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中考05 数学规律观察猜想与探索大题综合2024年考前20天中考数学极限满分冲刺
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这是一份中考05 数学规律观察猜想与探索大题综合2024年考前20天中考数学极限满分冲刺，文件包含中考05数学规律观察猜想与探索大题综合原卷版docx、中考05数学规律观察猜想与探索大题综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
1．（2024·安徽池州·二模）观察下列式子：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索：
（1）仿照题意求解即可；
（2）观察可知，再分别去掉等式左右两边的括号进行证明即可.
【详解】（1）解：根据题意可得第4个等式为：；
故答案为：；
（2）解：规律：．
证明：左边，
右边，
左边右边，即.
2．（2024·安徽合肥·一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________；
(2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)34；
(2)不能，理由见解析
【分析】此题考查了图形变化规律的问题，能熟练运用归纳的方法从特殊到一般是解此题的关键．
（1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解；
（2）令第n个图形的代数式等于2024，求得n的值为正整数就能，否则就不能．
【详解】（1）解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子；
第二个图形有个黑色棋子；
第三个图形有个黑色棋子；
第四个图形有个黑色棋子；
⋯，
由此可得，第五个图形有个黑色棋子，
第n个图形有个黑色棋子；
故答案为：34；；
（2）解：不能；理由如下：
设第n个图形有2024颗黑色棋子，
由（1）可得，，
解得，，
∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案．
3．（2024·安徽滁州·一模）如图所示是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……依次递推．
(1)第3层有6个正方形和______个正三角形；
(2)第n层有6个正方形和______个正三角形（用含n的式子表示）；
(3)若第n层有6个正方形和2022个正三角形，求n的值．
【答案】(1)30；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找到正三角形个数的规律．
（1）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（2）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（3）根据题列式求解即可．
【详解】（1）解：第1层包括个正三角形，
第2层包括个正三角形，
∴第3层包括个正三角形；
（2）由（1）可得，
每一层比上一层多12个，
∴第n层中含有正三角形的个数是（个）．
（3）根据题意得，
解得．
4．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令，计算即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是；
∴第6个结构式的分子式是，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是，
故答案为：
（3）解：令，则，
∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物
5．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程：
（1）根据已有等式，推出结论即可；
（2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
6．（2024·安徽·二模）【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．
【规律发现】
第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……
（1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示）
【规律应用】
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．
【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析
【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律：
（1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可．
【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
……
第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
故答案为：；．
（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为．
为正整数，
，
每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
7．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程；
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中黄梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中红梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（3）根据题意得，
整理得，即，
解得（舍去）或．
8．（2024·安徽马鞍山·二模）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据等式的计算规律填空即可；
（2）利用等式的计算得出规律，再证明左边等于右边即可．
本题主要考查了整式的运算---整式规律，解题的关键是：通过观察发现式子变化的特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【详解】（1）解：，
故答案为：，
（2）解：猜想第个等式为：，
证明：
，
故答案为：．
9．（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．
(1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．
【答案】(1)23，48
(2)，
【分析】本题主要考查了根据图示寻找规律，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）依次数出，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长；
（2）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长．
【详解】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即，
时，正方形有13个，即，周长是28，即，
时，正方形有18个，即，周长是38，即，
时，正方形有23个，即，周长是48，即．
（2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是．
10．（2024·安徽合肥·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
(1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个；
(2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示）
(3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)19；46
(2)；
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查图形规律探究，一元一次方程的应用，根据所给图形总结出规律是解答本题的关键．
（1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论列方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
第①个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第②个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第③个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
，
所以第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个，
当时，
个，
个，
即第⑥个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（2）由（1）知，
