高中第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.2 利用二分法求方程的近似解精品复习练习题

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考查题型一 从函数解析式或方程角度判断能不能用二分法
1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】利用二分法的定义一一判定即可.
【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法，
对于A，显然在定义域上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误；对于B，在定义域上连续，
有，可以使用二分法，故B错误；
对于C，在定义域上连续，且有，
可以使用二分法，故C错误；对于D，，
且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确.
故选：D
2．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.
【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；
故选：C
3．（多选题）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于C选项，恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，
故选：ABD.
考查题型二 从图象角度判断能不能用二分法求函数零点
1．（多选题）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二或多个小区间，然后采用二分法逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
2．（多选题）下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可.
【详解】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对于ABC，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，ABC正确；对于D，零点左右两侧的函数值不变号，不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：ABC.
3．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．
【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
考查题型三 用二分法求函数零点的近似值
1．用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】结合零点存在性定理及二分法即可求解.
【详解】，
则，即初始区间可选．
故选：C.
2．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）
A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5
【答案】B
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
3．已知，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，，，则方程的解落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】由题意可得为增函数，且，，故方程的解落在区间.
故选：B
4．在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据“二分法”的处理过程写出第二次所取区间即可.
【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号，所以第二次所取区间可能是或.
故选：A
5．函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（ ）次函数值的计算．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止．
【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
，，
取区间的中点， 且，
所以.，取区间的中点，
且，所以.
，取区间的中点，
且，所以.
因为，所以区间的中点，
即为零点的近似值，即函数的零点，所以至少需进行3次函数值的计算.
故选：B.
1．（多选）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（ ）
A．可以确定的一个零点，满足
B．第二次应计算，若，第三次应计算
C．第二次应计算，若，第三次应计算
D．第二次应计算，若，第三次应计算
【答案】AB
【分析】二分法是基于零点存在定理的一种求根的近似值（有可能求出精确值）的方法，二分法的每一步都要满足零点存在定理的条件，结合二分法的理论即可得解.
【详解】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足，故A选项符合题意.
对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，
所以第三次应计算，故B选项符合题意.
对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，
所以第三次应计算，故C选项不符题意.
对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意.
故选：AB.
2．下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)．
【答案】1.438(答案不唯一)
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】由题设有，于是，
所以，函数在区间内有零点，此时，取区间的中点，又，
因为，所以，此时，再取的中点，又，因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，
所以，当精确度为0.1时，方程的一个近似解为1.438．
故答案为：1.438．(答案不唯一)
3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故选：C
4．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解
【详解】对A，的零点为；
对B，的零点为；
对C，的零点为；
对D，的零点为；
，，，
故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，
由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；
故选：B
5．设函数是定义在上的奇函数：对任意，都有，且当时，，若函数在上恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以时，，
又因为对任意的，都有，
所以，
即，
又因为，
即，
所以，
所以，即函数以4为周期，
又由函数在上恰有5个不同的零点，
得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，
，
当如图，
要使两函数图象有5个交点，则，解得，
当如图，
要使两函数图象有5个交点，则，解得，综上，
故选:C.x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6