专题01 集合、复数、不等式与常用逻辑用语-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

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2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
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对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
专题01 集合、复数、不等式与常用逻辑用语
考点一：集合
知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
知识点2 集合间的基本关系
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【题型1 元素与集合的关系及应用】
1．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知,对比选项知，正确,错误故选:
2．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或．故选：C.
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，则 .
【答案】
【解析】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
4．（23-24高三上·陕西·期中）已知集合，若，则（ ）
A．1B．C．1或D．0
【答案】B
【解析】若，则或.
当时，，不符合元素的互异性；
当时，，符合题意．故选：B．
5．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由且，得所以.
【题型2 子集（真子集）的个数问题】
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．故选：C
2．（2024·湖南邵阳·二模）若集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A．14B．15C．16D．31
【答案】B
【解析】由,得，故；
由，得，故，
则，故的真子集个数为．故选：B.
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以．故选：A．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由可得，解得，
因为，则且，
因为的真子集的个数为，设的元素个数为，则，解得，
因为，则，所以，，解得,
因此，实数的取值范围是.
5．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合，，则的子集个数为 .
【答案】4
【解析】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合．
圆的圆心坐标为，半径为3，
点到直线的距离为,
所以直线与圆相交，
所以共有2个元素，所以的子集个数为.
【题型3 根据集合之间的关系求参数】
1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：．故选：B.
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
【答案】
【解析】由题意，所以或，则或，
所以实数的取值集合为.
3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合，，若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，即，解得，所以，
又且，所以或，故符合题意的只有B选项．故选：B
4．（2024·山东济宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】集合，
又，且，
故可得，即，解得.
5．（2024·江西鹰潭·一模）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以或，
因为集合，，所以，故选：A.
【题型4 集合的交并补运算】
1．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，
所以，．故选：A．
3．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式，解得，则，
所以．故选：D
4．（2024·内蒙古包头·一模）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
则，所以．故选：A
5．（2024·湖北·二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，得，即，
，得，即，，
所以．故选：B
【题型5 根据集合的运算结果求参数】
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，根据元素的互异性可知，；
当时，，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.
2．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为中有且仅有两个元素，
则，，
所以，解得，且．故选：D.
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由集合，，可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：C.
4．（22-23高三上·山西·阶段练习）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【解析】由集合或，得，
又集合且，则2或，即或．故选：B.
5．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得，故，
因为，所以，故的取值范围是.
【题型6 集合的新定义问题】
1．（2023·广东·二模）若集合，，定义集合且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，则，
又且，则．故选：C
2．（23-24高三下·河北·开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为，所以，解得，即，
所以全集，
由可得，所以，
则集合A关于集合U的正交集合B的个数为．故选：B.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ．
【答案】；22
【解析】当时，表示有2个元素的集合，，
因为，且有2个元素，所以或或，所以；
由题中定义可知：，
于是由
，
而，即，
又因为，所以m的最大值为.
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）不存在，使得成立；（3）
【解析】（1）由题意可得，，，所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，
此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，
此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则称集合为集合的“集”．
（1）若集合，求的“集”；
（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
（3）若存在“集”，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】（1）若，由题意可得，，，，即，
此时，满足题意，
假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立；
若，则，∴或9或27，矛盾．故集合中无四个元素，所以集合.
（2）设集合，不妨设，
假设，即，则且，
由②知，注意到，故有，即，所以，
故，即，因为集合中有4个元素，故设，
由②可得：若，则，∴，矛盾；
若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故.
（3），，不妨设，
所以，，又，故，同理可得，
若，与（2）类似得，从而必有，
对任意的，有，即，所以，即.
若，即，，故，，，，
所以，即，从而必有，
对任意的，必有，即，所以，即.
综上，得，又时，有，符合题意，
所以的最大值为4
考点二：复数的概念与运算
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
3、复数的有关概念
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
（2）eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定：其中在0≤θ0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
【题型1 不等式的性质应用】
1．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于AC，当时，，
所以，故A正确，C错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于D，，
因为，所以，故D错误．故选：A.
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）（多选）已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】时，由函数在上单调递增，有，
即，移项得，故A选项正确；
由基本不等式，时，，
因为，等号不成立，所以，故B选项正确；
若，，则，故C选项正确；
若，则，不一定成立，
如，，满足且，不成立，故D选项错误．
故选：ABC．
3．（2024·福建龙岩·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，则，而，
此时两者相等，故D错误．故选：AC.
4．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
【答案】2
【解析】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
5．（23-24高三下·江西·开学考试）定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ．
【答案】
【解析】设，，，且，则，，，
所以，，
若，则，故，
设，因此，，故，即，
若，则，即，
则，故，当且仅当时，等号成立，
综上所述，的最小值为.
【题型2 解一元二次不等式】
1．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为．故选：D.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
【答案】CD
【解析】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确．故选：CD.
3．（23-24高三·广东广州·模拟预测）（多选）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，
故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，
约分可得，解集为或，故D正确；故选：ABD
4．（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 .
【答案】
【解析】关于的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
5．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】；或1625
【解析】不等式等价于不等式．
当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，
则50个整数解为，，…，5，6，
所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，
这50个整数元素之和为．
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．
【题型3 一元二次不等式恒成立有解问题】
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：．故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当，即时，不等式为对一切恒成立．
当时，需满足，
即，解得.
