2024年福建省漳州市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年福建省漳州市中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. 0B. −1C. πD. 1
2.《清朝野史大观⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三视图都相同
3.如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA=8m，PB=6m，那么A，B之间的距离不可能是( )
A. 8m
B. 10m
C. 12m
D. 14m
4.2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长52.9%.将数据3163000000用科学记数法表示为( )
A. 3163×106B. 3.163×109C. 3.163×1010D. 0.3163×1010
5.下列等式正确的是( )
A. (ab)2=ab2B. a6÷a2=a9÷a3
C. (a3)2=(a2)3D. (3a)2=6a2
6.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠OAE的度数为( )
A. 18°
B. 30°
C. 32°
D. 60°
7.《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为x cm，下列符合题意的方程是( )
A. 27−x54−x=1120B. 27+x54+x=1120C. 27−2x54−2x=1120D. 27+2x54+2x=1120
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.阅读以下作图步骤：
①分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
②作直线MN，交AB于点D，交AC于点E，连接CD．
根据以上作图，下列结论不一定正确的是( )
A. AD=CDB. AB=2CD
C. AB=2BCD. S△ABC=4S△ADE
9.如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是( )
A. 甲的平均成绩较低且稳定B. 乙的平均成绩较低且稳定
C. 甲的平均成绩较高且稳定D. 乙的平均成绩较高且稳定
10.已知抛物线y=(x+1)(x−m)(m为常数，m>1)与x轴交于点A，B(点A在点B左边)，与y轴交于点C，连接BC，抛物线的对称轴与BC交于点Q，与x轴交于点E，连接AQ，OQ(O为原点)，下列结论中错误的是( )
A. OAOB=1m
B. 抛物线的对称轴是直线x=m−12
C. 若AQ=3CQ，则m=3
D. 若△OEQ与△OAC相似，则m的值为 2+1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，点C在线段AB上，且表示一个无理数c，则c可以是______.(写出一个即可)
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作DE/​/AB，若∠B=55°，则∠ACD等于______度.
13.某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3：2：1：2：2对员工进行年终考评.公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为______分.
14.已知关于x，y的方程组x+y=kx−3y=k+2的解满足x−y=2，则k的值为______．
15.如图，⊙O与反比例函数y=3x的图象交于点A(1,a)，则图中阴影部分的面积是______．
16.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在边CD上，连接BE，交OC于点G，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF.现给出以下结论：
①∠BFO=45°；
②BE平分∠CBD；
③△BOF∽△BED；
④若DE=2CE，则点G是OC的中点．
其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|−1|−20240+(13)−1．
18.(本小题8分)
解不等式x2+x+13≥2，并把它的解集表示在数轴上．
19.(本小题8分)
在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE.求证：AD=CE．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x−2，其中x= 2+3．
21.(本小题8分)
如图所示，用2个电子元件①，②组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这2个电子元件中，每个元件正常工作分别记为：R1，R2，每个元件正常工作的概率均为12，每个元件不能正常工作分别记为：R1−，R2−，且能否正常工作互相不影响.当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．
(1)请列出方案1中从A到B的电路的所有情况，并求出该电路为断路的概率；
(2)根据电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠．
22.(本小题10分)
甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮.在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表(a为常数)：
设购买枇杷x kg，y甲，y乙(单位：元)分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用．
(1)写出y甲，y乙关于x的函数表达式；
(2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷，结果费用相同，求a的值；
(3)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？
23.(本小题10分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，切线CD交AB的延长线于点D，BE⊥CD，垂足为点E，延长EB交⊙O于点F，连接OF，CF．
(1)求证：CF平分∠BFO；
(2)若⊙O的半径为4，BE=45，求tanA的值．
