培优冲刺04 新结构19题型卷导数大题“降温”题型归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关

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培优冲刺04 新结构19题型卷导数“降温”题型归类
目录
TOC \ "1-1" \p " " \h \z \u \l "_Tc164956059" \l "_Tc164956060" 题型一：切线型········································································································································································· PAGEREF _Tc164956060 \h 1
\l "_Tc164956061" 题型二：零点型········································································································································································· PAGEREF _Tc164956061 \h 4
\l "_Tc164956062" 题型三：单调或者不单调型·················································································································································· PAGEREF _Tc164956062 \h 8
\l "_Tc164956063" 题型四：常规型不等式的证明··········································································································································· PAGEREF _Tc164956063 \h 12
\l "_Tc164956064" 题型五：不等式“恒成立”求参············································································································································ PAGEREF _Tc164956064 \h 15
\l "_Tc164956065" 题型六：不等式“能成立”求参············································································································································ PAGEREF _Tc164956065 \h 17
\l "_Tc164956066" 题型七：求整数型参数························································································································································· PAGEREF _Tc164956066 \h 20
\l "_Tc164956071" 题型八：二次求导型····························································································································································· PAGEREF _Tc164956071 \h 23
\l "_Tc164956072" 题型九：双变量型构造························································································································································ PAGEREF _Tc164956072 \h 26
\l "_Tc164956073" 题型十：数列型不等式证明··············································································································································· PAGEREF _Tc164956073 \h 28
\l "_Tc164956074" 题型十一：老高考压轴型导数题······································································································································ PAGEREF _Tc164956074 \h 30
题型一：切线型
1．已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可．
【详解】（1），
令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数的极值点为；
（2）由（1）可知：，而，
所以切线的方程为，
由，或，
当时，，此时，与有公共点，
当时，设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以由，即，此时与有公共点，
综上所述：与有唯一公共点．
2．已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在点处的切线与直线垂直，解不等式．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求原函数的导函数，讨论一元二次不等式的解，进而判定原函数的单调性；
（2）利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进而求得实数的值，借助原函数的单调性求不等式即可．
【详解】（1）∵，
∴（）．
令，其．
①当，即时，恒成立，
∴对恒成立，故在上递增；
②当，即时，
方程的两个根分别是，．
若，则，，
故时，；时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则，，
故或时，；时，．
所以在和上均单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上均单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）直线的斜率为，
由（1）知，，
且函数在点处的切线与直线垂直，
得，，
当时，函数在上单调递增，
又因为，
∴，即，
∴，
即不等式的解集为．
3．已知函数
(1)判断函数的单调性；
(2)曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求出根据的正负可得答案
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，分、讨论，结合直线的位置关系、一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）由题意得，，
因为时，，所以单调递增，无单调递减区间；
（2）因为，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
即与曲线只有一个公共点，
当时，可得，
因为，所以直线与相交，只有一个公共点，符合题意；
当时，若切线与曲线只有一个公共点，
只需只有一个公共解，
整理得，所以，
解得.
综上所述，或.
【点睛】思路点睛：第二问的解题思路是求出切线方程，且与曲线只有一个公共点，联立方程求解即可．
4．已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)若过点可作图象的三条切线，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数得到切线斜率值，利用点斜式方程即得切线方程；
（2）设出切点，列出切线方程，将题设条件转化成方程有三个实根，即函数有三个零点，就值分类讨论即得．
【详解】（1）因为，，，
所以切线方程为，即.
（2）设切点为，则切线方程为：，
因切线经过点，故有，即.
令，依题知有3个零点．
，令得，
①当时，时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，此时至多有两个零点，不合题意；
②当时，或时，，时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
又，，
因，由有3个零点可知：，故得：，即.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的切线方程求法和函数的零点问题．
解决函数的零点问题一般可以考虑运用参变分离法或者分类讨论法．此题中将曲线存在经过某点的三条切线问题，转化成对应方程的三个实根，继而又转化成函数有三个零点问题，最后就参数分类讨论得出结论．
题型二：零点型
1．已知函数.
