广东省华附、省实，广雅、深中等四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（原卷及解析版）

华附、省实、广雅、深中2023届高二四校联考

数学

命题学校：广东广雅中学    定稿人：赖淑明、廖婉雁

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得.

【详解】解不等式得：或，即或，，

而，则，

所以.

故选：A

2. 若复数z满足，则z的虚部为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设复数，依据复数相等列出关于的方程组，解之即可求得z的虚部b.

【详解】设复数，由复数z满足

可得，即

则，解之得，即z的虚部为

故选：D

3. 向量，，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接由投影向量公式求解即可.

【详解】在上的投影向量为.

故选：D.

4. 为研究变量，的相关关系，收集得到下面五个样本数据：若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本数据是（    ）

A. （23，2.4） B. （25，3） C. （27，3） D. （30，4.6）

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件求出回归方程，然后逐个选项进行检验即可.

【详解】由表中数据可得，，

关于的经验回归方程为，可得，解得，

关于的经验回归方程为，

A.当x=23时，，即残差不为0，

B. 当x=25时，，即残差为0，

C. 当x=27时，，即残差不为0，

D. 当x=30时，，即残差不为0，

故选：B

5. 函数具有性质（    ）

A. 最大值为2，图象关于对称 B. 最大值为，图象关于对称

C. 最大值为2，图象关于直线对称 D. 最大值为，图象关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】根据辅助角公式将函数化简为，然后代入验证是否是对称轴和对称中心即可.

【详解】，故最大值为;

当时，，故图象关于直线对称，当时，，故不是函数的对称中心，

故选：D

6. 已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，设，利用距离公式求出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出切线长最小值；

【详解】解：圆的圆心为，半径，

因为为抛物线上的动点，设，

则，

所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；

故选：C

7. 已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将题设转化为和有3个交点，令，求导确定单调性，进而画出函数图象，结合图象即可求出a的取值范围.

【详解】

函数有三个零点，等价于即有三个根，即和有3个交点.

令，，当时，，单减；时，，单增；

则当时，取得极小值，当时，取得极大值，又时，，时，，

画出图象如图所示，结合图像可知，当，和有3个交点，即函数有三个零点.

故选：B.

8. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推关系，即可判断A,由基本不等式即可判断B,根据累加法以及放缩法即可判断C，根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D.

【详解】对取倒数得：，

对于A：，故A错误;

对于B:，故B错.

对于C:，故C正确.

对于D:记，则，当时，，故在上单调递增，因此，进而可得：，由该结论可得：，故

所以

，因此，，所以，故D错误.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 时，取得极大值 B. 时，取得最小值

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.

【详解】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；

由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.

故选：ACD.

10. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由指对幂函数的单调性及指对幂运算依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，由为增函数知，A正确；对于B，由在为增函数知，B正确；

对于C，取，则，则，C错误；

对于D，易得，则，则，D错误.

故选：AB.

11. 现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（    ）

A. 在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为

B. 两份报告表都是男士的概率为

C. 在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

D. 两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

【答案】AC

【解析】

【分析】由条件概率和全概率公式依次计算求解即可.

【详解】对于A，在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，A正确；

对于B，若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为；若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为；

则两份报告表都是男士的概率为，B错误；

对于C，在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，C正确；

对于D，若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；

若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各1份概率为；

则两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，D错误.

故选：AC.

12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（    ）

A. 若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1

B. 若双曲线C等轴双曲线，且，则

C. 若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为

D. 延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.

【详解】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，

则，又，则，A正确；

对于B，设，则，由A选项知，即，

又，，故，解得，即，B正确；

对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，

解得，代入可得，即，

解得，则C的离心率为，C错误；

对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，

则，又，可得，

则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，

则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，

，，在中，

可得，即，整理得，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数是__________．

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数；

【详解】解：因为，

其中展开式的通项为，则，，

所以展开式中的系数为；

故答案为：

14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑的外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，根据球的表面积公式可求其外接球表面积，

【详解】堑堵的外接球即为鳖臑外接球，又可将堑堵补成长方体，长方体的外接球即为堑堵的外接球，

长方体的外接球直径为，

所以鳖臑的外接球的半径为，

∴鳖臑的外接球表面积为．

故答案为：.

15. 写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．

①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先写出，再由奇函数的定义、解方程求零点以及求导确定单调性依次判断即可.