24.(本小题12分)
在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折纸的方法，确定矩形纸片长边上的一个三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，如图1．
第1步：先将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD；
第2步：将边AD以某一合适长度向右翻折3次，折痕IJ与BD交于点K；
第3步：过点K折叠矩形纸片，使折痕LM//AB，LM交EF于点N；
第4步：延长DN交边AB于点P，则点P为边AB的三等分点．
证明过程如下：
由题意，得LN=13LK．
∵LM//AB，∴∠DLN=∠A，∠DNL=∠DPA．
∴① ______．
∴DLDA=LNAP.同理，得DLDA=LKAB．
∴② ______．
∴APAB=LNLK=13.则点P为边AB的三等分点．
“励志”小组的操作如下，如图2．
第1步：先将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD；
第2步：再将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为EF；
第3步：沿CE折叠矩形纸片，折痕CE交BD于点G；
第4步：过点G折叠矩形纸片，使折痕MN/​/AD．
【过程思考】
(1)补全“求知”小组证明过程中①②所缺的内容；
(2)“励志”小组经过上述操作，认为点M为边AB的三等分点.请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为EF，将边BC沿CE翻折到GC的位置，过点G折叠矩形纸片，使折痕MN/​/AD，若点M为边AB的三等分点，求ABBC的值．
25.(本小题14分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)和点B，交y轴负半轴于点C，对称轴在y轴的右边，OB=2OC，点P是直线BC下方抛物线上的点，连接OP交BC于点E，连接PC，记△PEC，△OEC的面积分别为S1，S2.(1)当抛物线的对称轴为直线x=1时．
①求抛物线的函数表达式；
②当S1S2的值最大时，求此时点P的坐标；
(2)点M，N是x轴下方抛物线上的两点(点M在点N的左边)，且点M，N关于对称轴对称，AN⊥BM，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−1<0<1<π，
∴最小的数是−1，
故选：B．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：由三角形三边关系定理得：8−6∴2∴A、B之间的距离不可能是14m．
故选：D．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】B
【解析】解：3163000000=3.163×109，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.∵(ab)2=a2b2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵a6÷a2=a4，a9÷a3=a6，∴a6÷a2≠a9÷a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵(a3)2=(a2)3=a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D.∵(3a)2=9a2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
A.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
C.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除法则．
6.【答案】B
【解析】解：连接OF，
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF=∠EOF=60°，
∴∠AOE=120°，
在等腰△AOE中，
∠OAE=12(180°−120°)=30°．
故选：B．
根据正六边形的性质可得，∠AOF=∠EOF=60°，从而求出∠AOE=120°，再利用三角形的内角和求解∠OAE即可．
本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得：27+2x54+2x=1120，
故选：D．
根据题意可知，装裱后的长为(54+2x)cm，宽为(27+2x)cm.再根据整幅图画宽与长的比是11：20，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的分式方程．
8.【答案】C
【解析】解：由作图知，MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，故A正确，MN⊥AC，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DE/​/BC，
∴AD=BD，
∴AB=2CD，故C正确；DE=12BC，
∴S△ABC=12AC⋅BC，S△ADE=12DE⋅AE=12×12×BC×12AC=18BC⋅AC，
∴S△ABC=4S△ADE，故D正确；
无法证明AB=2BC，故C错误，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】A
【解析】解：由题可得，甲同学五次成绩的波动幅度较小，而乙同学五次成绩的波动幅度较大，
∴S甲2∴甲成绩比较稳定；
∵乙同学五次成绩只有第3次高于甲同学，
∴甲的平均成绩较低．
故选：A．
根据方差、平均数的意义结合图形即可求解．
本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
10.【答案】C
【解析】解：对于抛物线y=(x+1)(x−m)，
当x=0时，y=−m，当y=0时，x=−1或x=m，
∵m为常数，m>1，且点A在点B左边，
∴点A(−1,0)，B(m,0)，点C(0,−m)，
∴OA=1，OB=m，
∴OAOB=1m，
故选项A正确，不符合题意；
∵抛物线y=(x+1)(x−m)与x轴的两个交点A(−1,0)，B(m,0)，
∴抛物线的对称轴是直线x=m−12，
故选项B正确，不符合题意；
当m=3时，点A(−1,0)，点B(3,0)，点C(0,−3)，对称轴直线x=1，
抛物线y=(x+1)(x−m)的图象如图1所示：

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将点B(3,0)，点C(0,−3)代入y=kx+b，