(1)当曲线在点处的切线与直线垂直时，求a的值；
(2)讨论的极值点的个数．
【答案】(1)或
(2)时，有且只有1个极值点，当时，有2个极值点．
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，根据斜率乘积为-1得到方程，求出a的值；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分和两种情况，进行分类讨论，得到函数的极值点情况．
【详解】（1），
，故，
故在点处的切线方程为，
由于该切线与直线垂直，故，解得或，
综上，或
（2）定义域为R，
，
当时，令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故为的极小值点，
当时，令得或，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极小值，也是最小值，
最小值为，
所以恒成立，
令得或，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
故为函数的极小值点，为函数的极大值点，
此时函数有2个零点，
综上，时，有且只有1个极值点，
当时，有2个极值点．
2．已知函数，．
(1)求函数图象上一点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点（），求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解；
（2）先求出函数的导函数，分和时，得出函数的单调性，从而只需要，即可求出答案．
【详解】（1）由，解得，所以，
则，则，
所以切线方程为，即．
（2），
当时，在上单调递减，不合题意，舍去；
当时，在单调递减，在上单调递增．
由时，，时，，
则，
令，则，在单调递增．
又，时，，时，，
，所以.
3．已知函数.
(1)设，证明：当时，过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由题意设出切点，进一步将原问题转换为证明当时，方程有为一解，故只需证明即可；
（2）对分类讨论，即分和讨论，结合导数与单调性的关系以及零点存在定理即可求解．
【详解】（1）当时，，
设过原点O的直线与曲线相切于点，
则，变形得，
设，则，
若，则当时，恒有，此时方程有唯一解，
所以过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
当时，由得，由得，
所以此时，方程有唯一解，
所以过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
综上所述，当时，过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
（2），
由（1）知，当时，，
所以当时，，当时，，
所以，此时最多有一个零点，不符合题意；
当时，由（1）可知，
又，
所以在内各有一个零点，不妨设为，
所以的导数有三个零点，
当或时，，当或时，，
所以的极大值，的极小值为，
且，
又当或时，都有，
所以恰在和各有一个零点，符合题意，
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是分类讨论，利用导数研究函数单调性以及最值即可顺利得解．
4．已知函数（为常数），函数．
(1)若函数有两个零点，求实数的取值的范围；
(2)当，设函数，若在上有零点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，再根据函数有2个零点建立不等式求解即可．
（2）由在上有零点可得方程，据此可看作在直线上，可转化为点到原点距离的平方的最小值，利用导数求最小值即可．
【详解】（1），，
①时，，则在上单调递增，至多有一个零点．
②时，令得，则在上单调递增；
令得，则在上单调递减；
若有2个零点，则需满足，则，
又，且，
令，则，
令，得，故在上单调递增；
令，得，故在上单调递减；
∴，则，即，
则．
故在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意，
所以为所求．
（2）设函数在上的零点为，则，
所以在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，
所以，
又，∴，令，则，
，∴在上单调递减，
，即，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中关键在于利用函数在上的零点为，得到方程后转化为点在直线上，再利用的几何意义求解．
题型三：单调或者不单调型
1．已知函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)求所有的实数，使得函数在上单调．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设（），对求导，设（），对求导，讨论与的大小，可得，即可证明；
（2）先求出为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调，解法1：对求导，由解出实数，即可得出答案；解法2：讨论，和结合零点存在性定理即可得出答案．
【详解】（1）设（），
则，
设（），则，显然
所以在上单调递增，故，所以.
则在上单调递增，所以，因此
（2）解法1：因为，所以为奇函数．
要使函数在上单调，只要函数在上单调．
又.
因为，所以函数在只能单调递减，
由，解得.
下证当时，在上单调．
由于是奇函数，只要在单调，
因为，所以在单调递减．
解法2：因为，所以为奇函数．
要使函数在上单调，只要函数在上单调．
又.
（ⅰ）若，即时，，所以函数
在上单调递减，所以满足题意；
（ⅱ）若，则，故，
所以由零点存在定理得存在，，使得当时，，
当时，，所以在单调递增，
在单调递减，因此不合题意；
（ⅲ）若，则，故，
所以由零点存在定理得存在，，使得当时，，
当时，，所以在单调递减，
在单调递增，因此不合题意；
因此所求实数的取值范围是.
2．已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1)当时讨论其单调性得出
在上的最小值为，即证．
(2)对求导，对的取值范围分类讨论，结合对应的
单调性即可求出的取值范围．
【详解】解：（1）当时，，所以；
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以是在区间上的最小值，所以.
（2）依题意，.
若，则当时，，在区间上单调递增，不合题意，舍去；
若，令，则.
因为时，，所以在上单调递增．
因为，而，
所以存在，使得.
此时函数在上单调递减，在上单调递增，符合条件；
综上所述，实数的取值范围是.
