辽宁省辽阳市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意；
C、∵，当时，不等式不成立，故选项不成立，不符合题意；
D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解定义．直接利用“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”，分析得出答案．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故本选项不符合题意；
B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】点关于原点对称的点的坐标为；
故选：A．
【点睛】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是关键．
5. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据第二象限内点的特征，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解，
本题考查了，点的坐标，求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，解得：，
故选：．
6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A. 两个锐角都大于B. 两个锐角都小于
C. 两个锐角都不大于D. 两个锐角都等于
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
7. 若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A. a＜2B. a≤2C. a＞2D. a≥2
【答案】D
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.
【详解】，
由①得，
由②得，
又不等式组的解集是x＞a，
根据同大取大求解集的原则，∴，
当时，也满足不等式的解集为，
∴，故选D.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
8. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为（ ）．

A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，过点作于点，根据题意，则，根据的面积为，则，求出，即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示：

∵是的角平分线，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移．直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：点的对应点为，
线段是由线段先向右平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
而点的对应点为，
点的坐标为．
故选：B．
10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数．解此题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质．
根据“等腰三角形的周长=底边长+2×腰长”列出函数解析式， 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围．
【详解】由题意得，，
∴，
由三角形的三边关系得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∴正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．
故选：D．
第二部分 非选择题(共90分)
二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可解得答案．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的简便计算，解答此类问题的关键是熟知公式和分析题目的形式，有效地进行整式变形．
12. 若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】关键不等式的性质，解答即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】关于x的不等式的解集为 ，
故，
解得，
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数的图象经过，
∴时，，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 某品牌电热水壶的进价为每个200元，以每个300元的标价山售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可按标价的______折出售．

【答案】7
【解析】
【分析】设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．
【详解】解：设按标价的x折出售
由题意得：
解得：
最低可按标价的7折出售
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___．

【答案】2或3或5
【解析】
【分析】分三种情况，当分别经过、、的中点时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F．
当经过的中点D时，交于点G，如图：，

∵绕点P顺时针旋转得线段，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
当经过的中点E时，交于点G，如图：，

∵，垂直，
∴，
∴，
在中，，设，则，
由题意可得：，即
∴，
∴，
∵点G在上，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得：；
当经过的中点F时，交于点F（G），如图：，

同理可证：，
中，，，
∴．
综上：的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解．
三.解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 分解因式或解不等式 （组）：
（1）
（2）
（3）
（4）解不等式组 并写出其整数解．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解集为，整数解为0、1、2
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解不等式（组），解题的关键是：
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用平方差和完全平方公式因式分解即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（4）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解∶ 原式
【小问2详解】
解：原式

【小问3详解】
解：，
，
，
，
∴；
【小问4详解】
解：由得∶，
由 得∶，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为0、1、2．
17. 如图，已知点、、的坐标分别为、、．
（1）将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______
（2）将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______
（3）将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______
【答案】（1）图见详解，
（2）图见详解，
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）连接，交于点，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，△即为所求；
∴；
【小问2详解】
解：如图，△即为所求；
∴；
【小问3详解】
解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标．
故答案为：．
18. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）平分，， ，
，；
在和中，
，
，
；
（2）平分，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
（2）该校最多可以购买甲种书40本
【解析】
【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．
【小问1详解】
解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
【小问2详解】
解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
20. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质得到，进而证明，再由三线合一定理即可证明；
（2）设，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质推出，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
垂直平分，
，
又，
，
是的中点，
；
【小问2详解】
解：设，
，
，
由三角形的外角的性质，，
，
在△中，，
解得6，
．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
21. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为t小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1， y2关于t的函数表达式；
（2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同；
（3）根据（2）的计算结果，结合图像，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算．
【答案】（1）y1=15t+80，y2=30t
（2）t=
（3）当t＜时，选择方案二； 当t=时，任意选择其中的一个；当t＞时，选择方案一
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于t的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，求出t即可；
（3）当y1=y2时；当y1＞y2时；当y1＜y2时，分别求得t的取值范围即可得出方案．
【小问1详解】
解：设y1=k1t+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，
∴y1=15t+80（t≥0）；
设y2=k2t，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，
∴y2=30t（t≥0）；
小问2详解】
解：当y1=y2时，15t+80=30t，
解得t=，
则当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同；
【小问3详解】
解：当y1=y2时，t=；
当y1＞y2时，15t+80＞30t，解得t＜；
当y1＜y2时，15t+80＜30t，解得t＞；
∴当租车时间为小时时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时时，选择甲公司合算．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数解析式y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数解析式y=kx+b，则需要两组x，y的值．
22. 阅读理解并解答：
我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：
∵是非负数， 即
则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是；
，
是非负数，即
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2
【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若 求的最小值．
【答案】（1）3，3；（2）1，大，；（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由题意得，则，即可求解．
【详解】解：（1），
∵是非负数， 即，
∴，
∴当时， 代数式 的最小值是3，
故答案为：3，3；
（2）
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：1，大，；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 的最小值是．
23. 如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E．
【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证：
【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据是的角平分线，可得，再根据所对直角边是斜边的一半，得出，利用勾股定理可求出，同理：，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得到，再根据证明，得出，则，即可得出结论；
（3）同（2）的方法得到，根据等量代换可得．
【详解】解∶ （1）是的角平分线，

，

，
，
在中， 设， 则，
由勾股定理得
同理：

（2）（1）中结论仍然成立，理由∶
如图2， 过点 C作于 F，于 G，
∴，
∵，
∴，
同（1）的方法得，

∵， ， 且点 C是的平分线上一点，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，

(3)结论为∶
理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G，
∴，


同（1）的方法得，

∵， ， 且点 C是的平分线上一点，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，