广东省广雅中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
2. 已知数列是公比不为1的等比数列，且，是与的等差中项，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设复数，其中，满足的不同复数有（ ）个
A. 21B. 28C. 37D. 41
4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 在平行四边形中，，，，为的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 设函数y＝xsin x＋cs x的图象上点P(t，f(t))处的切线斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是
A. B.
C D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 记为等差数列的前项和，公差，则下列表述一定正确的有（ ）
A. ，，成等差数列
B. ，，成等比数列
C. 若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则
D. 若，则当或时，取得最小值
10. 6名学生站成一排照相留念，其中男同学4名，女同学2名，则下面正确的有（ ）
A. 两位女生必须相邻的站法有120种
B. 两个女生不相邻的站法有480种
C. 有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个，则不同的分发方法有240种
D. 现有16个相同口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同发放方法有126种
11. 圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A. 以为直径的圆必与准线相切
B. 定值4
C. 设点，则周长的最小值为
D. 若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 数列满足，（），则数列通项公式是________.
13. 已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径________厘米.
14. 函数，，若，满足，则的最小值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值;
（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.
16. 如图，梯形中，已知，，，现将沿翻折成直二面角.
（1）证明：面；
（2）若直线与所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知数列满足，，设，其中.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，证明：.
18. 已知双曲线（，）的左右顶点为，，双曲线上一动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.

（1）求双曲线的方程；
（2）设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，.
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标.
19. 已知函数.
（1）当时，试求函数图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围.