得：3k+b=0b=−3，解得：k=1b=3，
∴直线BC的表达式为：y=x−3，
∵对称轴x=1与BC交于点Q，
∴点Q的横坐标为1，
对于y=x−3，当x=1时，y=−2，
∴点Q的坐标为(1,−2)，
∴AQ= (−1−1)2+(0+2)2=2 2，CQ= (1−0)2+(−2+3)2= 2，
∴AQ=2CQ，
故选项C不正确，符合题意；
依题意，抛物线y=(x+1)(x−m)的图象如图2所示：

∵OE=m−12，OB=m，OA=1，m>1，
∴BE=OB−OE=m−m−12=m+12，
∵EQ//OC，
∴△BEQ∽△BOC，
∴EQ：OC=BE：OB=m+12：m，
∵△OEQ与△OAC相似，
∴EQ：OC=OE：OA=m−12：1，
∴m+12：m=m−12：1，
整理得：m2−2m−1=0，
解得：m1=1+ 2，m2=1− 2(不合题意，舍去)，
即若△OEQ与△OAC相似，则m的值为 2+1，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
先求出点A(−1,0)，B(m,0)，点，点C(0,−m)，则OA=1，OB=m，据此可对选项A进行判断；根据抛物线y=(x+1)(x−m)与x轴的两个交点A(−1,0)，B(m,0)，可求出抛物线的对称轴，进而可对选项B进行判断；当m=3时，点A(−1,0)，点B(3,0)，点C(0,−3)，对称轴直线x=1，先求出直线BC的表达式为y=x−3，由此得点Q(1,−2)，进而得AQ=2 2，CQ= 2，据此可对选项C进行判断；依题意得OE=m−12，OB=m，OA=1，m>1，则BE=OB−OE=m+12，根据EQ//OC得△BEQ∽△BOC，则EQ：OC=BE：OB=m+12：m，再根据△OEQ与△OAC相似得EQ：OC=OE：OA=m−12：1，进而得m+12：mm−12：1，由此解出m的值即可对选项C进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解：根据题意可得c可以是 2，
故答案为： 2(答案不唯一)．
无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】35
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠B=∠BCE=55°，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=35°，
∴∠ACD=35°，
故答案为：35°．
根据DE/​/AB，得出∠B=∠BCE=55°，∠A=∠DCA，再根据三角形内角和定理解答即可．
本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】7.6
【解析】解：由题意可得，该职员的年终考评为8×3+8×2+10×1+6×2+7×23+1+1+2+2=7.6(分)，
故答案为：7.6．
根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14.【答案】1
【解析】解：x+y=k①x−3y=k+2②，
①−②得：y=−12，
把y=−12代入x−y=2得：x=32，
把y=−12，x=32代入①得：k=1，
故答案为：1．
先把方程组中的两个方程相减，消去x，k，求出y，再把y的值代入x−y=2求出x，最后把x，y的值代入x+y=k，求出k即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握方程组的解是使每个方程两边相等的未知数的值．
15.【答案】5π2
【解析】解：∵⊙O与反比例函数y=3x的图象交于点A(1,a)，
∴a=3，
∴A(1,3)，
∴OA= 12+32= 10，
根据圆和反比例函数图象的性质，都属于中心对称图形，
∴S阴影=14S圆=14×π×( 10)2=5π2．
故答案为：5π2．
根据圆和反比例函数图象都属于中心对称图形，即可得到S阴影=14S圆继而求解即可．
本题考查了反比例函数和圆的中心对称性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AC⊥BD，∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BOC=90°，
∵CF⊥BE，
∴∠CFG=90°=∠BOC，
又∵∠BGO=∠CGF，
∴△BGO∽△CGF，
∴OGFG=BGCG，
∴OGBG=FGCG，
又∵∠OGF=∠BGC，
∴△OGF∽△BGC，
∴∠BFO=∠BCA=45°，
故①正确，符合题意；
∵点E在边CD上，
∴BE不一定平分∠CBD，
故②错误，不符合题意；
在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠BCD=90°，∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠BFO=∠BDC，
又∵∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
故③正确，符合题意；
∵DE=2CE，DE+CE=CD，
∴3CE=CD，
∴CECD=13，
∴CEAB=13，
∵∠ECG=∠BAC=45°，∠AGB=∠CGE，
∴△ABG∽CEG，
∴ABCE=AGCG=31，
∴ACCG=41，
在正方形ABCD中，OC=12AC，
∴G是OC的中点，
故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
根据正方形的性质求出AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，∠CFG=90°=∠BOC，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△BGO∽△CGF，根据相似三角形的性质求出OGBG=FGCG，结合∠OGF=∠BGC，推出△OGF∽△BGC，根据相似三角形的对应角相等求出∠BFO=45°；根据题意得出BE不一定平分∠CBD；根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△BOF∽△BED；根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△ABG∽CEG，根据相似三角形的性质求出ACCG=41，结合正方形的性质即可推出点G是OC的中点．
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式=1−1+3
=3．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：∵x2+x+13≥2，
