专题07 直线与圆（2考点+15题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

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对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
专题07 直线与圆
考点一：直线的方程
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq \f(π,2)的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3、直线方程的五种形式
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
1．（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，，所以直线斜率，
又，所以，故选：A
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为直线，的倾斜角分别为，，所以，
若，则，
若，则都不存在，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
3．（23-24高三上·湖南衡阳·模拟测试）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，
又，，故的取值范围是．故选：C
4．（23-24高三上·河南焦作·期末）（多选）已知直线l经过点，．则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的斜率是
B．直线l的倾斜角是
C．直线l的方向向量与向量平行
D．直线l的法向量与向量平行
【答案】AD
【解析】A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确；
B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；
C：直线l的一个方向向量为，因为，
所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误；
D：直线l的一个法向量为，因为，
所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确．故选：AD
【题型2 直线的方程】
1．（23-24高三下·浙江·开学考试）直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由抛物线的焦点为，
又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，
将点代入，可得，所以直线的长为．故选：A.
2．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线与轴相交于点,令得
由题知且直线的斜率得
易知点在直线上,根据点斜式得即．故选：C.
3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线，
得：，即恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数
所以，
则，，
当且仅当时取等号；故选：B
【题型3 两条直线的位置关系】
1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，
代入直线方程得，解得，
所以直线的方程是．故选：C
2．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 .
【答案】
【解析】直线的斜率，所以直线方程为，即，
因为，所以，
3．（23-24高三下·安徽芜湖·月考）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件．故选：C
4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（ ）
A．6B．2C．D．
【答案】A
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得，
所以原直线为，
又因为垂足在两直线上，
所以代入得，解得，
所以．故选：A
【题型4 距离公式的应用】
1．（23-24高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由直线化为，
令，解得，于是此直线恒过点．
设点P关于直线的对称点为，
则，解得，∴．
2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 .
【答案】或
【解析】直线交轴于点，交轴于点，
设直线的方程为，
则关于直线的对称点在轴上，所以，
则的中点在直线上，所以①，
又②，联立①②可得或，
所以直线的方程为或.
3．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为：，：，
所以它们之间的距离为．故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，解得，
所以，故两平行直线间的距离．故选：C．
【题型5 直线的对称问题】
1．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：．故选：A
2．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，故选：C.
3．（22-23高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= .
【答案】
【解析】直线过点，
点关于直线对称点为，
依题意可知点在直线上，
所以.
4．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A．B．1C．5D．
【答案】D
【解析】因为，故其对应的点为，该点关于直线对称的点为，
该点对应的复数为，故 ，故选：D.
【题型6 与直线有关的最值问题】
1．（2024·山西运城·一模）直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线的方程可化为，由可得，
对于直线，由可得，
所以，直线过定点，直线过定点，
又因为，则，即，
则，，
所以，，所以，，
当，，点不在直线上，
所以，点的轨迹是曲线，
设可得，
由题意可知，直线与曲线有公共点，
且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得，
，时，；当，时，.
因此，的取值范围是．故选：B.
2．（2024·甘肃定西·一模）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】BC
【解析】设，
易知点的轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，
对于AB，，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以的最小值是，故C正确，D错误．故选：BC.
3．（2023·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和．
过作轴，过点作轴，显然有，
当且仅当三点共线时，和有最小值．
则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置．
因为，所以的最小值为．故选：B．
4．（2023·天津·二模）在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 .
【答案】；
【解析】由向量在向量上的投影向量为，
得向量在向量上的投影向量的模为，所以，
又因角为锐角，所以，
如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，
则，
在上取，使得，则，
在上取点使得，
则，
直线的方程为，设点关于直线的对称点，
则，解得，所以，
则，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
考点二：圆的方程
知识点1 圆的方程
1、圆的定义及方程
2、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
3、二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点2 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①eq \x(代数法)eq \(――――――――――――――――→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\d7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))
②eq \x(几何法)eq \(――――――――――――→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\d7(半径为r))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3、圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
知识点3 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
【题型1 圆的标准方程与一般方程】
1．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设经过，，三个点的圆的方程为，
由题意可得，解得，
且满足，
所以经过，，三个点的圆的方程为，即为．故选：C.
2．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 .
【答案】
【解析】设圆的一般式方程为：，
因为圆经过点,
所以,解得，
所以圆的一般式方程为：.
3．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，
则有，解得，
故该圆方程为．故选：D.
4．（23-24高三下·云南昆明·月考）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圆化成标准方程为，
点在圆O外，则有，
即，解得或．故选：D．
【题型2 求与圆有关的轨迹问题】
1．（2024·广东湛江·二模）若复数的实部为，则点的轨迹是（ ）
A．直径为2的圆B．实轴长为2的双曲线
C．直径为1的圆D．虚轴长为2的双曲线
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
所以点的轨迹是直径为2的圆．故选：A.
2．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．圆
【答案】D
【解析】设点，点，
则，.
由可得：，即.
所以点的轨迹为圆．故选：D
3．（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】．
【解析】设，则，
设，由为的角平分线，
可得，即有，
可得,，即，，
可得，，
则，即为．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ．
【答案】.
【解析】设，则由可得，化简得.
【题型3 直线与圆的位置关系处理】
1．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
【答案】D
【解析】根据题意，直线的方程为，恒过定点，
设为，又由圆，即，
其圆心为，半径，
由，则在圆上，
则直线与圆相交或相切．故选：D．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆即，
则圆圆心为，半径为，
因为直线与圆相离
所以，解得．故选：B.
3．（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
设与直线平行且距离为2的直线方程为，
则，解得，直
线，，
点到直线的距离，
到直线的距离，
由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，
得圆与直线相交，且与直线相离，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为．故选：A
4．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ．
【答案】或
【解析】设点，由可得：，
两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.