3．已知，函数（是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若，证明：曲线没有经过点的切线；
（Ⅱ）若函数在其定义域上不单调，求的取值范围；
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）假设存在切线经过，设切点为，利用切线方程推出矛盾得到证明．
（Ⅱ）函数在其定义域上不单调，等价于有变号零点，取导数为0，参数分离，设新函数利用函数的单调性求取值范围．
【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，此时，
设曲线在点处的切线经过点
则曲线在点处的切线
所以 化简得：
令，则，
所以当时，，为减函数，
当时， ， 为增函数，
所以，所以无解
所以曲线的切线都不经过点
（Ⅱ）函数的定义域为，因为，
所以在定义域上不单调，等价于有变号零点，
令，得，令．
因为，令，，
所以是上的减函数，又，故1是的唯一零点，
当，，，递增；
当，，，递减；
故当时，取得极大值且为最大值，所以，即的取值范围是
【点睛】本题考查了函数的切线问题，函数单调性问题，将在定义域上不单调，等价于有变号零点，是解题的关键．
4．已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）若函数在上不单调，且函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【详解】分析：(1）设切点为，由题意结合导函数的几何意义可得关于的方程，解方程可得或，结合题意可知，.
(2）求导可得，利用导函数与原函数的单调性的关系可得．结合导函数的解析式可得的极大值为，的极小值为，据此可得关于a的不等式组，求解不等式组，结合函数的单调性可得的取值范围.
详解：(1）设切点为，
则，
所以，
解得或，
当时，，不合题意．
当时，，因为，所以.
(2），
因为在上不是单调函数，所以.
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
函数有三个零点，即的图象与直线有三个交点，
所以，解得.
点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
题型四：常规型不等式的证明
1．已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，根据题意，结合，即可求解；
（2）构造函数，利用两次求导，结合隐零点求，再结合二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）由函数，可得，可得，
因为函数的图象在处的切线与轴平行，
可得，解得.
（2）当时，，
令，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，且，
由零点存在性定理可得存在，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
由二次函数性质可得，所以，即．
2．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当，时，求证：．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可求出最值；
（2）令，由的单调性可知，变形可得到，结合（1）知即，即可证明．
【详解】（1），
，
在上单调递减，
的最小值为.
（2）令，则.
在上单调递减，
，
又，，
，
又由（1）知，，
.
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，经常将所证不等式进行等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性求出最值或极值进行变形得到．
3．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）直接求导得函数单调性，进一步即可得解；
（2）由（1）有，当时，结论是平凡的，所以只需证明当时，，构造函数结合导数即可进一步得证．
【详解】（1），
所以单调递增，从而函数的最小值为.
（2）由（1）当时，，
所以要证当时，有，即，
只需证，当时，结论是显然的，
所以只需证当时，，
不妨设令，则，
令，则，
从而单调递增，所以，
从而单调递增，所以，
综上所述，命题得证．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是将原问题转换为只需证当时，，由此即可顺利得解．
4．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
【答案】(1)极小值0，无极大值；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用导数求出函数的极值．
（2）利用（1）中信息，构建关于的不等式，再利用累加法求和即可．
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值．
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.
【点睛】关键点睛：证明第（2）问的数列不等式，利用第（1）的结论，变形构造不等式，再结合累加法求和是解题之关键．
题型五：不等式“恒成立”求参
1．（23-24高三上·河南南阳·已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；
（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案．
【详解】（1）当时，，则
由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，
故．
（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．
因为不等式恒成立，所以，解得．
当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．
2．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为(2)
【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可；
（2）由题知对于任意的恒成立，进而分和两种情况讨论即可得解．
【详解】（1）因为，则，
令，则，即，
解得的递增区间为；
令，则，即，
解得的递减区间为；
所以的递增区间为，递减区间为.
（2）因为对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，
当时，；当时，，令，所以，
令，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，即在上恒成立
所以在上单调递减，所以，
所以．综上，实数的取值范围为.
3．（22-23高三·河南焦作）已知函数，.
(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用导数的意义求出斜率，再用点斜式求出直线方程；
（2）恒成立问题，只需证明，构造函数，求导判断单调性，求出最小值即可证明；
（3）恒成立问题，构造函数，得到，求导；再令分子等于，由二次函数的性质得到，最后求出结果．
【详解】（1）当时，，.
所以，.
所以函数的图像在点处的切线方程为，即
（2）证明：当时，，，即证.
令，则，
所以在上单调递增，所以，即.
（3）由，令.
首先由，此时，令.