【详解】对于三次函数，显然定义域为R，，则为奇函数，满足①；

令，则，解得或，有3个不同的零点，满足②；

，当时，，则在上单调递减，满足③；故.

故答案为：（答案不唯一）.

16. 某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成．若元件1和元件2都正常工作，或元件3正常工作，则该部件正常工作．由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取2000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这2000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为__________台．

【答案】

【解析】

【详解】根据正态分布性质得，每个元件寿命超过小时的概率为，先求每个部件不能正常工作为，于是能正常工作的概率为，由于每个部件能否正常工作相互独立，于是这2000台仪器的部件可近似看作二项分布，根据二项分布的期望，使用寿命超过小时的有.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求数列的前12项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；

（2）利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得；

【小问1详解】

设等差数列中，首项为，公差为（），

由，，

所以，，

解得，所以；

【小问2详解】

解：因为，，

所以，，即，

，即

，即

，即

，即

，

所以

18. “云课堂”是一种完全突破时空限制的全方位互动学习模式．某地区教育部门随机抽取400名高一、高二学生对“云课堂”使用情况进行问卷调查，记Y表示喜欢，N表示不喜欢，统计结果部分数据如下两表格所示：

（表一）

（表二）

（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断能否依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级有关？

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在该地区高一学生和高二学生中各随机抽取4人，记事件A为“4名高一学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”，事件B为“4名高二学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”根据所给数据，估计与，并比较与的大小．

附：

【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；   

（2），，

【解析】

【分析】（1）先完善列联表，然后零假设，计算和比较，即可作出判断；

（2）先分别计算高一、高二学生喜欢“云课堂”的概率，再计算出与，比较大小即可.

【小问1详解】

列联表如下：

零假设为：“云课堂”使用情况与年级没有关系，根据列联表数据得，，

根据小概率值的独立性检验，推断成立，即依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；

【小问2详解】

由题意知，高一学生喜欢“云课堂”的概率为，高二学生喜欢“云课堂”的概率为，

则，，易得.

19. 设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，．

（1）证明：；

（2）若D是BC边上的中点，且，求的值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到；

（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得的值．

【小问1详解】

中，由，可得

则，则，整理得

即，又，则

【小问2详解】

中，D是BC边上的中点，且，则

则有，解之得

则

20. 四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【小问1详解】

证明：因为，，，

由余弦定理，

所以，则，所以，即，

又平面平面，平面平面，平面

所以平面，又平面，所以；

【小问2详解】

解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，

所以，，，

设平面的法向量为，所以，令，则，

设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为；

21. 已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为2，A、B为椭圆C的上、下顶点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P的直线l交椭圆C于M、N两点（不同于A、B两点），若直线AN与直线BM交于点Q，试问点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）   

（2）是定值，详见解析

【解析】

【分析】（1）先利用题给条件求得的值，进而求得椭圆C的方程；

（2）设出直线l的方程，并与椭圆C的方程联立，利用设而不求的方法求得直线AN与直线BM交点Q的纵坐标，化简整理即可求得点Q的纵坐标为定值.

【小问1详解】

椭圆的离心率为

则，则，，则椭圆方程可化为

又过C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2，

则点即点在椭圆C上

则，解之得，则

则椭圆C的方程为；

【小问2详解】

由题意可得，，过点P的直线斜率存在，

设直线l的方程为，令

由，整理得

则，即或

又直线的方程为，直线的方程为

由，可得

又，

则

则直线AN与直线BM交点Q的纵坐标为定值1

22. 已知函数，．

（1）若曲线在处的切线过原点，求a的值；

（2）当时，，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数几何意义列出关于a的方程，解之即可a的值；

（2）先构造函数，再利用导数证明，进而求得a的取值范围．

【小问1详解】

，则

则

又曲线在处切线过原点，

则，即，解之得

【小问2详解】

①当时，，

，则在上单调递减

又，则时，；时，

故时，不满足当时，不符合题意；

②由，可得

则

令，

要证，只需证

㈠当时，

由①知，

㈡当时，

令，

则，，在单调递减，在单调递增

，，

则，，使得

则当或时，当时

则在和单调递增，在单调递减

又由，

可得当时，；当时，

则在上单调递增；在上单调递减

又由，可得当时，

㈢当时，

则在上单调递增，又由，可得当时，

综上，当时，在上恒成立

则的取值范围是

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.