内蒙古乌兰浩特市第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份内蒙古乌兰浩特市第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知圆等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章〜第二章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
5.圆与圆的位置关系是（ ）
A.内切B.相交C.外切D.相离
6.在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件表示“出现正面”，事件表示“出现反面”，则（ ）
A.与相互独立B.
C.与不相互独立D.
8.已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校校医对生病的甲、乙两名同学一周的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A.甲同学的体温的平均值为36.4℃
B.甲同学的体温的方差为0.2
C.乙同学的体温的众数、中位数都为36.4℃
D.乙同学的体温的极差为0.3℃
10.已知直线过点，点，到直线的距离相等，则直线的方程可能是（ ）
A.B.
C.D.
11.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ）
A.圆台的侧面积为
B.直线与下底面所成的角的大小为
C.圆台的体积为
D.异面直线和所成的角的大小为
12.已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的半径为16
B.圆截轴所得的弦长为
C.圆与圆：相外切
D.若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知两点，所在直线的斜率为1，则________.
14.已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为________.
15.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________.
16.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线：，：，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.（本小题满分12分）
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）两个人都译出密码的概率；
（2）恰有1个人译出密码的概率.
19.（本小题满分12分）
的内角，，的对边分别为，，，，.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：），结果如下：
（1）计算该零件抽样尺寸的极差，样本平均数和样本标准差；（参考数据：，计算结果精确到0.01）
（2）将样本平均数作为总体平均数的估计值，样本标准差作为总体标准差的估计值，根据生产经验，在一天的抽检零件中，如果出现了数据落在之外的零件，则认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，机床应检修调整，试利用估计值判断是否需对机床进行检修.
22.（本小题满分12分）
已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点，过的直线交圆于，两点，求的取值范围.
20232024学年度上学期高二年级期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 因为，所以该直线的倾斜角为，故选C.
2.A .故选A.
3.D .
4.B ，，故.故选B.
5.B 由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，∴，，，∴，即两圆相交.故选B.
6.C
.故选C.
7.C 由题意得，，，故与，与均不相互独立，A，B，D不正确，故选C.
8.D 由圆：，得.过点有且仅有两条切线，所以点在圆外，所以解得或，即实数的取值范围是.故选D.
9.AC 甲同学体温的平均值为，故A正确；
由方差计算公式可知，故B错误；
乙同学体温按从小到大排列为：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
故乙同学体温的众数、中位数都为36.4℃，故C正确；
由上述排列可知，乙同学体温的极差为0.2℃，故D错误.故选AC.
10.AC 当直线与直线平行时，因为，所以直线的方程为，即.当直线过线段的中点时，的中点为，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.故选AC.
11.ABD 过点作，取的中点，连接，，，圆台的高，圆台的侧面积为，圆台的体积为.又由，可得，可得与下底面所成的角为.又由，平面，可得异面直线和所成的角为，在中，，，可得，故异面直线和所成的角为.故选ABD.
12.BC 由圆：，可得圆的标准方程为，所以圆的半径为4，故A错误；
令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，，则，，是的两个根，所以，，所以，故B正确；
，故C正确；
由，解得或，即实数的取值范围是.故D错误.故选BC.
13.0 由斜率为1可知，解得.
14.
15. ，点到平面的距离.
16. 设点，则，，化简得.则点到直线最大距离.
17.解：（1）若，有，解得
（2）若，有，解得：.
18.解：（1）记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，，为相互独立事件，且，.两个人都译出密码的概率为；
（2）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为
19.解：（1）∵，∴，
则，
由余弦定理，可得.
故.
（2）∵，∴，
则的面积，
解得，
从而的周长为.
20.（1）证明：连
∵底面为菱形，，∴
∵，，∴
∵平面，平面，∴
∵，，，平面，，∴平面；
（2）解：由（1）知，又由，可得，
可得、、两两垂直
令，可得，，
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系
可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
，，
由（1）可知为平面的法向量
设平面的法向量为，有，
取，，可得
由，，，有
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
21.解：（1）该零件抽样尺寸的极差为，
样本均值，
样本标准差；
（2），，
故，
因为，所以需对机床进行检修.
22.解：（1）设圆心的坐标为，所以
解得即圆心C的坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
易得，或，，
所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
由得，
所以，，，
所以
又由，可得.
综上，的取值范围为.
10.05
10.03
10.08
10.09
10.02
10.05
10.08
10.00
10.05
10.06
10.06
10.05
10.07
10.06
10.07
9.98