8x+3=7x−4B. x+38=x−47C. 8x−3=7x+4D. x−38=x+47
6.如图，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，E是CD边上一点，连接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF.当CF长度最小时，△CEF的面积是( )
A. 54B. 43C. 32D. 2
7.如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE=1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为( )
A. 62B. 32C. 2− 3D. 6− 22
8.如图①，点A，B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是xs，线段AP的长度是ycm.图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是( )
A. 92B. 4 2C. 143D. 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式1 x−3有意义，则实数 x 的取值范围是__________
10.因式分解：4a3−16a2+16a=__________.
11.古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，1元=129600年，其中129600用科学记数法表示为__________.
12.如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B，C，D都是格点，且AB与CD相交于点P，则sin ∠APD的值为__________
13.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为__________小时．
14.如图，在▱ABCD中，∠D=60∘.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A,E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为__________.
15.如图，在平面直角坐标系中，将直线y=−3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，则k的值为__________.
16.如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=6 2，∠D是锐角，CE⊥AD于点E，F是CD的中点，连接BF，EF.若∠EFB=90∘，则CE的长为__________.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算： 12−2cs30∘+12−2+1− 3.
18.解不等式组：x+4>−2x+1x2−x−13≤2
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简，再求值：x+2x2−1÷(1x+1−1−x)，其中x的值是方程x2−x−7=0的根．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF.
(1)求证：CF//AB.
(2)若∠A=70∘，∠F=35∘，BE⊥AC，求∠BED的度数．
21.(本小题8分)
将数 3， 6， 9分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片(注：第一个同学抽取到的卡片不放回).
(1)甲同学抽到的卡片上数字是 3的概率是__________；
(2)求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．(用画树状图或列表的方法求解)
22.(本小题8分)
某校举办了青年大学习知识竞赛(百分制)，并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级(A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100)
七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：
其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________.
(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．
(3)请对该校学生对青年学习知识的掌握情况作出合理的评价．
23.(本小题8分)
火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53∘，∠DOC=37∘.

(1)求BO的长．
(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．(参考数据：sin37∘≈35，tan37∘≈34，sin53∘≈45，tan53∘≈43，sin64∘≈0.90，cs64∘≈0.44)
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b(k1,b为常数，且k1≠0)与反比例函数y=k2x(k2为常数，且k2≠0)的图象交于点A(m,6)，B(4,−3).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当k2x>k1x+b>0时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)已知一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为9，求点P的坐标．
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BE=8，sinB=513，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，求AD的长．
26.(本小题8分)
我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D(B、C除外)，连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60∘，则AB与AC重合，点D的对应点E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE__________(选择是或不是)等补四边形．
(2)如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90∘，若S 四边形ABCD=8，求BD的长．
(3)如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠A+∠C=180∘，BD=4，求四边形ABCD面积的最大值．
27.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；
(3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90∘(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD.求FD长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
解：−12024的相反数是12024.
故选：B.
2.【答案】C
【解析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】
解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为.
故选C.
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算的法则是解答本题的关键．
根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除的运算法则，分析每一个选项，只有D选项符合题意，由此选出答案．
【解答】
解：A选项中，x2⋅x3=x5，故本选项不正确，不符合题意；
B选项中，(x4)2=x8，故本选项不正确，不符合题意；
C选项中，(−3xy2)3=−27x3y6，故本选项不正确，不符合题意；
D选项中，x9÷x3=x6，故本选项正确，符合题意，
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：39=13.
故选：C.
设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是由实际问题抽象出一元一次方程的有关知识，设物价为x钱，根据题意列出方程即可.
【解答】
解：设物价为x钱，
由题意得
x+38=x−47，
故选B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．
连接AC，如图，根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，此时CF的最小值=AF+CF−AF=AC−AD，根据勾股定理得到AC= AD2+CD2=5，得到CF长度的最小值=5−3=2，设DE=EF=x，则CE=4−x，根据勾股定理得到EF=32根据三角形的面积公式得到△CEF的面积是12×32×2=32.
【解答】
解：连接AC，如图，

