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2023-2024学年度第二学期浙江省杭州市七年级数学期末模拟试卷解析
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注意事项：
1 ,本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答．
【详解】根据同位角的定义可知C选项中∠1与∠2在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角．
故选：C．
2．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，数0.00000012用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣6B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣8D．12×10﹣8
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：B．
3．若是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】B
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【详解】把代入方程得：
，
∴，
故选：B．
4 .人类的血型可分为A，B，AB，O型四样，如图是某校七年级两个班学生参加体检后的血型结果，
对两个班“A型”人数占班级总数的百分比做出判断，正确的是（ ）
A．1班比2班大B．1班比2班小
C．1班和2班一样大D．无法判断
【答案】C
【分析】先求出七二班“A型”人数所占的百分比，再与七一班的“A型”人数所占的百分比进行比较，即可得出答案．
【详解】解：七二班“A型”人数所占的百分比是：×100%=40%，
∵七一班的“A型”人数也占40%，
∴1班和2班一样大．
故选：C．
5．把分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故选C．
6．计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【答案】A
【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故选：A．
7．已知实数，满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．用加减消元法解方程组 时，下列步骤可以消去未知数y的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查加减法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】用加减消元法解方程组 时，消去未知数y的是，
故选：D．
如图，将9个不同的数填在3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，列出等式，即可判断．
【详解】如图：
∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，
∴，
整理得：．
故选：B
小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，
若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【详解】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，
由题意，得S1=b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2=a2+2b2，
S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，
S=（a+b）2，
∵S=3S2，
∴（a+b）2=3（2ab-b2），
整理，得（a-2b）2=0，
∴a-2b=0，
∴a=2b．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．要使分式有意义，x的取值应满足 ．
【答案】x≠2
【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0，
解得x≠2.
故答案为x≠2.
12．若多项式是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】±4
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵4x2+mx+1=（2x）2+mx+12，
∴mx=±2×2x×1，
解得m=±4．
故答案为：±4．
某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），
次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校名学生中随机抽取名学生的积分，
得到数据的频数分布直方图如下
（数据分成6组：，，，，，）：
根据以上数据，估计该校名学生中积分不低于分的学生人数约为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，计算出样本中不低于分的学生人数所占比例即可求解．
【详解】解：该校名学生中积分不低于分的学生人数约为：（人）
故答案为：
14．已知是二元一次方程的一组解，则 ．
【答案】2023
【分析】本题主要查了二元一次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，
∴，
∴．
故答案为：2023
15 . 如图，是的高线，是的角平分线．，，
则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，即可求．
【详解】解：是的高线，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
如图是一盏可调节台灯的示意图，固定支撑杆垂直底座于点O，
与是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，
在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，
使外侧光线，，若，则 ．
【答案】157
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，延长交于，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：157．
三、解答题：本题共8小题，共66分。
17．解下列方程组或方程
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）两边都乘以x-1，化为整式方程求解，然后再检验．
【详解】解：（1），
①＋②得：4x＝28，
∴x＝7，
把x＝7代入②得：y＝0，
∴原方程组的解是；
（2），
解：去分母得：x－3（x－1）＝2，
解得：，
经检验：是原方程的解．
18．因式分解：
(1)
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
19 .某校为了解某年级学生数学学习效果，决定随机抽取部分学生进行学习质量测评，
以下是根据测试的成绩绘制的统计表和频数分布直方图：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求此次抽样的样本容量，及a，b的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有600名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（90分及以上）的人数．
【答案】（1）样本容量为50，a=18，b=0.18；（2）见解析；（3）180人
【分析】（1）由第1段的频数及其频率可得样本容量，再根据频率=频数÷样本容量求解可得a、b的值；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中第5组的频率即可．
【详解】解：（1）此次抽样的样本容量为2÷0.04=50，a=50×0.36=18，b=9÷50=0.18；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该年级数学成绩为优秀（90分及以上）的人数为600×0.3=180（人）．
20．（1）化简：；
（2）先化简，
再从1，－1，－2，2四个数中选取一个合适的数作为a代入求值．
【答案】（1）2a－5；（2），
【分析】（1）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案；
（2）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，a只能取-2，而不能取1,-1，2，应注意．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝2a－5；
（2）
＝
＝
＝
∵当a＝1，－1，2时原式无意义，
∴a＝－2
当a＝－2时
原式＝．
如图，平分．
判断与的位置关系，并说明理由；
若于点，求证：．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键；
