河南省南阳市唐河县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列为一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元一次方程定义进行解答即可．
【详解】解：A．不是方程，故此选项不符合题意；
B．方程含有二个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．方程的左边不是整式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．方程是一元一次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程．只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．解题的关键是理解和掌握一元一次方程的定义．
2. 若，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质，不等式的性质1是：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2是：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3是：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而根据数轴表示解集即可求解．
【详解】去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
解集表示在数轴上，
故选：D．
4. 已知是方程组的解，则的值是（ ）
A. ﹣1B. 1C. ﹣5D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程组，可得关于a、b的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】将代入，
可得：，
两式相加：，
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.
5. 下面是某位同学解方程的解题过程，该解题过程最先出现错误的步骤是（ ）
A. 第一步B. 第二步C. 第三步D. 第四步
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．根据去分母解一元一次方程的步骤即可得到答案．
【详解】解：去分母，等式两边同时乘以，
得，
故最开始出现错误的步骤是第一步．
故选：A．
6. 用加减消元法解方程组时，有如下四种解法，甲：，乙：，丙：，丁：：其中不能完成“消元”的是（ ）
A 只有甲B. 乙和丙C. 丁和乙D. 丙和丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法进行计算即可求解．
【详解】解：
甲：，得不能消元，符合题意；
乙：，得能消去，不合题意；
丙：，得，能消去，不合题意；
丁：：得，能消去，不合题意；
故选：A．
7. 对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：
故选：C．
8. 我国元朝的数学著作《算学启蒙》记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，两马同地出发，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：良马每天跑里，驽马每天跑里． 良马和驽马从同地出发，驽马先走天，问良马追上驽马的时间为多少天？若设良马追上驽马的时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设良马追上驽马的时间为x天，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设良马x天可以追上驽马，
依题意，得：240x=150（x+12）．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9. 不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A. m≤4B. m＜4C. m≥4D. m＞4
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可得答案．
【详解】解不等式（x+2）﹣3＞0，得：x＞4，
∵不等式组的解集为x＞4，x>m，
∴m≤4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
10. 有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A. ②③⑤B. ①④⑤C. ①③⑤D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据总人数相同列出方程，根据车数相同列出方程，进行判断即可．
【详解】解：根据总人数相同，可得：；；
根据车数相同，可得：；
综上：正确的是：①③⑤；
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个解为的一元一次不等式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】只要满足解集为x＞2即可，答案不唯一，如x-2＞0，2x-4＞0等．
【详解】由不等式的性质得，2x−4>0等，答案不唯一.
故答案为.
【点睛】考查不等式的性质，熟练掌握不等式的3个性质是解题的关键.
12. 方程与 的解相同，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个方程的解，再根据解相同建立方程，再求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵两个方程的解相同，
∴，
∴．
【点睛】本题考查求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
13. 若是关于、的二元一次方程的解，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】把代入方程得到，整体代入求出即可．
【详解】解：将代入，得，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是整我整体思想的运用．
14. 某晨光文具店以2元的进价购进一种某型号的中性笔，销售时标价为3元，为了扩大销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于35%，则至多可打____________折．
【答案】九
【解析】
【分析】设打折，得出售价为元，利润为（）元，再根据利润率不低于35%，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设打折，由题意可得：，解得：
故至多可打九折.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题目意思列出不等式是本题的关键，注意公式：利润率=利润÷成本×100%.
15. 幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值．根据题意正确的表示各数的等量关系是解题的关键．
如图，由题意知，，，，，，解得，，，，，，然后代入求值即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，，
解得，，，，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16. 解方程（组）：
（1）；
（2）解方程组．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方，二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键；
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解．
【小问1详解】
解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
【小问2详解】
解：由②：③，
将③代入①：，
解得：，
把代入③：，
∴原方程组的解是．
17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来：
【答案】-2≤x＜0，解集表示在数轴上解析.
【解析】
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定两个不等式解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得x<0，
由②得x≥-2，
所以-2≤x＜0；表示在数轴上如下图所示：
.