∵△ADE沿AE翻折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD，DE=EF，
∵AF+CF≥AC，
∴当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，此时CF的最小值=AF+CF−AF=AC−AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90∘，
∵AD=3，CD=4，
∴AC= AD2+CD2=5，
∴CF长度的最小值=5−3=2，
设DE=EF=x，则CE=4−x，
∵∠AFE=∠D=90∘，
∴∠CFE=90∘，
∵CE2=EF2+CF2，
∴(4−x)2=x2+22，解得，x=32，
∴EF=32
∴△CEF的面积是12×32×2=32，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接EF，过点F作FG⊥BE于点G，
∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为 3，
∵CE=1，
∴在Rt△BEC中，BE= BC2+EC2=2，
∵BF平分∠ABE，FA⊥AB，FG⊥BE，
∴FG=FA，∠A=∠FGB=90∘，
又∵BF=BF，
∴△FAB≌△FGB，
∴BG=BA= 3，
∴EG=BE−BG=2− 3，
∵CD= 3，∴DE= 3−1.
设AF=FG=x，则FD=AD−AF= 3−x，
在Rt△DFE和Rt△FGE中，FD2+DE2=FG2+GE2=FE2，
∴ 3−x2+ 3−12=x2+2− 32，解得x=1，
∴FG=AF=1，
∴FE= FG2+GE2= 12+2− 32= 8−4 3= 6− 2.
∵点M，N分别为BE，BF的中点，
∴MN为△BEF的中位线，
∴MN=EF2= 6− 22，
故选D.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理和角平分线的性质等知识.
连接EF，过点F作FG⊥BE于点G，由正方形ABCD的面积和角平分线的性质及全等三角形的判定与性质可得AB=BG= 3，从而求出EG，DE的长.设AF=FG=x，由勾股定理得到关于x的方程，解得x=1，进而得EF的长，最后由MN为△BEF的中位线得结论.
8.【答案】C
【解析】从图2看，当x=2时，y=AP=6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为12AP=3，当x=0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t=2，走过的角度为90∘，可求出点P运动的速度，当t=m时，AP=OA=OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．
解：从图②看，当x=2时，y=AP=6，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为12AP=3，
当x=0时，OB2+OA2=AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时x=2，走过的角度为90∘，则走过的弧长为14×2π×r=3π2，
∴点P的运动速度是 3π2÷2=3π4cm/s，
当t=m时，AP=OA=OB，即△OAP是等边三角形，
∴∠AOP=60∘，
∴∠BOP=360∘−90∘−60∘=210∘，
此时点P走过的弧长为：210360×2π×r=7π2，
∴m=7π2÷3π4=143.
故选：C.
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
9.【答案】x>3
【解析】解：∵代数式1 x−3有意义，
∴x−3>0，
解得x>3.
故答案为：x>3.
直接利用分式和二次根式有意义的条件解答即可．
此题主要考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】4aa−22
【解析】先提公因式，再用完全平方公式进行分解．
解：4a3−16a2+16a=4aa2−4a+4=4aa−22，
故答案为：4aa−22.
本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键．
11.【答案】1.296×105
【解析】解：129600用科学记数法表示应为1.296×105.
故答案为：1.296×105.
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】 22
【解析】解：如图，过点B作BF//CD，
∴∠B=∠APD，
∵AB过格点E，连接EF，
∵BE=EF= 22+12= 5，BF= 32+12= 10，
∴BE²+EF²=BF²，
∴∠BEF=90∘，
∴∠B=45∘，
∴∠APD=45∘，
∴sin∠APD的值为 22.
故答案为： 22.
构造直角三角形△BEF，根据勾股定理BE²+EF²=BF²，求出∠B=45∘，则求出sin∠APD.
本题考查构造直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线．
13.【答案】0.2
【解析】本题考查了一次函数的实际应用．先利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立求出交点坐标即可得．
解：设甲蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的的函数解析式为y=kx+b，
由题意，将点1,0,0,4代入得：k+b=0b=4，解得k=−4b=4，
则甲蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的的函数解析式为y=−4x+4，
设乙蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的的函数解析式为y=mx+n，
由题意，将点0,2,1,8代入得：m+n=8n=2，解得m=6n=2，
则乙蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的的函数解析式为y=6x+2，
联立得−4x+4=6x+2，解得x=0.2，
即当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为0.2小时，
故答案为：0.2.
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AO=OE，可得结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC=60∘，
∴∠BAD=180∘−60∘=120∘，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60∘，
根据作图过程可知BF平分∠ABE，
∴AO=OE，BO⊥AE，
∵∠OAF=∠BAD−∠BAE=120∘−60∘=60∘，
∴tan∠OAF=OFOA= 3，
∴OFOE= 3，
故答案为 3.
15.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE(AAS)是解题的关键．过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE(AAS)，从而得出S矩形OECF=S四边形OBCA=S△AOB+S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【解答】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF=90∘.
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠BCE=90∘，AC=BC，
∴∠ACF=∠BCE.
在△ACF和△BCE中，∠AFC=∠BEC=90∘∠ACF=∠BCEAC=BC，
∴△ACF≌△BCE(AAS)，
∴S△ACF=S△BCE，
∴S矩形OECF=S四边形OBCA=S△AOB+S△ABC.
∵将直线y=−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y=−3x+3，
∴点A(0,3)，点B(1,0)，
∴AB= OA2+OB2= 10，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC= 5，
∴S矩形OECF=S△AOB+S△ABC=12×1×3+12× 5× 5=4.
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，
∴k=4，
故答案为：4.
16.【答案】2 14
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质的应用及勾股定理的应用，如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE=x，首先证明△BCF≌△QDFAAS，得出EQ=BE=x+5，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ//BC，AD=BC=5，
∴∠Q=∠CBF，
∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC，
∴△BCF≌△QDFAAS，
∴BC=DQ，QF=BF，
∵∠EFB=90∘，
∴EF⊥QB，
∴EQ=BE=5+x，
∵CE⊥AD，BC//AD，
∴CE⊥BC，
∴∠DEC=∠ECB=90∘，
∵CE2=DC2−ED2=EB2−BC2，
∴6 22−x2=x+52−52，
整理得：2x2+10x−72=0，
解得x=4或−9(舍弃)，
∴BE=9，
∴CE= BE2−BC2= 92−52=2 14.
故答案为：2 14.
17.【答案】解： 12−2cs30∘+12−2+1− 3
=2 3−2× 32+4+ 3−1
=2 3− 3+4+ 3−1
=2 3+3.