（1）先证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）先证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；
若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．
设小长方形的长和宽分别为a和b（a＞b）．
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积．
【答案】（1）；（2）60；（3）．
【分析】（1）根据图1中，3个小长方形的长与5个小长方形的宽一样长，即可列出等式；
（2）根据图2中，2个小长方形的宽等于1个长方形的长加小正方形的边长，列出方程，与（1）中等式联立，即可求得答案；
（3）根据图2中，2个小长方形的宽等于1个长方形的长加小正方形的边长，即可用a和b表示出小正方形的边长，即可表示出小正方形的面积．
【详解】（1）由题可知：；
（2）由图2可知，，与（1）中联立方程组：
，
解得：，
所以小长方形的面积为60；
（3）设小正方形的边长为x，
由图2可知：，
则：，
∵
∴，代入，
得：，
所以小正方形的面积为：．
某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品，
若A种笔记本买20本，B种笔记本买30本,则钱还缺40元；
若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本,则钱恰好用完．
（1）求A，B两种笔记本的单价；
（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本．且每一种笔记本都需要购买，
若购买A，B，C三种笔记本共75本，则C种笔记本购买了多少本？
【答案】（1）A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元；（2）C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据“若A种笔记本买20本，B本笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本（75-m-n）本，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出m+3n=15，结合m，n均为正整数，即可求出结果．
【详解】解：（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元．
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本(75-m-n)本，
依题意，得：8m+12n+6(75-m-n)）=480，
∴m+3n=15，
则m=15-3n，
∴购买C种笔记本为：(60+2n)本，
∵m，n均为正整数，
∴m=12，n=1或m=9，n=2或m=6，n=3或m=3，n=4，
∴60+2n=62或64或66或68，
答：C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起
（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数
（请先在备用图上补全相应的图形）．
当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）165°或15°，图见解析；（3）存在，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或165°或135°．
【分析】（1）首先证明∠BCE＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝120°；
（2）有两种情形，画出图形即可解决问题；
（3）有四种情形，画出图形即可解决问题．
【详解】解：（1）如图中，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD，
∵∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝30°+90°＝120°，
故答案为120°；
（2）如图中，
当DE∥AB时，延长BC交DE于M，
∴∠B＝∠DMC＝60°，
∵∠DMC＝∠E+∠MCE，
∴∠ECM＝15°，
∴∠BCE＝165°，
当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，
∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；
存在．如图，
①CD∥AB时，∠BCE＝30°，
②DE∥BC时，∠BCE＝45°，
③CE∥AB时，∠BCE＝120°，
④DE∥AB时，∠BCE＝165°，
⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°
综上所述，当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，
这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或165°或135°．
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
注意事项：
1 ,本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答．
【详解】根据同位角的定义可知C选项中∠1与∠2在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角．
故选：C．
2．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，数0.00000012用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣6B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣8D．12×10﹣8
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：B．
3．若是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】B
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【详解】把代入方程得：
，
∴，
故选：B．
4 .人类的血型可分为A，B，AB，O型四样，如图是某校七年级两个班学生参加体检后的血型结果，
对两个班“A型”人数占班级总数的百分比做出判断，正确的是（ ）
A．1班比2班大B．1班比2班小
C．1班和2班一样大D．无法判断
【答案】C
【分析】先求出七二班“A型”人数所占的百分比，再与七一班的“A型”人数所占的百分比进行比较，即可得出答案．
【详解】解：七二班“A型”人数所占的百分比是：×100%=40%，
∵七一班的“A型”人数也占40%，
∴1班和2班一样大．
故选：C．
5．把分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故选C．
6．计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【答案】A
【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故选：A．
7．已知实数，满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．用加减消元法解方程组 时，下列步骤可以消去未知数y的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查加减法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】用加减消元法解方程组 时，消去未知数y的是，
故选：D．
如图，将9个不同的数填在3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，列出等式，即可判断．
【详解】如图：
∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，
∴，
整理得：．
故选：B
小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，
若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【详解】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，
由题意，得S1=b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2=a2+2b2，
S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，
S=（a+b）2，
∵S=3S2，
∴（a+b）2=3（2ab-b2），
整理，得（a-2b）2=0，
∴a-2b=0，
∴a=2b．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．要使分式有意义，x的取值应满足 ．
【答案】x≠2
【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0，
解得x≠2.
故答案为x≠2.