第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（3）不能，理由：
∵，
解得，
∵n不是整数，
∴不存在某个图案中，白色正方形的个数能比黑色正方形的个数多2024．
11．（2024·安徽合肥·一模）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，…，按照此规律，请完成下列问题：
(1)第个结构式中原子的个数是__________；
(2)第个结构式中原子的个数是__________；（用含的代数式表示）
(3)是否存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中原子的个数；若不存在，请说明理由，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查图形的规律，
（1）由第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，…，可得第个结构式中原子的个数；
（2）总结规律即可得第个结构式中原子的个数；
（3）若存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成，可得，即可得该碳氢化合物中原子的个数；
解题关键是找出规律并正确应用．
【详解】（1）解：∵第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
…
∴第个结构式中原子的个数是：；
故答案为：；
（2）总结规律得第个结构式中H原子的个数是：；
故答案为：；
（3）若存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成，
则：，
解得：，
∴该碳氢化合物中原子的个数为．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为；
……
(1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
，
所以第个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
故答案为：，．
（2）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
13．（2024·安徽·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（1）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．
（2）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．（用含的代数式表示）
【规律应用】
（3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】（）；；（）；；（）不能，见解析．
【分析】（）找出数量上的变化规律即可求解；
（）找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论；
（）利用（）中得到的代数式列出方程可求解；
本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【详解】（）第一个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
第二个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
第三个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
∴第四个图形中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块，
故答案为：，；
（）第一个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
第二个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
第三个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
，
第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为，
故答案为：；；
（）由（）可知第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为，则白色方块的个数为，
∴由题意得，解得，
∵为正整数，
∴不符合题意，
故不能．
14．（2024·安徽蚌埠·一模）观察下列等式：
；
；
；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，并证明）．
【答案】(1)
(2)第n个等式为: ，证明见解析
【分析】此题考查了数字类规律题、因式分解的应用，读懂题意，找打规律是解题的关键．
（1）根据题目中的规律即可得到答案；
（2）根据题目中发现的规律即可得到答案，再进行计算证明即可．
【详解】（1）解：；
；
；
由题意可得，第6个等式为：；
故答案为：
（2）由题意可得，第n个等式为: ，证明如下：
∵，
∴等式成立．
故答案为：
15．（2024·安徽亳州·二模）观察下列各式：；；．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（）把代入被开方数中，根据已知等式的规律可得答案；
（）分析所给的等式的形式即可验证；
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2），
验证：左边，
，
，
，
，
左边右边．
16．（2024·安徽宿州·一模）观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查分式的规律性问题，异分母分式的加减法：
（1）根据上述等式可知，第一个乘数的分子是1，分母是等式的个数，第二个乘数的分子是分母的平方与1的差，等式右边被减数分子比分母大1，减数分子是1，分母是被减数分母与分子的积，据此写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式的规律，写出第个等式，并证明即可
【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：，
故答案为：
（2）解：猜想：，
证明如下：
等式左边，
等式右边，
∴等式左边=等式右边，
∴猜想成立
17．（2024·安徽马鞍山·一模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出第n个等式：__________（用含有n的等式表示）；
(3)利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律题、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可；
（2）根据（1）中的规律可得第个等式即可；
（3）将（1）（2）中发现的规律代入进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……
第个等式为：，
故答案为：；
（3）
．
18．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【详解】（1）解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
（2）解：猜想第个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．
19．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为，，…的等边三角形后，得到图④ 、⑤ 、⑥ …
(1)第5个图形中卡纸的周长______；
(2)记图中的卡纸的周长为，则______；
(3)若，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查图形的变化规律，等边三角形的性质，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．
（1）根据题意求出，，，，然后找到规律，进而求出即可；
（2）首先求出，，然后找到规律，进而求出即可；
（3）根据题意得到，得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
，
，
，
∴；
（2）根据题意得，
；
，
…
则
（3）∵
∴
∴
∴．
20．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)，
(2)，详见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．
（1）计算，根据上述等式规律可得；
（2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
；
故答案为：，；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数）
证明：
；
∴左边右边，
∴等式成立．
21．（2024·安徽宿州·二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含n的式子填空：
上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”.
