广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
2. 在等差数列中，，则值为（ ）
A. 15B. 20C. 30D. 40
3. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.7
4. 对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）
A. 卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立
B. 卡方的值可以为负值
C. 卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”
D. 列联表中的4个数据可为任何实数
5. 设为数列的前项和，且，则（ ）
A. B. 2024C. D. 0
6. 已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列中，，若函数的导数为，则（ ）
A 2B. C. D.
8. 已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得到部分分数，有选错的得0分.
9. 某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，以下结论中，正确的是（ ）

A. B.
C. D.
10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 为的一个周期
B. 在处取得极小值
C. 对，，
D. 在上有2个零点
11. 设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ）
A. 若函数具有性质，则导函数也具有性质
B 若具有性质，则
C. 若具有性质，且，则
D. 若函数具有性质且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等比数列的前项和.若，则__________.
13. 等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.
14. 已知实数，若函数有且仅有2个极值点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
（1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，.
（1）求证：平面ADE；
（2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.
17. 已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
18. 已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
19. 已知椭圆.
（1）若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
（2）设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
年收入（千元）
59
61
64
68
73