因为所以，所以恒成立，即.
所以在递增，故.
综上：的取值范围.
题型六：不等式“能成立”求参
1．（23-24高三·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)递增；(3)存在，.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程．
（2）由导数值恒正判断函数单调递增．
（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解．
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，因此，
所以函数在区间上的单调递增．
（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上递增，
则，即，于是，而，
因此，函数在上单调递增，，，则，
所以的取值范围是.
2．（23-24高三山东·阶段练习）设函数．（a，），满足在和处取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数c的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）函数在和处取得极值，所以且，从而求出a、b的值；
（2）分离参数得，利用导数求出函数的最小值，从而求出c的最小值．
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
因为在和处取得极值，所以，且，
解得，即所求a、b值均为；
当时，，令得，令得或，
所以函数在上单调递增，在上和上单调递减，
所以为函数的极小值点，为函数的极大值点，符合题意．
（2）存在，使得不等式成立，则只需，
由（1）知，，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以在处有极小值，而，，
又，
因为，所以，所以，
所以，即实数c的最小值为.
3．（23-24高三·天津静海·阶段练习）已知，
(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）恒成立求参问题，先分参后转换成求具体函数的最值问题即可求出结果．
（2）有解问题，解法同恒成立求参问题．
（3）恒成立和有解问题统一转化成最值问题解决．
【详解】（1）对于任意的，都有成立，
则恒成立，即恒成立，
又，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
（2）存在，使得成立，
即，使得成立，
所以有解，
又，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
（3）存在，使得成立，即，使得，成立，
令，
则，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
题型七：求整数型参数
1．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值．
【答案】(1).(2).
【分析】（1）求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程；
（2）先由题意，将问题转化为：得到，对任意的恒成立；，求出其导数，得出存在，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由隐零点的整体代换的处理方法可得出答案．
【详解】（1），
，
曲线 在点 处的切线方程为，
即.
（2）对任意的恒成立，
，令 ，则函数在上单调递增，
. 在唯一，使得使得，即，
且当时，，即；当时，，即.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
则在上单调递增，所以，
满足条件的实数的最小整数值为.
2．（23-24高三·吉林长春·阶段练习）已知函数在点处的切线方程为
(1)求；
(2)求的单调区间；
(3)求使成立的最小整数.
【答案】(1)(2)在上单调递增(3)
【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解；
（2）由（1）知，令，求得，求得的单调性和，即可求解；
（3）根据题意转换为，令，结合，得到成立，再由时，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，解得，即可求解．
【详解】（1）解：由函数，可得
因为函数在点处的切线方程为，
可得，即且，解得.
（2）解：由（1）知且，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，，即，
则，所以函数在上单调递增．
（3）解：由不等式，即，
令，可知，
因为，则，可得，即，则，可知，且为整数，所以成立（必要性）；
下面证明：时，恒成立，当时，可得，
即，因为，上式等价于，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以时，不等式恒成立，
综上可得，实数的最小值为.
3．（22-23高三·陕西渭南·）已知函数
(1)若，讨论的单调性．
(2)当时，都有成立，求整数的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到的单调性；
（2）变形得到，令，，只需，求导，结合隐零点得到的单调性和极值，最值情况，得到，从而求出整数的最大值．
【详解】（1），定义域为R，
且，
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令得，，此时单调递增，
令得，，此时单调递减，
综上：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意得，在上恒成立，
因为，所以，故，令，，只需，
，令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
又，故存在，使得，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
所以，故整数的最大值为1.
题型八：二次求导型
1．（23-24高三·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解；
（2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论．
【详解】（1）函数的定义域为R，且，
当时恒成立，所以在R上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在R上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），则，令，即，
令，则，
令，则，
所以当时，则单调递减，且，
当时，则单调递增，
又，，故当时，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点．
2．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，，求的取值范围；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导后，设，再次求导后结合的单调性讨论可得的单调性即可得解；
（2）在上单调递增，可转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0，令，对分类讨论研究的单调性即可得的单调性，即可得解．
【详解】（1）当时，，
令，
，当时，，
所以在上单调递减，则，
所以在上单调递减，
所以，即，
因为，所以的取值范围是；
（2），
在上单调递增等价于在上恒成立，
且在的任意子区间上不恒为0，
令，
则，
当时，因为，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，
所以，
则在上单调递增，
所以，则在上单调递增，符合题意；
当时，令，
则在上单调递增，且，
由零点存在定理可知，存在实数，使得，
所以当时，0，即在上单调递减，
当时，，此时，
所以在上单调递减，所以0，
则在上单调递减，不符合题意，舍去；
当时，因为，所以在上不恒成立，
不符合题意，舍去．
综上，的取值范围是.