第1个图案中“★”有个；“▲”有个；
第2个图案中“★”有个；“▲”有个；
第3个图案中“★”有个；“▲”有个；
第4个图案中“★”有个；“▲”有个；
……
第n个图案中“★”有________个，“▲”有________个；
【规律应用】
（2）在第2024个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个?
【答案】（1），；②2023个
【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案．
【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个；
第2个图案中“★”有个；“▲”有个；
第3个图案中“★”有个；“▲”有个；
第4个图案中“★”有个；“▲”有个；
……
第n个图案中“★”有个，“▲”有个；
故答案为：，
（2）第2024个图案中，“★”的数量为；（个），
“▲”的数量为：（个），
（个）
答：在第2024个图案中，“★”的数量比“▲”的数量多2023个．
22．（2024·安徽芜湖·二模）下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为．，第个数记为．
(1)根据这列数的规律，______，______；
(2)这列数中有66这个数吗？如果有，求；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)有66这个数，是第11个数．
【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程：
（1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值；
（2）当时，得一元二次方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
，
，
，
，
…，
∴，
∴当时，，
故答案为：36；．
（2）解：当时，即：，
整理得，
解得，（舍去）
所以，这列数中有66这个数，此时．
23．（2024·安徽滁州·一模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
(1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
(2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)第个图中小圆的个数恰好为个
【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第个图形有小圆个，
故答案为：．
（2）解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得
，（不符题意，舍去）
答：第个图中小圆的个数恰好为个．
24．（2024·安徽·三模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_____________________________；
(2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算和规律探索．
（1）仿照前面的等式即可解答；
（2）仿照前面的等式即可解答；
（3）利用（2）中的规律变形，再裂项计算即可．
【详解】（1）观察规律，可得：，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）原式
25．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．
【规律发现】
（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
【规律应用】
（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．
【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57
【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．
（1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解；
（2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解；
（3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解．
【详解】（1）解：第1图中黑子为1个，
第2个图中黑子为个，
第3个图中黑子为个，
第4个图中黑子为个，
第5个图中黑子为个；
第1图中白子为个，
第2个图中白子为个，
第3个图中白子为个，
第4个图中白子为个，
第5个图中白子为个；
故答案为：15，20．
（2）解：由（1）第n个图中黑子为个，
令为①式；为②式，则①+②得：，由n个，
∴，∴第n个图案中“●”的个数为；
由（1）得第n个图案“○”的个数为，
故答案为：，．
（3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13，
那么使用白子为个，黑子为个，剩余个，
故答案为：13，57．
1．（2024·安徽池州·二模）观察下列式子：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索：
（1）仿照题意求解即可；
（2）观察可知，再分别去掉等式左右两边的括号进行证明即可.
【详解】（1）解：根据题意可得第4个等式为：；
故答案为：；
（2）解：规律：．
证明：左边，
右边，
左边右边，即.
2．（2024·安徽合肥·一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________；
(2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)34；
(2)不能，理由见解析
【分析】此题考查了图形变化规律的问题，能熟练运用归纳的方法从特殊到一般是解此题的关键．
（1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解；
（2）令第n个图形的代数式等于2024，求得n的值为正整数就能，否则就不能．
【详解】（1）解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子；
第二个图形有个黑色棋子；
第三个图形有个黑色棋子；
第四个图形有个黑色棋子；
⋯，
由此可得，第五个图形有个黑色棋子，
第n个图形有个黑色棋子；
故答案为：34；；
（2）解：不能；理由如下：
设第n个图形有2024颗黑色棋子，
由（1）可得，，
解得，，
∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案．
3．（2024·安徽滁州·一模）如图所示是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……依次递推．
(1)第3层有6个正方形和______个正三角形；
(2)第n层有6个正方形和______个正三角形（用含n的式子表示）；
(3)若第n层有6个正方形和2022个正三角形，求n的值．
【答案】(1)30；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找到正三角形个数的规律．
（1）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（2）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（3）根据题列式求解即可．
【详解】（1）解：第1层包括个正三角形，
第2层包括个正三角形，
∴第3层包括个正三角形；
（2）由（1）可得，
每一层比上一层多12个，
∴第n层中含有正三角形的个数是（个）．
（3）根据题意得，
解得．
4．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令，计算即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是；
∴第6个结构式的分子式是，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是，
故答案为：
（3）解：令，则，
∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物
5．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程：
（1）根据已有等式，推出结论即可；
（2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
6．（2024·安徽·二模）【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．
【规律发现】
第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……
（1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示）
【规律应用】
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．