12．若多项式是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】±4
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵4x2+mx+1=（2x）2+mx+12，
∴mx=±2×2x×1，
解得m=±4．
故答案为：±4．
某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），
次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校名学生中随机抽取名学生的积分，
得到数据的频数分布直方图如下
（数据分成6组：，，，，，）：
根据以上数据，估计该校名学生中积分不低于分的学生人数约为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，计算出样本中不低于分的学生人数所占比例即可求解．
【详解】解：该校名学生中积分不低于分的学生人数约为：（人）
故答案为：
14．已知是二元一次方程的一组解，则 ．
【答案】2023
【分析】本题主要查了二元一次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，
∴，
∴．
故答案为：2023
15 . 如图，是的高线，是的角平分线．，，
则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，即可求．
【详解】解：是的高线，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
如图是一盏可调节台灯的示意图，固定支撑杆垂直底座于点O，
与是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，
在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，
使外侧光线，，若，则 ．
【答案】157
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，延长交于，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：157．
三、解答题：本题共8小题，共66分。
17．解下列方程组或方程
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）两边都乘以x-1，化为整式方程求解，然后再检验．
【详解】解：（1），
①＋②得：4x＝28，
∴x＝7，
把x＝7代入②得：y＝0，
∴原方程组的解是；
（2），
解：去分母得：x－3（x－1）＝2，
解得：，
经检验：是原方程的解．
18．因式分解：
(1)
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
19 .某校为了解某年级学生数学学习效果，决定随机抽取部分学生进行学习质量测评，
以下是根据测试的成绩绘制的统计表和频数分布直方图：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求此次抽样的样本容量，及a，b的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有600名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（90分及以上）的人数．
【答案】（1）样本容量为50，a=18，b=0.18；（2）见解析；（3）180人
【分析】（1）由第1段的频数及其频率可得样本容量，再根据频率=频数÷样本容量求解可得a、b的值；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中第5组的频率即可．
【详解】解：（1）此次抽样的样本容量为2÷0.04=50，a=50×0.36=18，b=9÷50=0.18；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该年级数学成绩为优秀（90分及以上）的人数为600×0.3=180（人）．
20．（1）化简：；
（2）先化简，
再从1，－1，－2，2四个数中选取一个合适的数作为a代入求值．
【答案】（1）2a－5；（2），
【分析】（1）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案；
（2）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，a只能取-2，而不能取1,-1，2，应注意．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝2a－5；
（2）
＝
＝
＝
∵当a＝1，－1，2时原式无意义，
∴a＝－2
当a＝－2时
原式＝．
如图，平分．
判断与的位置关系，并说明理由；
若于点，求证：．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键；
（1）先证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）先证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；
若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．
设小长方形的长和宽分别为a和b（a＞b）．
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积．
【答案】（1）；（2）60；（3）．
【分析】（1）根据图1中，3个小长方形的长与5个小长方形的宽一样长，即可列出等式；
（2）根据图2中，2个小长方形的宽等于1个长方形的长加小正方形的边长，列出方程，与（1）中等式联立，即可求得答案；
（3）根据图2中，2个小长方形的宽等于1个长方形的长加小正方形的边长，即可用a和b表示出小正方形的边长，即可表示出小正方形的面积．
【详解】（1）由题可知：；
（2）由图2可知，，与（1）中联立方程组：
，
解得：，
所以小长方形的面积为60；
（3）设小正方形的边长为x，
由图2可知：，
则：，
∵
∴，代入，
得：，
所以小正方形的面积为：．
某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品，
若A种笔记本买20本，B种笔记本买30本,则钱还缺40元；
若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本,则钱恰好用完．
（1）求A，B两种笔记本的单价；
（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本．且每一种笔记本都需要购买，
若购买A，B，C三种笔记本共75本，则C种笔记本购买了多少本？
【答案】（1）A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元；（2）C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据“若A种笔记本买20本，B本笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本（75-m-n）本，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出m+3n=15，结合m，n均为正整数，即可求出结果．
【详解】解：（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元．
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本(75-m-n)本，
依题意，得：8m+12n+6(75-m-n)）=480，
∴m+3n=15，
则m=15-3n，
∴购买C种笔记本为：(60+2n)本，
∵m，n均为正整数，
∴m=12，n=1或m=9，n=2或m=6，n=3或m=3，n=4，
∴60+2n=62或64或66或68，
答：C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起
（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数
（请先在备用图上补全相应的图形）．
当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）165°或15°，图见解析；（3）存在，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或165°或135°．
【分析】（1）首先证明∠BCE＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝120°；
（2）有两种情形，画出图形即可解决问题；
（3）有四种情形，画出图形即可解决问题．
【详解】解：（1）如图中，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD，
∵∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝30°+90°＝120°，
故答案为120°；
（2）如图中，
当DE∥AB时，延长BC交DE于M，
∴∠B＝∠DMC＝60°，
∵∠DMC＝∠E+∠MCE，
∴∠ECM＝15°，
∴∠BCE＝165°，
当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，
∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；
存在．如图，
①CD∥AB时，∠BCE＝30°，
②DE∥BC时，∠BCE＝45°，
③CE∥AB时，∠BCE＝120°，
④DE∥AB时，∠BCE＝165°，
⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°
综上所述，当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，
这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或165°或135°．
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
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