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2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰实验中学高二上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．-2
【答案】C
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.
【详解】因为，，又，
所以，
解得，
故选：
2．如图，平行六面体中，为中点．设，，，用基底表示向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.
【详解】.
故选：B
3．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率是，设倾斜角为，
解得
故选：A
4．已知直线：，直线：相互平行，则的值为（ ）
A．1或－4B．1C．2D．－4
【答案】B
【分析】根据两直线平行的条件求解．
【详解】显然，因此由题意，解得，
故选：B．
5．已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】先由判断点在圆外，则最大值为.
【详解】圆 ，即，
则圆心，半径，由点，
则，
即点在圆外，则.
故选：C.
6．焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆中之间的关系求解即可.
【详解】焦距为，
长轴长与短轴长之比为2:1，
，即，
且，联立解得，
焦点在y轴上，所以椭圆方程为：.
故选：D
7．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由渐近线与直线垂直得，再求离心率.
【详解】由双曲线（，），
得渐近线为，
因为其中一条渐近线与直线垂直，
则，得，故，
故选：D.
8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，N是的中点，P是的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解：如图，以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，
即点A到平面的距离为．
故选：D.
二、多选题
9．已知双曲线的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为C．渐近线方程为D．离心率为
【答案】BC
【分析】根据双曲线的方程可得，再由双曲线的几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为双曲线的方程：，则，所以，
实轴长为，故A错误；
焦距为，故B正确；
渐近线方程为，即，故C正确；
离心率为，故D错误；
故选：BC
10．已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，最长
C．当时，弦最短
D．最短弦长
【答案】AC
【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D.
【详解】直线方程可化为，当，
故直线恒过定点，A正确；
易知圆心，半径，
显然当直线过圆心时，最长，则，
故B错误；
当时，此时弦最短，即，
故C正确；
当时，则弦长，故D错误.
故选：AC
11．下列命题错误的是（ ）
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆
C．当时，曲线：表示椭圆
D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若定点，满足，动点满足，
可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；
对于B中，若定点，满足，动点满足，
由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；
对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；
对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，
其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.
故选：AC.
12．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.
【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距，
由题意可知：，且焦点在x轴上，
对于选项A：双曲线的渐近线方程为，即，故A错误；
对于选项B：双曲线的离心率，
设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，
则，可得椭圆的离心率，
且，所以双曲线与椭圆的离心率不互为倒数，故B错误；
对于选项C：由双曲线的定义可知：，
可得，所以的周长为，故C正确；
对于选项D：若从双曲线的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13．已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为 ．
【答案】33
【分析】根据题意结合双曲线的定义运算求解，并结合三角形的性质检验.
【详解】由双曲线方程可知，
设双曲线的左、右焦点分别为，则，
根据对称性不妨设，
由双曲线定义可得，解得或，
若，可知，符合题意；
若，可知，不符合题意；
综上所述：到另一个焦点的距离为33.
故答案为：33.
14．为椭圆上的一点，和是其左右焦点，若，则的面积为 .
【答案】/
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求焦点三角形的面积.
【详解】
由椭圆的标准方程可得其长半轴，半焦距为，
故.
设，则，
由余弦定理可得
而，故，故，
故，
故答案为：.
15．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率.
【详解】圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，
依题意，即，又，所以，
所以离心率.
故答案为：
16．椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率 .
【答案】/
【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得答案.
【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以，
椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，
所以，可得，
所以，代入可得，
则椭圆的离心率.
故答案为：.
四、解答题
17．分别根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：
(1)一个焦点为，的椭圆方程
(2)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，得到，得到椭圆方程；
（2）设双曲线方程为，得到，得到双曲线方程.
【详解】（1）焦点为在轴上，则，，故，
故椭圆方程为；
（2）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，设双曲线方程为，
故，即，
两顶点之间的距离为，故，，故双曲线方程为.
18．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在），
则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，故，解得，
所以直线方程为，即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
19．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
五、证明题
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．
(1)证明：平面PAD．
(2)求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PA的中点N，证明后可得线面平行；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以．
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，．
从而，，．
设平面AMF的法向量为，则，令，得．
设平面EMF的法向量为，则，令，得．
．
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为．
六、解答题
21．已知动点到点的距离与到直线的距离之比为2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l的方程为，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由距离公式列方程后化简求解，
（2）由弦长公式求解
【详解】（1）设点P的坐标为，则由题意得，
化简得，即为点P的轨迹C的方程．
（2）将代入中，并化简得：，
设A，B两点的坐标分别为：，，
由韦达定理可得，，
∴．
22．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出的值，利用点到直线的距离求出的值，即可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，即直线的斜率为.