∴3x+2(x+1)≥12，
3x+2x+2≥12，
3x+2x≥12−2，
5x≥10，
则x≥2，
将解集表示在数轴上如下：

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19.【答案】证明：在△ABC中CA=AB，∠CAE=∠ABD，
又∵AE=BD，
在△CAE和△ABD中，AE=BD∠B=∠CAECA=AB，
∴△CAE≌△ABD(SAS)．
∴AD=CE．
【解析】在等边△ABC中，AC=BA，∠EAC=∠DBA，且BD=AE则可得出△CAE≌△ABD从而得出AD=CE．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
20.【答案】解：原式=x−3x−2⋅x−2(x−3)2
=1x−3．
当x= 2+3时，
原式=1 2+3−3= 22．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及实数的运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)方案1中从A到B的电路的所有情况有：(R1,R2)，(R1,R2−)，(R1−,R2)，(R1−,R2−)，
一共有4种等可能的情况，其中该电路为断路有3种情况，
∴P(该电路为断路)=34；
(2)由(1)知，方案1电路系统正常工作的概率为：14；
方案2中从A到B的电路的所有情况有：(R1,R2)，(R1,R2−)，(R1−,R2)，(R1−,R2−)，
一共有4种等可能的情况，其中该电路能正常工作有3种情况，
∴方案2电路系统正常工作的概率为：34，
∵14<34，
∴连接方案2更稳定可靠．
【解析】(1)直接列出所有情况，并根据概率公式求出为断路的概率即可；
(2)分别求出方案1，方案2能正常工作的概率，再根据概率的大小说明哪种连接方案更稳定可靠即可．
本题考查概率的应用，理解题意，掌握概率公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意得：y甲=40×0.9x=36x；
当x≤a时，y乙=40x，
当x>a时，y乙=40a+40×0.75(x−a)=30x+10a，
∴y乙关于x的函数表达式为y乙=40x(x≤a)30x+10a(x>a)；
(2)小丽在甲商店购买10kg枇杷的费用为：36×10=360(元)，
小丽在乙商店购买10kg枇杷的费用为y=400(x≤a)300+10a(x>a)，
∵小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷的费用相同，
∴300+10a=360，
解得a=6；
(3)由(2)可知，当x<10时，到甲商店购买更合算；
当x=10时，到甲乙两家商店购买费用相同；
当x>10时，到乙商店购买更合算．
【解析】(1)根据题意分别写出y甲，y乙关于x的函数表达式即可；
(2)小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷的费用相同，列出方程，解方程求出a的值；
(3)由(2)可得出购买方案．
此题主要考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解题关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC，则OC=OF，
∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD于点E，
∴∠ACB=∠FEC=90°，
∵∠A=∠BFC，
∴△ABC∽△FCE，
∴∠ABC=∠FCE，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OFC=∠OCF=90°−∠FCE=90°−∠ABC=∠A，
∴∠OFC=∠BFC，
∴CF平分∠BFO．
(2)解：∵⊙O的半径为4，BE=45，
∴OC=OB=OA=4，
∴BA=2×4=8，∠OCB=∠OBC，
∵∠BCE+∠OCB=90°，∠A+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠A，
∵∠CEB=∠ACB=90°，
∴△CBE∽△ABC，
∴BEBC=BCBA，
∴BC= BE⋅BA= 45×8=4 105，
∴AC= AB2−BC2= 82−(4 105)2=12 105，
∴tanA=BCAC=4 10512 105=13，
∴tanA的值为13．
【解析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，BE⊥CD于点E，得∠ACB=∠FEC=90°，而∠A=∠BFC，所以△ABC∽△FCE，则∠ABC=∠FCE，由切线的性质得∠OCD=90°，则∠OFC=∠OCF=90°−∠FCE=90°−∠ABC=∠A=∠BFC，所以CF平分∠BFO；
(2)由⊙O的半径为4，得BA=8，由∠BCE+∠OCB=90°，∠A+∠OBC=90°，且∠OCB=∠OBC，得∠BCE=∠A，即可证明△CBE∽△ABC，得BEBC=BCBA，求得BC= BE⋅BA=4 105，则AC= AB2−BC2=12 105，所以tanA=BCAC=13．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】△DLN∽△DAP LNAP=LKAB
【解析】解：(1)LN=13LK．
∵LM//AB，
∴∠DLN=∠A，∠DNL=∠DPA．
∴△DLN∽△DAP．
∴DLDA=LNAP，
同理，得DLDA=LKAB，
∴APAB=LNLK=13，
则点P为边AB的三等分点．
故答案为：①△DLN∽△DAP．
②LNAP=LKAB；
(2)“励志”小组的结论正确，
理由如下：
在矩形ABCD中，AB/​/CD，AB=CD．
由折叠，得点E是边AB的中点，点F是边CD的中点，
∴EB=12AB=12DC．
∵AB/​/CD，
∴∠EBG=∠CDG，∠BEG=∠DCG，
∴△EBG∽△CDG，
∴EBCD=BGDG=12，
∵MN/​/AD，
∴∠BMG=∠BAD，∠BGM=∠BDA．
∴△BMG∽△BAD，
∴MBAB=BGBD=12+1=13，
∴点M是边AB的三等分点．
(3)由折叠，得AE=BE．
∵点M为边AB的三等分点，
∴AM=13AB．
设AM=a，则AB=3a，BE=32a，MB=2a．
由折叠性质，得△CBE≌△CGE．
∴EB=EG=32a，CB=CG．
∵MN/​/AD，
∴∠BMG=∠A=∠B=90°．
∵∠BMG=∠B=∠BCN=90°．
∴四边形MBCN是矩形，
∴MN=BC，MB=CN=2a．
由勾股定理，得MG= EG2−ME2= (32a)2−(12a)2= 2a，
设BC=x，则GN=x− 2a.