【解析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可．
18.【答案】解：{x+4>−2x+1①x2−x−13⩽2②
解不等式①，得：x>−1，
解不等式②，得：x≤10，
∴不等式组的解集为−1
【解析】本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到即可确定一元一次不等式组的解集．
19.【答案】解：原式=x+2(x+1)(x−1)÷1−(1+x)(x+1)x+1
=x+2(x+1)(x−1)⋅x+1−x(x+2)
=−1x2−x
∵x的值是方程x2−x−7=0的根，
∴x2−x=7，
当x2−x=7时，原式=−17.
【解析】本题考查了一元二次方程的解，分式的混合运算和求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，求出x2−x=7，再代入求出即可．
20.【答案】【小题1】
证明：∵E为AC中点．
∴AE=CE，
在△AED和△CEF中，
∵AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A=∠ACF，
∴CF//AB；
【小题2】
由(1)知∠A=∠ACF，
∴∠ACF=∠A=70∘，
又∵∠F=35∘，
∴∠DEC=∠F+∠ACF=70∘+35∘=105∘，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90∘，
∴∠BED=∠DEC−∠BEC=105∘−90∘=15∘.

【解析】1.
本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键；
先证明AE=CE，再证明△AED≌△CEF，从而可得答案；
2.
由全等三角形的性质∠ACF=∠A=70∘，再利用三角形的外角的性质可得答案．
21.【答案】【小题1】
13
【小题2】
解： 9=3，
画树状图如下：
∵一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能，
∴P(甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数)=26=13.

【解析】1.
本题考查列表法和树状图法求等可能事件概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
根据概率公式进行求解即可；
解：∵有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是 3，
∴P(甲同学抽到的卡片上数字是 3)=13，
故答案为：13；
2.
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果数，从中找出甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的结果数，再用等可能事件概率公式求出即可．
22.【答案】【小题1】
90∘
75
【小题2】
八年级学生的成绩较好，
理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；
【小题3】
青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．

【解析】1.
本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．
求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；
解：由条形统计图可得，调查人数为2+5+8+2+3=20(人)，
扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：360∘×520=90∘，
将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为75+752=75，因此中位数是75分，即m=75，
故答案为：90∘，75；
2.
通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；
3.
根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．
23.【答案】【小题1】
解：如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中,∠BAC=53∘,AB=3m，
∴BE=AB⋅sin∠BAE=3×sin53∘≈3×45=125，
在Rt△BOE中，∠BOE=37∘，BE=125，
∵sin∠BOE=BEOB，
∴OB=BEsin∠BOE=12535=4.
答：OB=4m.

【小题2】
解：如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，OD=OB+BD=4+6=10,∠DOF=37∘，
∴DF=OD⋅sin37∘≈10×35=6m，
∴D′G=D′H+HG=3+6=9m，
在Rt△D′OG中，OD′=10m,D′G=9m，
∴sin∠D′OG=D′GD′O=910，
∴∠D′OG≈64∘，
∴∠D′OD=64∘−37∘=27∘，即云梯OD大约旋转了27∘.


【解析】1.
构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
2.
求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小即可解答．
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
24.【答案】【小题1】
解：将B(4,−3)代入y=k2x，
解得：k2=−12，
∴反比例函数表达式为y=−12x，
将A(m,6)代入y=−12x，解得：m=−2，
∴A(−2,6)，
将A(−2,6)，B(4,−3)代入y=k1x+b，
得−2k1+b=64k1+b=−3，解得：k1=−32b=3，
∴一次函数的表达式为：y=−32x+3；
【小题2】
∵A(−2,6)，B(4,−3)
根据函数图象可得：当k2x>k1x+b>0时，−2【小题3】
∵y=−32x+3，令y=0，解得：x=2，
∴C2,0，
设Pp,0，
则PC=p−2，
∵△PAC的面积为9，
∴12×p−2×6=9，
解得：p=5或−1，
∴P5,0或P−1,0.