【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析
【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律：
（1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可．
【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
……
第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
故答案为：；．
（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为．
为正整数，
，
每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
7．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程；
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中黄梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中红梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（3）根据题意得，
整理得，即，
解得（舍去）或．
8．（2024·安徽马鞍山·二模）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据等式的计算规律填空即可；
（2）利用等式的计算得出规律，再证明左边等于右边即可．
本题主要考查了整式的运算---整式规律，解题的关键是：通过观察发现式子变化的特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【详解】（1）解：，
故答案为：，
（2）解：猜想第个等式为：，
证明：
，
故答案为：．
9．（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．
(1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．
【答案】(1)23，48
(2)，
【分析】本题主要考查了根据图示寻找规律，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）依次数出，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长；
（2）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长．
【详解】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即，
时，正方形有13个，即，周长是28，即，
时，正方形有18个，即，周长是38，即，
时，正方形有23个，即，周长是48，即．
（2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是．
10．（2024·安徽合肥·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
(1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个；
(2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示）
(3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)19；46
(2)；
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查图形规律探究，一元一次方程的应用，根据所给图形总结出规律是解答本题的关键．
（1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论列方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
第①个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第②个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第③个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
，
所以第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个，
当时，
个，
个，
即第⑥个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（2）由（1）知，
第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（3）不能，理由：
∵，
解得，
∵n不是整数，
∴不存在某个图案中，白色正方形的个数能比黑色正方形的个数多2024．
11．（2024·安徽合肥·一模）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，…，按照此规律，请完成下列问题：
(1)第个结构式中原子的个数是__________；
(2)第个结构式中原子的个数是__________；（用含的代数式表示）
(3)是否存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中原子的个数；若不存在，请说明理由，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查图形的规律，
（1）由第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，…，可得第个结构式中原子的个数；
（2）总结规律即可得第个结构式中原子的个数；
（3）若存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成，可得，即可得该碳氢化合物中原子的个数；
解题关键是找出规律并正确应用．
【详解】（1）解：∵第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
第个结构式中有个和个，
…
∴第个结构式中原子的个数是：；
故答案为：；
（2）总结规律得第个结构式中H原子的个数是：；
故答案为：；
（3）若存在一个碳氢化合物恰好由个原子组成，
则：，
解得：，
∴该碳氢化合物中原子的个数为．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为；
……
(1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
，
所以第个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
故答案为：，．
（2）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
13．（2024·安徽·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（1）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．
（2）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．（用含的代数式表示）
【规律应用】
（3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】（）；；（）；；（）不能，见解析．
【分析】（）找出数量上的变化规律即可求解；
（）找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论；
（）利用（）中得到的代数式列出方程可求解；
本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【详解】（）第一个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
第二个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
第三个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块；
∴第四个图形中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块，
故答案为：，；
（）第一个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
第二个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
第三个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块；
，
第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为，
故答案为：；；
（）由（）可知第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为，则白色方块的个数为，
∴由题意得，解得，
∵为正整数，
∴不符合题意，
故不能．
14．（2024·安徽蚌埠·一模）观察下列等式：
