数学：江苏省常州市多校联考2024年中考二模考试试题（解析版）

这是一份数学：江苏省常州市多校联考2024年中考二模考试试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 16的平方根是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴16的平方根是：．
故选：C．
2. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】代数式有意义，，
解得：，
故选：B．
3. 下列整数中，与 最接近的是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
∴与 最接近的整数是3，
故选：C．
4. 圆锥的侧面展开图是（ ）
A. 三角形B. 矩形C. 扇形D. 圆
【答案】C
【解析】圆锥的侧面展开图是扇形.
故答案选：C.
5. 一组数据：12， 5， 3， 2，， 6 的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 2.5
【答案】B
【解析】先将数据从小到大排列为：，2，3，5，6，12，
∵有6个数据，
∴最中间的数据为第3个数据和第4个数据，分别为3和5，
∴中位数为，
故选：B．
6. 已知两点和在反比例函数 的图像上，且则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在反比例函数 中，，
∴反比例函数 的图象经过第一、三象限，且在每个象限内图象下降，
∴当，y随着x的增大而减小，
又∵，
∴，
故选：D．
7. 如图，C、D是 为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，， 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
是圆的直径，，
是弧的中点，，
，．
故选：A．
8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论①，②，③，④其中成立的结论是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】如图，连接、、、、，令正五边形的外接圆为，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，即
∴，，故①正确，
同理可得：，
，
∴
，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），故②正确，
同理可得，
∴，
∴，
∴
∴，故③正确，
∵，
∴
∴，故④错误，
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 的相反数是_____________．
【答案】2
【解析】∵的相反数是2，
故答案为：2．
10. 分解因式：_____________
【答案】
【解析】．
故答案为：．
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
12. 2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资亿元， 即元， 把用科学记数法表示为_____________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼________条．
【答案】1000
【解析】设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得，
解得，
经检验为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼1000条．
故答案为：1000．
14. 已知m为方程 的一个根，则代数式的值是_____________．
【答案】
【解析】∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__．
【答案】240x=150x+12×150
【解析】设良马x天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150.
16. 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．

【答案】（2，3）
【解析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．
17. 如图， 在矩形中，对角线、 相交于点O， 中点E与点D 的连线交于点 F． 已知矩形的面积为20， 则四边形的面积为_____________．
【答案】
【解析】连接，
在矩形中，对角线、 相交于点O，
∴O是的中点，
又∵点E是中点，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，，，
设，则，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
18. 对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N，
则，
由题意得：，，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
同理，绕点逆时针旋转得到，则，，
设直线的表达式为：，代入，
得：，解得：，
直线为，
设经过点的双曲线为：，
代入得：，
∴经过点的双曲线为，
是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10 小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 先化简，再求值：其中 ．
解：
，
当 时，原式．
20. 解不等式组： 并写出该不等式组的最小整数解．
解： 解不等式， 得：，
解不等式 得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的最小整数解为0．
21. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小组.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题：
(1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；
(2)
(3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？
解：(1)参加问卷调查的学生人数为；
(2)，所以m=36，n=16，
(3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为，
答：参加问卷调查的学生人数为，，选择“围棋”课外兴趣小组的人数为.
22. 有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，，3 后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字 b．这样就得到一个点A 的坐标．
（1）点 A 落在坐标轴上的概率为 ；
（2）求这个点恰好在函数 的图像上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）
解：（1）由题意得：点A 的坐标中，横纵坐标都不为0，
点 A 落在坐标轴上的概率为0，
故答案为：0；
（2）列表得：
∵共有 9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，
∴P(点在函数图像上) ，
∴点恰好在函数 的图像上的概率为 ．
23. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，，
所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点
∴，
，
，
∵，
．
答：三角形ACE的面积为10．
24. 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．
（1）写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式；
（2）如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才能不亏损？
解：（1）由题意得.
（2）由题意得，
解得：，
∴每天至少生产40件，该工厂才能不亏损．
25. 如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）
解：如图，延长交于点，则.
在中，，
∵.
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵,∴.
∴.∴.
在中，，
∵，∴.
∴.
因此，隧道的长度约为.
26. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点A在以为直径的半圆上，且点A 的横坐标为 ，M为线段 的中点．

（1）求点 A的纵坐标；
（2）用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（3）求满足 （2）中条件的点 P纵坐标的最小值．
解：（1）如图，过作于，

∵为直径，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点A 的横坐标为 ，
∴，
∴点 A纵坐标为；
（2）如图，即为所求；

理由：在上取点，连接，作的垂直平分线，
过作的垂线，交的垂直平分线于，
以为圆心，为半径画圆，
则，，
∴符合要求．
（3）如图，设，

∵，为的中点，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴当时，．
∴点 P纵坐标的最小值为．
27. 经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．
（1）等边三角形存“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；
（2）如图①， 在中，， ， ， 若是 的“形似线段”，求的长；
（3）如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ．
解：（1）不存在，理由如下：
如下图，是等边三角形，
则，
假设等边存在“形似线段”，
在上取一点D，连接，假设是等边“形似线段”，
则，或者，
当时，，
∴，
∴，
与图形矛盾，假设不成立，
当时，同理可得：，
与图形矛盾，假设不成立，
∴等边不存在“形似线段”，
故答案为：不存在；
（2）当的左边和相似，即时，
，即，解得：；
当的右边和相似，即时，
，即，解得：；
综上所述：的长为；
（3）∵，，
∴，
∴，
当时，
如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
如下图所示，以点N为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
要使得有且只有二条“形似线段”时，则只能是图与图中的重合，即既满足，又满足，
∵，即，
∴，解得，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
当时，中的情况三不存在，情况一和情况二不重合，符合条件，
两条“形似线段”如下图所示，
过点P作，
∵，
∴点E是的中点，，
∵，，
∴，，
∴，
当时，中的情况三不存在，情况一和二不重合，
但新增情况三：，
此时，是的一条“形似线段”，
三种情况如下下图所示，故此时不符合题意，
综上所述：线段 的取值是或，
故答案为：或．
28. 【尝试】
如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点C．已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点E．
（1）求二次函数表达式；
（2）线段有什么数量关系？请说明理由．
【探究】
（3）若二次函数的图象经过上述A、B两点，其它条件不变，线段的以上数量关系还成立吗？说明理由．
【拓展】
（4）若开口向上的二次函数的图象经过两点和，且，其它条件不变，请直接写出线段的数量关系是 ．

解：（1）∵二次函数的图象经过点和，
∴，解得，
∴二次函数表达式为；
（2）数量关系，理由，作轴于点，

设点P的坐标为，
∵，，
∴，∴，
∴，
同理，∴，∴，
∴，
∴，
∴；
（3）数量关系还是成立的，
理由：设经过上述A、B两点的抛物线为，则，
同理，
，
∴，，
∴；
（4）设抛物线的表达式为，
令，则，
即，
设点P的坐标为，
同理，∴，
∴，
同理，∴，
∴，
∴，
，
∴；∴．2
3
2
3