综上可知，实数a的取值范围是．故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则，解得．
综上：实数的取值范围是．
（2）方法一：由得：，即.
因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
当时，函数在上取得最小值，最小值为，
所以只需即可，所以的取值范围是．
方法二：由，得，即.
令，
当时，在上是增函数，
则，解得，所以；
当时，恒成立；
当时，在上是减函数，
则，解得，所以．
综上所述，的取值范围是．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
【答案】
【解析】因为对任意，
所以必须满足，即，
由，得，解得，①，
再由，得，解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，
则的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对.
5．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，
，
则，
则恒成立可化为恒成立，
即恒成立，故，
设，
易知在时递减，在时递增，
所以，
而显然在时单调递增，所以，
故，当且仅当时，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
【题型4 利用基本不等式求最值】
1．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等．故选：C.
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】由于，所以，
由,
（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，故选：D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【答案】
【解析】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
5．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AC
【解析】
如图：，，，，
则由题意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，当且仅当即时等号成立，故A正确，
又，
故，，
故，当且仅当时等号成立，故C正确，
因，，
最后等号成立条件为，所以，故B错误，
，
所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误，故选：AC
【题型5 基本不等式恒成立及有解问题】
1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.
因为当时，不等式恒成立，所以．故选：D.
2．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，
所以
，
所以
，
等号成立当且仅当，所以，，
故实数a的取值范围是.
3．（22-23高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【解析】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．故选：D
4．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解析依题意知，，
结合，知，
不等式转化为，须.
设，由，知，
设，
当且仅当，即，时等号成立，
因此实数的取值范围是．故选：A
5．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．故选：A.
考点四：常用逻辑用语
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
2、充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
知识点2 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．故选：B
2．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确．
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选：C
3．（23-24高三·江西赣州·模拟预测）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，解得或，故，
因为是的一个充分不必要条件，
写出一个范围比小的即可，故.
4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，
，即，
，即，则充分性成立；
若且，
当时，，
当时，，则必要性成立；
综上所述：“”是“，且”的充分必要条件．故选：C.
5．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，二次不等式的解集为，
则等价于，即，即，
当时，不能推出，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，故选：A
【题型2 根据充分性、必要性求参数】
1．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】甲：，设此范围对应集合；
由，则乙：，
设此范围对应集合，
若甲是乙的必要不充分条件，则，其中必不成立；
则，所以．故选：A.
2．（2023·四川甘孜·一模）设．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，
若是的充分不必要条件，则，解得，，故选：A.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题，，，
当时，有，符合题意；
当时，有，此时，所以或，所以.
综上，实数的所有可能的取值组成的集合为．故选：A.
4．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由可得，则，解得，即，
若是的充分条件，则是的子集，
可得，所以实数的取值范围是.
5．（23-24高三·浙江温州·模拟预测）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以是的一个真子集，
则，即实数a的取值范围是.
【题型3 含有一个量词的命题的否定】
1．（2024·山西·模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
【答案】C
【解析】依题意全称量词命题“，”的否定为：
存在量词命题“，”．故选：C
2．（2024·广西南宁·一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知命题为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，故选：A
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：
命题“，，”的否定形式是“，，”．故选：C
4．（2020高二下·山东·学业考试）命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是（ ）
A．所有奇数都是2的倍数B．存在一个偶数是2的倍数
C．所有偶数都不是2的倍数D．存在一个偶数不是2的倍数
【答案】D
【解析】命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是：存在一个偶数不是2的倍数．故选：D
5．（23-24高三·河南信阳·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为：
存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解．故选：D.
【题型4 根据全称、存在量词的真假求参数】
1．（2024·福建漳州·模拟预测）若，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，为真命题，则.
因为在上的最小值为，所以，故选：D.
2．（2024高三上·广东中山·调研）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为，故选：C
3．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题“任意，”为真命题，则，
设，，，当时，等号成立，
由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增，
，，所以，即，
所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为.
4．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“”是真命题．
令，则 解得，
故实数的最大值为
5．（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，为假命题，
则，为真命题，
当时，的图象的对称轴为，
此时其最大值为，则；
又，为真命题，
即，即得，
综合可得的取值范围为，故选：A集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（则）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键，求解过程中务必注意：用描述法表示的集合，要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合。如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
注意：空集是集合的子集，也是非空集合的真子集；集合是它自身的子集。
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．
常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先"简"后"算"：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，如区分数集与点集等．
（2)遵“规“守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素．（3)借“形”助“数"：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围．法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验．
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。
常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
= 1 \* GB3 ①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在。
②用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
1、对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0；
2、两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于。
1、复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。
2、求复数标准代数式形式的两种方法
（1）直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
（2）待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
3、乘方：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
共轭复数问题的求解技巧
1、求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算；
2、已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。
复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离．
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
（1）定义：向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
同向
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，cd⇒a＋c>b＋d
同向
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
7
正数乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象
方程
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x10 (a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，bx同号．
2、在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤：
（1）确定命题所含量词的类型，改写量词，对于省去了量词的命题，要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；（2）否定结论，对原命题的结论进行否定．
根据命题的真假求参数取值范围的策略（1）全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题；（2）①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列出关于参数的不等式（组）求解．