【解析】1.
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形.
待定系数法求解析式，即可求解；
2.
根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；
3.
先求得点C的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
25.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OD，

则OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90∘，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
【小题2】
解：∵∠BDO=90∘，
∴sinB=ODBO=ODBE+OD=513，
∴OD=5，
∴⊙O的半径为5；
【小题3】
如图，连接EF，

∵AE是直径，
∴∠AFE=90∘=∠ACB，
∴EF//BC，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF=∠ADF，
∴∠B=∠ADF，
又∵∠OAD=∠CAD，
∴ΔDAB∽△FAD，
∴ADAB=AFAD，
∴AD2=AB⋅AF.
∵BE=8，OE=AO=5，
∴AB=18，AE=10，
∵sinB=sin∠AEF=AFAE=513，
∴AF=5013，
∴AD2=18×5013=90013，
∴AD=30 1313.

【解析】1.
先判断出OD//AC，得出∠ODB=90∘，即可得出结论；
2.
设由锐角三角函数可得sinB=ODBO=ODBE+OD=513，即可求解；
3.
连接EF，求出∠B=∠ADF，通过证明ΔDAB∽△FAD，可得ADAB=AFAD，可得结论；
本题考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．
26.【答案】【小题1】
是
【小题2】
如图2，∵∠ABC=90∘，AB=BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90∘得△BCG，
∴∠BAD=∠BCG,BD=BG,∠DBG=90∘，
∵∠ABC=∠ADC=90∘，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∴∠BCD+∠BCG=180∘，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD=8，
∴S△BDG=8，
∴12BD2=8，
∴BD=4(负值舍去)；
【小题3】
∵AB=BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如图3，
∴BD=BE=4,∠BAE=∠C,SΔABE=SΔBCD，
∵∠BAD+∠C=180∘，
∴∠BAD+∠BAE=180∘，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD=SΔBDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为S△BDE=12×4×4=8，
则四边形ABCD面积的最大值为8.

【解析】1.
本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
根据旋转的性质得：AD=AE，∠ADB=∠AEC，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
解：由旋转得：AD=AE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB=180∘，
∴∠ADC+∠AEC=180∘，
∴四边形ADCE是等补四边形，
故答案为：是；
2.
如图2，将△BAD绕点B顺时针旋转90∘得△BCG，先证明D、C、G三点共线，根据旋转的性质可知：S四边形ABCD=S△BDG=8，根据三角形的面积公式可得BD的长；
3.
如图3，作辅助线：将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，先证明A、D、E三点共线，则S四边形ABCD=SΔBDE，当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，从而得结论．
27.【答案】【小题1】
解：直线AC：y=−5x+5，
x=0时，y=5，
∴C(0,5)，
y=−5x+5=0时，解得：x=1，
∴A(1,0)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴1+b+c=0c=5，解得：b=−6c=5，
∴抛物线解析式为y=x2−6x+5；
【小题2】
当y=x2−6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5，
∴B(5,0)，
∵A(1,0)，C(0,5)，
∴AB=4，OC=5
∴SΔABC=12AB•OC=12×4×5=10，
设M(x,x2−6x+5)
∴SΔABM=12×4×[−(x2−6x+5)]=−2x2+12x−10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，
∴−2x2+12x−10=10×35，
解得，x1=2,x2=4，
∴y=x2−6x+5=−3，
∴M点的坐标为(2,−3)或(4,−3)；
【小题3】
如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ=AB=4，连接DQ，
∵∠PAD=∠BAQ=90∘，
∴∠BAP=∠QAD，
∵AB=AQ，AP=AD，
∴△BAP≌△QAD(SAS)，
∴PB=DQ=2，
∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，
∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示，
Rt△AQF中，AQ=4，AF=4+2=6，
∴QF= 42+62=2 13，
∴此时DF的最大值是2+2 13；
当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2 13−2.
∴FD的取值范围是：2 13−2≤FD≤2 13+2.

【解析】1.
由直线y=−5x+5求点A、C坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
2.
令y=0可得点B的坐标，可计算AB的长和SΔABC，设M(x,x2−6x+5)，用含x的代数式表示出SΔABM，根据△ABM的面积等于△ABC面积的35列出方程，求出x的值即可；
3.
作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△QAD(SAS)，确定点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，如图3和图4确定DF的最大值和最小值，从而得结论．
平均数
中位数
众数
七年级
76
m
75
八年级
77
76
78