∵∠MGE+∠MEG=90°，∠MGE+∠CGN=90°，
∴∠MEG=∠CGN，
∵∠EMG=∠GNC=90°，
∴△EMG∽△GNC，
∴EGGC=EMGN，
∴32ax=12ax− 2a，
解得x=3 22a，
∴ABBC=3a3 22a= 2．
(1)根据题意即可填空；
(2)证明EBC∽CDG，得ECCD=BGDG=12，得--↓，证明△BMGBAD得−÷，可得结论；
(3)设AM=a，则AB=3a，BE=32a，MB=2a.证明四边形MBCN是矩形，得MN=BC，MB=CN=2a，由勾股定理得MG= 2a，设BC=x，则GN=x− 2a，证明△EMG∽△AGN得EGGC=EMGN，代入x=3 22a，进一步可求出．
本题考查了相似综合题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理与矩形的判定与性质、解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25.【答案】解：(1)①抛物线的对称轴为直线x=1，A(−2,0)，
∴B(4,0)，
∵OB=2OC，点C在y轴负半轴上，
∴C(0,−2)，即c=−2，
∵点A，B在抛物线上，
∴4a−2b−2=016a+4b−2=0，
解得：a=14b=−12，
∴.抛物线的函数表达式为y=14x2−12x−2；
②∵B(40)，C(0,−2)，
设直线BC的解析式为y=kx−2，
∴0=4k−2，
解得k=12
∴直线BC的解析式为y=12x−2
过点P作PF⊥x轴，交BC于点F，如图1，

设P(m,14m2−12m−2)，F(m,12m−2)，OC//PF，
∴PF=12m−2−(14m2−12m−2)=−14(m−2)2+1，
∵OC//PF，
∴△OCE∽△PFE，
∴PEOE=PFOC，
∴S1S2=PEOE=PFOC=PF2=−18(m−2)2+12
∵−18<0，
∴当m=2时，S1S2的值最大，此时P(2,−2)；
(2)根据题意得C(0,c)，B(−2c,0)，c<0，
∴y=a(x+2)(x+2c)，
∵点C在抛物线上，
∴c=a(0+2)(0+2c)，
解得a=14，
∴对称轴是直线x=b−2×14=−2−2c2，c=2b=1，
∴y=14x2+bx+2b−1=14(x+2b)2−b2+2b−1，B(2−4b,0)，
∴抛物线的顶点坐标为(−2b,−b2+2b−1)．
∵对称轴在y轴的右侧，
∴−2b>0，
解得b<0．
令对称轴直线x=−2b与x轴交于点G，AN与BM交于点H.如图2，

∵点M，N关于对称轴对称，点A，B关于对称轴对称，AN⊥BM，
∴点H在直线x=−2b上，∠AHB=90°，AG=BG，
∴GH=12AB=12[2−4b−(−2)]=2−2b，
∴H(−2b,2b−2)，
∵点M在点N的左边，且都在x轴下方，
∴点H在抛物线顶点的上方，在x轴下方．
∴2b−2<02b−2>−b2+2b−1，
解得b<−1．
∴b的取值范围为b<−1．
【解析】(1)①利用二次函数的对称性质求得B(4,0)，利用待定系数法求解即可；
②过点P作PF⊥x轴，交BC于点F，设P(m,14m2−12m−2)，由OC//PF，证明△OCE−△PFE，得到PEOE=PFOC，求得S1S2=PEOE=PFOC=PF2=−18(m−2)2+12，利用二次函数的性质求解即可；
(2)根据题意，得C(0,c)，B(−2c,0)，c<0，求得y=14x2+bx+2b−1=14(x+2b)2−b2+2b−1，由对称轴的性质求得解得b<0；令对称轴直线x=−2b与x轴交于点G，AN与BM交于点H.求得H(−2b,2b−2)，再根据题意列得不等式组，求得解得b<−1，据此求解即可．
本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函数解析式，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．一次性购买质量x(kg)
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