一、单选题
1．已知，，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．-2
【答案】C
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.
【详解】因为，，又，
所以，
解得，
故选：
2．如图，平行六面体中，为中点．设，，，用基底表示向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.
【详解】.
故选：B
3．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率是，设倾斜角为，
解得
故选：A
4．已知直线：，直线：相互平行，则的值为（ ）
A．1或－4B．1C．2D．－4
【答案】B
【分析】根据两直线平行的条件求解．
【详解】显然，因此由题意，解得，
故选：B．
5．已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】先由判断点在圆外，则最大值为.
【详解】圆 ，即，
则圆心，半径，由点，
则，
即点在圆外，则.
故选：C.
6．焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆中之间的关系求解即可.
【详解】焦距为，
长轴长与短轴长之比为2:1，
，即，
且，联立解得，
焦点在y轴上，所以椭圆方程为：.
故选：D
7．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由渐近线与直线垂直得，再求离心率.
【详解】由双曲线（，），
得渐近线为，
因为其中一条渐近线与直线垂直，
则，得，故，
故选：D.
8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，N是的中点，P是的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解：如图，以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，
即点A到平面的距离为．
故选：D.
二、多选题
9．已知双曲线的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为C．渐近线方程为D．离心率为
【答案】BC
【分析】根据双曲线的方程可得，再由双曲线的几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为双曲线的方程：，则，所以，
实轴长为，故A错误；
焦距为，故B正确；
渐近线方程为，即，故C正确；
离心率为，故D错误；
故选：BC
10．已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，最长
C．当时，弦最短
D．最短弦长
【答案】AC
【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D.
【详解】直线方程可化为，当，
故直线恒过定点，A正确；
易知圆心，半径，
显然当直线过圆心时，最长，则，
故B错误；
当时，此时弦最短，即，
故C正确；
当时，则弦长，故D错误.
故选：AC
11．下列命题错误的是（ ）
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆
C．当时，曲线：表示椭圆
D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若定点，满足，动点满足，
可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；
对于B中，若定点，满足，动点满足，
由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；
对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；
对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，
其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.
故选：AC.
12．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.
【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距，
由题意可知：，且焦点在x轴上，
对于选项A：双曲线的渐近线方程为，即，故A错误；
对于选项B：双曲线的离心率，
设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，
则，可得椭圆的离心率，
且，所以双曲线与椭圆的离心率不互为倒数，故B错误；
对于选项C：由双曲线的定义可知：，
可得，所以的周长为，故C正确；
对于选项D：若从双曲线的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13．已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为 ．
【答案】33
【分析】根据题意结合双曲线的定义运算求解，并结合三角形的性质检验.
【详解】由双曲线方程可知，
设双曲线的左、右焦点分别为，则，
根据对称性不妨设，
由双曲线定义可得，解得或，
若，可知，符合题意；
若，可知，不符合题意；
综上所述：到另一个焦点的距离为33.
故答案为：33.
14．为椭圆上的一点，和是其左右焦点，若，则的面积为 .
【答案】/
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求焦点三角形的面积.
【详解】
由椭圆的标准方程可得其长半轴，半焦距为，
故.
设，则，
由余弦定理可得
而，故，故，
故，
故答案为：.
15．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率.
【详解】圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，
依题意，即，又，所以，
所以离心率.
故答案为：
16．椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率 .
【答案】/
【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得答案.
【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以，
椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，
所以，可得，
所以，代入可得，
则椭圆的离心率.
故答案为：.
四、解答题
17．分别根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：
(1)一个焦点为，的椭圆方程
(2)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，得到，得到椭圆方程；
（2）设双曲线方程为，得到，得到双曲线方程.
【详解】（1）焦点为在轴上，则，，故，
故椭圆方程为；
（2）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，设双曲线方程为，
故，即，
两顶点之间的距离为，故，，故双曲线方程为.
18．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在），
则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，故，解得，
所以直线方程为，即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
19．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
五、证明题
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．
(1)证明：平面PAD．
(2)求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PA的中点N，证明后可得线面平行；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以．
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，．
从而，，．
设平面AMF的法向量为，则，令，得．
设平面EMF的法向量为，则，令，得．
．
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为．
六、解答题
21．已知动点到点的距离与到直线的距离之比为2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l的方程为，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由距离公式列方程后化简求解，
（2）由弦长公式求解
【详解】（1）设点P的坐标为，则由题意得，
化简得，即为点P的轨迹C的方程．
（2）将代入中，并化简得：，
设A，B两点的坐标分别为：，，
由韦达定理可得，，
∴．
22．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出的值，利用点到直线的距离求出的值，即可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，即直线的斜率为.
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