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在内恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增．(2)
【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；
（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，构造，利用导数研究其单调性，求得时，即可求得整数的最大值．
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由可得：，
记，，
①若，即，，则在上单调递增，
又时，，不合题意；
②若，即，令，则，令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
令，
，
则令，解得：，令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，故整数的最大值为.
题型九：双变量型构造
1．（23-24高三山东·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时（为大于0的常数），求的最大值；
(3)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析(3)
【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；
（2）分和两种情况，结合（1）中的单调性求函数最值；
（3）构建，分析可知在上单调递减，可得在上恒成立，结合函数单调性分析求解．
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，所以；
当时，在上单调递减，所以．
（3）当时，不等式，
即恒成立，
令，则，可知在上单调递减，
可得，即恒成立，易知在内单调递减，所以，可得，所以的取值范围为.
2．（23-24高三 江苏常州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（2）设，转化为，等价于在上是增函数，求得恒成立，进而求得的取值范围．
【详解】（1）由函数，
可得，
①若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
②若时，可得，所以在上递增，无递减区间；
③若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
④若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，①当时，增区间为，减区间为；
②当时，增区间为，无减区间；
③当时，增区间为，减区间为；
④当时，增区间为，减区间为.
（2）由函数，
因为对任意的，且，都有，
不妨设，则等价于，
设，等价于在上是增函数，
因为，可得，
依题意，对任意有恒成立，
又由，可得，即实数的取值范围为.
3．（23-24高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处取到极值，求实数a的值；
(2)若,对于任意,当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）根据，求得，再进行验证即可；
（2）由题可得在单调递减，则在恒成立，结合分离参数法，以及利用导数求函数最值，即可求得结果．
【详解】（1），，
若函数在处取到极值，则，解得；
又当时，，，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
当，，单调递增；
则当时，满足在处取到极值，故.
（2）当时，，
，即，令；
对于任意,当时，不等式恒成立，
即对于任意,当时，恒成立，也即在单调递减；
又，故，
由题可知，在恒成立，即在恒成立，
也即在恒成立，令，
则，又对称轴为，其在单调递减，，
故在恒成立，则在单调递减，又，
则，也即的取值范围为：.
题型十：数列型不等式证明
1．（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的，求证：.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为；
(2)证明见解析．
【分析】（1）求出函数的导数，再由导数值的正负确定x值集合得解．
（2）利用（1）的结论，赋值得，再利用不等式性质，结合对数运算求解即得．
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
所以函数的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，当时，，
即：，令，得，化简得：，
于是有：，，，，
相加得：
，
所以
2．（23-24高三·湖北武汉·）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)试证明，.
【答案】(1)单调增区间为；单调减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断单调性，进而得到单调区间；
（2）根据（1）的结论，得到，进而得到，将裂成即可得证．
【详解】（1）的定义域为，，
令，得，
当时，得，所以在上单调递增；
当时，得，所以在上单调递减；
的单调增区间为；单调减区间为；
（2）证明：由（1）知，在单调递减，且，
时，，即，
当时，用替换，得，
即，
即，，
整理得，
，.
3．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数单调递减得恒成立，分离参数法可得；
（2）利用导数得函数单调性，由单调性证明不等式即可；
（3）利用（2）结论，逐个赋值后累加法可证．
【详解】（1）对恒成立，即对恒成立．
因为，则．
（2），只需证明．
令，
，
则在单调递减，则，
又，则，即成立，得证．
（3）由（2）知，令，
则有，
即，
，
，
…，
，
累加可得，
故，从而命题得证．
题型十一：老高考压轴型导数题
1．（【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数，曲线处的切线斜率为0
求b;若存在使得，求a的取值范围．
【答案】（1）;（2）.
【详解】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第（1）小题中所求b，则函数完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以．（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，无解则不合题意．（ⅲ）若，则．综上，a的取值范围是.
试题解析：（1），
由题设知，解得.
（2）的定义域为，由（1）知，，
（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
所以.
（ⅱ）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增．
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．
（ⅲ）若，则.
综上，a的取值范围是.
考点：1．曲线的切线方程;2．导数在研究函数性质中的运用;3．分类讨论的应用
2．（【2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷））已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】（1）， （2）（-，0]
【详解】（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考虑函数，则．
(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
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