18. 已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将方程的解代入方程中求解限可；
（2）方法一：取k的两个特殊值，得到二元一次方程组，解之即可；方法二：将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得x+1=0，y-2=0，解之即可．
【小问1详解】
解：将代入方程得，
解得；
【小问2详解】
解法一：任取两个的值，不妨取，得到两个方程并组成方程组，
解得，
即这个方程的公共解是；
解法二：原方程可化为，当时，无论取任何一个不为0的值时，都有，
解得，，
即这个方程的公共解是．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题关键是理解什么是方程的解．
19. 阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或．
问题：已知关于x，y的方程组
（1）请你直接写出方程的一组正整数解：______；
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）．
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
（3）若方程组的解满足，求a的值．
【答案】（1）或（任意一组）； （2）B
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分式的值，解二元一次方程组；
（1）根据题意写出二元一次方程的正整数解，即可求解；
（2）根据题意得出，即可求解；
（3）根据题意联立，加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或（任意一组）；
【小问2详解】
∵为自然数，
∴或或或，
解得：共4个，
故选：B．
【小问3详解】
解：由，
∴，
把代入，得：
∴，
∴．
20. 在数轴上，点、分别表示数，，若点、点在数轴上位置如图：
（1）求的取值范围；
（2）如果点表示数为，当点在线段上，求的取值范围．
（3）已知关于的不等式有且仅有三个正整数解，则满足条件的的取值范围是______．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴比较大小，解一元一次不等式以及不等式组，根据不等式的解集求参数；
（1）根据数轴右边的数大于左边的数列出不等式，解不等式，即可求解；
（2）根据点C线段AB上得出不等式组，解不等式组，即可求解；
（3）解不等式得：，根据关于x的不等式有且仅有三个正整数解，得出 ，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
∵点B在点A右侧，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点C在线段AB上
∴
解①：；
解②：；
∴不等式组的解集为：
∴x的取值范围是
【小问3详解】
解不等式得：，
∵关于x的不等式有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴，
解得：．
21. 为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下：
（1）小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量；
（2）小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值．
【答案】（1）
（2）a的最大值为300．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用；
（1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，（元），
∵，
∴．
∵，
∴．
答：该月小李家的用电量为120度．
【小问2详解】
当时，，符合题意．
当时，
∴，
∴
∴，
∴a的最大值为300．
22. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”．
（1）方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________．
（2）若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值．
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【答案】（1）② （2），0
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【小问1详解】
解：解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
所以不等式组的关联方程是②；
【小问2详解】
解方程为整数）得：
解不等式组得：，
关于的方程为整数）是不等式组的一个关联方程，
，
解得
整数，0；
小问3详解】
解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
方程，都是关于的不等式组的关联方程，
，
即的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键．
23. 书店用1500元首次购进了甲、乙两种杂志，甲种杂志每本进价为18元，乙种杂志每本进价为15元，书店在销售时甲种杂志每本售价为26元，乙种杂志每本售价为20元，全部售完后共获利润600元．
（1）求书店购进甲、乙两种杂志各多少本？
（2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志数量是第一次的2倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售．当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于800元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元？
（3）某活动中心准备用280元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志单价是（1）的条件下的最低售价，在280元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
【答案】（1）购进甲、乙两种杂志各50本和40本；
（2）甲种杂志每本最低售价应为24元；
（3）方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本；方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程（组），一元一次不等式的应用；
（1）设购进甲、乙两种杂志各x本和y本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设甲种杂志每本最低售价应为m元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解；
（3） 依题意得出，进而得出，根据a、b为正整数，求整数解，即可求解．
【小问1详解】
解：设购进甲、乙两种杂志各x本和y本，
∴，
∴，
∴购进甲、乙两种杂志各50本和40本；
【小问2详解】
设甲种杂志每本最低售价应为m元，
∴，
∴，
∴甲种杂志每本最低售价应为24元．
【小问3详解】
设购买甲种杂志a本，乙种杂志b本，
则，
∴
∵a、b为正整数，
∴或
答：共有两种购买方案：
方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本；
方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本
解：去分母，得（第一步）
去括号，得（第二步）
移项、合并同类项，得(第三步)
系数化为1，得（第四步）
4
0
4
0
档次
月用电量x（度）
电价（元/度）
1档
2档
…
…
…