若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1，
则圆心到直线的距离，解得．
【题型4 直线与圆相交的弦长和面积问题】
1．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
2．（23-24高三下·重庆九龙坡·月考）若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理得，，解得．故选：B.
3．（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或.
【答案】C
【解析】当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，
中令得，解得，
故此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，又，
，解得，
则直线的方程为，即，
综上可知直线的方程为或．故选：C.
4．（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ，
【答案】0或
【解析】由圆得：圆心，圆的半径，
因为，
所以当的面积最大时，，此时，
则为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得或.
【题型5 直线与圆相切时的相关问题】
1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得．故选：B.
2．（23-24高三下·安徽芜湖·月考）已知直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】由直线与圆相切，得，解得，
所以实数的值为．故选：B
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆的半径为，过直线上的动点作圆的切线，切线长始终相等，则圆的标准方程为 ．
【答案】或
【解析】设，切线长，
由已知可知两圆的半径分别为，
所以，
化简得，
由题意知，上式恒成立，
又，
所以，解之得或，
则圆的标准方程为或.
4．（2024·山西晋中·模拟预测）（多选）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．B．点的坐标为
C．的方程可以是D．的方程可以是
【答案】BCD
【解析】圆圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，
则切线长的最小值为，故A错误；
设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得，
所以，由，解得，所以，故B正确；
显然过点的切线的斜率存在，
设切线的方程为，则，解得或，
所以切线的方程为或，故CD正确．故选：BCD
【题型6 两圆公共弦的长度与所在的直线方程】
1．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
显然，因此圆相交，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆与圆交于A，B两点，
则直线的方程即为两圆相减，可得，
且圆，半径为，
到直线的距离，
所以．故选：C
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（ ）
A．0B．±1C．±2D．
【答案】C
【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，
，因为，所以，
所以，解得．故选：C
4．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
【答案】C
【解析】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.
当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，
而圆与圆内切等价于，即，即，
同理，圆与圆内切也等价于；
当时，在圆外，
故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
即和，即和.
所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.
下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，
因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；
若，则圆与圆外切，圆与圆内切．
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，
而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；
若，则，此时“圆与圆外切”等价于，
而根据双曲线定义，对应的轨迹为，
仅仅是双曲线的半支，D错误．故选：C.
【题型7 根据圆与圆的位置关系求参数的值或范围】
1．（23-24高三下·四川巴中·月考）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，
又与的图形关于直线对称，
设上一点，该点关于直线对称的对称点为，
则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为，
所以，解得，即，
代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图，
易知与的公切线，所以，结合图，设，
所以点到直线的距离为，解得，
所以与的公切线为．故选：B
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】圆化为标准方程得，则圆心，半径，
圆化为标准方程得，则，半径，
因为两圆相交，所以，
即，解得（舍去），
所以实数的取值范围为.
3．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆：的标准方程为，圆心，半径，
圆：的标准方程为，圆心，半径，
因为两圆外切，所以，即，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，所以的最大值为.
4．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
【答案】10
【解析】的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
两圆外切，则，即，故，
又，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为10.
【题型8 求与圆有关的最值问题】
1．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.
2．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆，
圆心为，半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，的最小值为：，
所以的取值范围是．故选：A.
3．（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34B．40C．44D．48
【答案】B
【解析】设，则，
即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，
又，
即．故选：B.
4．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由直线，可得化为，可得直线恒过定点，
同理可得直线恒过定点，
可得，则，所以，
因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为，
又因为恒成立，可得恒成立，
即恒成立，所以，即，
又由，且直线的方程为，
可得原点到直线的距离为，
所以在直线上存在两个点满足或三点共线，
如图所示，可得，
所以的最小值为．故选：D.
【题型9 隐形圆在解题中的妙用】
1．（2023·河南·三模）直线：与：交于点P，圆C：上有两动点A，B，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线：，：，则，
又的方程可化为，所以过定点，
的方程可化为，所以过定点，
所以点的轨迹是以为直径的圆(去除，
其方程为，
其圆心,半径，
作,则为的中点，
根据勾股定理易求得,
如图所示，当在同一条直线上时最小，
又，，
故的最小值为，故选：B.
2．（2024·江苏徐州·一模）已知点，，若，则点P到直线距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】设点，则，由，得，
即，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及内部，
点到直线的距离，
所以点P到直线距离的最小值为.
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆，
因，故圆.
依题意知圆与圆必至少有一个公共点．
因，则，
由，解得：．故选：B.
4．（2024·北京·模拟预测）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，
则条件等价于圆心（设为D）在直线上
且半径为的动圆与圆有交点，
圆的圆心为
到直线的距离，
当圆与直线相离时，即时，
则圆上的动点到直线的最小距离为，
此时只需满足即可，所以；
当时，圆与直线有交点，
此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意．
综上，. 故选：C.形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直线
直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
容易误解截距和距离的关系，截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。
求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
1、在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
2、对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(0，在此条件下，再根据其他条件求解．
求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB| (其中k≠0)．
特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，
直线与圆相切时的切线问题
1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。
（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；
（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况
【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。
2、求过圆上一点的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率，
若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；
若，则结课图形可直接写出切线方程；
若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。
法二：若不存在，验证是否成立；
若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。
3、过圆外一点的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；
法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。
1、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2、求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
1、判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：
（1）化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
（2）计算两圆圆心的距离；
（3）通过，，的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2、应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
1、圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值
2、圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
3、切线长度最值问题
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
4、过圆内定点的弦长最值
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦．
5、利用代数法的几何意义求最值
（1）形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；
（2）形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题；
（3）形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
隐圆一般有如下呈现方式：
（1）定点定长：当同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；
（2）定弦定角：当动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆；
（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。