2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（       ）．

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】A

【分析】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.

【详解】在椭圆中，

所以椭圆的长轴长为 、短轴长为，焦点坐标为

故选：A

2．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（　　）

A．16 B．22 C．29 D．33

【答案】C

【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.

【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，

当k=2时，号码为11，

当k=3时，号码为17，

当k=4时，号码为23，

当k=5时，号码为29，

故选C．

【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．

3．在区间上随机选取一个数，则的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：在上符合的区间为,因为区间的区间长度为且区间的区间长度为,所以根据几何概型的概率计算公式可得,故选B.

【解析】几何概型

4．总体由编号为01，02，……，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（       ）

A．23 B．15 C．21 D．24

【答案】B

【分析】利用随机数表法，把内的个体编号选出，重复的号码只选1次即可求解结论．

【详解】解：由随机数表法，从第1行的第8列和第9列数字开始由左到右依次选取两个数字，

选出来的样本编号为：16，26，24，23，21，15；

所以第6个个体样本编号为15.

故选：B.

【点睛】本题考查了随机数表法应用问题，属于基础题．

5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)

A．55.2,3.6 B．55.2,56.4

C．64.8,63.6 D．64.8,3.6

【答案】D

【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.

【详解】设这组数据分别为，

由其平均数为，方差是，则有，

方差，

若将这组数据中每一个数据都加上，则数据为，

则其平均数为，

方差为，

故选D.

【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（       ）

A．至少有一个样本点落在回归直线上

B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1

C．当时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位

D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关

【答案】D

【分析】根据线性回归的思想、回归直线的特点及性质进行分析即可.

【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；

所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为 ，故B错误；

当时，x增加1个单位时，y平均减少2个单位，故C错误；

若回归直线的斜率，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．

故选: D．

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【详解】阅读程序框图，程序运行如下：

首先初始化数值：，然后进入循环体：

此时应满足，执行循环语句：；

此时应满足，执行循环语句：；

此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.

故选D.

【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.

8．已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若,则

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】根据椭圆定义，求得三角形的周长，结合的长度即可求得．

【详解】根据椭圆定义，

所以三角形周长为

所以

所以选C

【点睛】本题考查了椭圆的定义及简单应用，属于基础题．

9．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是

A．1 B．－2 C．1或－2 D．

【答案】A

【分析】分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．

【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．

②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．

综上可得．

故选A．

【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则

且或且．

10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

11．与圆外切， 又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是（       ）

A． B．和

C． D．和

【答案】D

【解析】利用两个圆外切，则圆心距等于半径和，再利用圆与轴相切得圆的半径，计算可得.

【详解】由得，，

设所求圆的圆心坐标为 ，则半径为，

由题意得：，

化简得：，

所以，所求圆的圆心的轨迹方程为：和，

故选D.

【点睛】此题考察轨迹方程的求法，注意设元的方法，属于简单题.

12．已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，若以线段为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P，O为坐标原点，，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】过点作轴于，根据三角形中的长度关系得到，得到离心率.

【详解】过点作轴于，根据题意知：

双曲线的离心率

故答案选B

【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.

二、填空题

13．圆与圆的公共弦所在直线的方程为_______.

【答案】

【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程.

【详解】将所给的两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为：，

即.

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，公共弦方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．过点作圆的切线，切点为，则________.

【答案】

【分析】先求出圆的圆心为，半径为，再利用勾股定理求解.

【详解】由题得，所以圆的圆心为，半径为.

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查圆的一般方程，考查切线长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．

【答案】

【详解】试题分析：由题得，双曲线的焦点坐标为且双曲线的离心率为，双曲线的方程为．

【解析】1.圆锥曲线的综合；2.椭圆的简单性质．

【思路点睛】本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中最大，而双曲线中c最大．先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出，即可求双曲线的方程．

16．椭圆上的点到直线的最大距离是_______

【答案】

【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.

【详解】设直线与椭圆相切．

由消去x整理得.

由得.

当时符合题意(舍去)．

即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.

三、解答题

17．甲､乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84        

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）用茎叶图表示这两组数据；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度应该选谁(要求计算平均数和方差).

【答案】（1）茎叶图见解析；（2）选甲，理由见解析

【解析】（1）根据数据列茎叶图；

（2）分别计算平均数和方差，根据平均数和方差大小确定人选.

【详解】（1）；

（2）

因为，所以两人水平一样，但甲成绩更稳定，所以选甲.

【点睛】本题考查茎叶图、平均数以及方差，考查数据分析处能力，属基础题.

18．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.

(1)求图中的值，并估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；

(2)在，这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.

【答案】(1) ；390分钟

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得的值，设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为，结合频率直方图的中位数的计算方法，即可求解；

（2）由题意求得在和内人数，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】(1)解：依题意，根据频率分布直方图的性质，

可得：，解得，

设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为，

因为前2组的频率之和为，

前3组的频率之和为，

所以，由，解得.

所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟.

(2)由题意，可得在内抽取人，分别记为，

在内抽取2人，记为，

则6人中抽取2人的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种等可能的取法.

其中抽取的2人恰在同一组的有，，，，，，，共7种取法，

所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率.

19．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前年中每年的维修费用如下表所示：

（Ⅰ）从这年中随机抽取年，求至少有年维修费用高于万元的概率；

（Ⅱ）求关于的线性回归方程；

（Ⅲ）由于成本因素，若年维修费用高于万元，则该种工程车需强制报废，根据（Ⅱ）中求得的线性回归方程，预测该种工程车最多可以使用多少年？

参考公式：，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）年.

【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式可得；（Ⅱ）将表中数据与公式相结合可得；（Ⅲ）令，可得结果.

【详解】（Ⅰ）由题可得第年与第年的维修费用高于万元，

则至少有年维修费用高于万元的概率．

（Ⅱ）由题可得，，

，，

所以，，

所以关于的线性回归方程为．

（Ⅲ）令，可得，又，所以，

故该种工程车最多可以使用年．

【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式的应用以及线性回归方程的求法及应用，属于中档题.

20．已知点和

(1)求直线的方程；

(2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程

【答案】(1)直线方程为

(2)

【分析】（1）求出直线的斜率后可求直线的方程;

（2）设圆心为，半径为，则可得满足的关系式，求出解后可得圆的方程.

【详解】(1)，故直线方程为.

(2)设圆心为，半径为,

圆心在直线上，，则点为,

由题意可得可得：

解得，，，

圆的标准方程为.

21．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．

(1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.

(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.

【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．

直线AB的方程为．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.

∴，.

∴

(2)直线AB的方程变形为.

∴原点O到直线AB的距离为.

∴.

【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.

22．如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．

（1）求的方程；

（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出后可得的方程.

（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.

【详解】（1）解：由题意知，

由于，解得，，故的方程为．

（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．

（方法一）因为，故可设的方程为．

设，，

联立消去，得，

所以，从而．

直线的斜率，直线的斜率，

所以

．故为定值．

（方法二）设，．

因为，所以的方程为，

联立消去，得，

解得（舍去）或，

所以点的坐标为，

则，即为定值．

【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.