；
；
；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，并证明）．
【答案】(1)
(2)第n个等式为: ，证明见解析
【分析】此题考查了数字类规律题、因式分解的应用，读懂题意，找打规律是解题的关键．
（1）根据题目中的规律即可得到答案；
（2）根据题目中发现的规律即可得到答案，再进行计算证明即可．
【详解】（1）解：；
；
；
由题意可得，第6个等式为：；
故答案为：
（2）由题意可得，第n个等式为: ，证明如下：
∵，
∴等式成立．
故答案为：
15．（2024·安徽亳州·二模）观察下列各式：；；．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（）把代入被开方数中，根据已知等式的规律可得答案；
（）分析所给的等式的形式即可验证；
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2），
验证：左边，
，
，
，
，
左边右边．
16．（2024·安徽宿州·一模）观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查分式的规律性问题，异分母分式的加减法：
（1）根据上述等式可知，第一个乘数的分子是1，分母是等式的个数，第二个乘数的分子是分母的平方与1的差，等式右边被减数分子比分母大1，减数分子是1，分母是被减数分母与分子的积，据此写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式的规律，写出第个等式，并证明即可
【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：，
故答案为：
（2）解：猜想：，
证明如下：
等式左边，
等式右边，
∴等式左边=等式右边，
∴猜想成立
17．（2024·安徽马鞍山·一模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出第n个等式：__________（用含有n的等式表示）；
(3)利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律题、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可；
（2）根据（1）中的规律可得第个等式即可；
（3）将（1）（2）中发现的规律代入进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……
第个等式为：，
故答案为：；
（3）
．
18．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【详解】（1）解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
（2）解：猜想第个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．
19．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为，，…的等边三角形后，得到图④ 、⑤ 、⑥ …
(1)第5个图形中卡纸的周长______；
(2)记图中的卡纸的周长为，则______；
(3)若，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查图形的变化规律，等边三角形的性质，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．
（1）根据题意求出，，，，然后找到规律，进而求出即可；
（2）首先求出，，然后找到规律，进而求出即可；
（3）根据题意得到，得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
，
，
，
∴；
（2）根据题意得，
；
，
…
则
（3）∵
∴
∴
∴．
20．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)，
(2)，详见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．
（1）计算，根据上述等式规律可得；
（2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
；
故答案为：，；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数）
证明：
；
∴左边右边，
∴等式成立．
21．（2024·安徽宿州·二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含n的式子填空：
上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”.
第1个图案中“★”有个；“▲”有个；
第2个图案中“★”有个；“▲”有个；
第3个图案中“★”有个；“▲”有个；
第4个图案中“★”有个；“▲”有个；
……
第n个图案中“★”有________个，“▲”有________个；
【规律应用】
（2）在第2024个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个?
【答案】（1），；②2023个
【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案．
【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个；
第2个图案中“★”有个；“▲”有个；
第3个图案中“★”有个；“▲”有个；
第4个图案中“★”有个；“▲”有个；
……
第n个图案中“★”有个，“▲”有个；
故答案为：，
（2）第2024个图案中，“★”的数量为；（个），
“▲”的数量为：（个），
（个）
答：在第2024个图案中，“★”的数量比“▲”的数量多2023个．
22．（2024·安徽芜湖·二模）下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为．，第个数记为．
(1)根据这列数的规律，______，______；
(2)这列数中有66这个数吗？如果有，求；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)有66这个数，是第11个数．
【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程：
（1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值；
（2）当时，得一元二次方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
，
，
，
，
…，
∴，
∴当时，，
故答案为：36；．
（2）解：当时，即：，
整理得，
解得，（舍去）
所以，这列数中有66这个数，此时．
23．（2024·安徽滁州·一模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
(1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
(2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)第个图中小圆的个数恰好为个
【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第个图形有小圆个，
故答案为：．
（2）解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得
，（不符题意，舍去）
答：第个图中小圆的个数恰好为个．
24．（2024·安徽·三模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_____________________________；
(2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算和规律探索．
（1）仿照前面的等式即可解答；
（2）仿照前面的等式即可解答；
（3）利用（2）中的规律变形，再裂项计算即可．
【详解】（1）观察规律，可得：，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）原式
25．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．
【规律发现】
（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
【规律应用】
（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．
【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57
【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．
（1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解；
（2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解；
（3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解．
【详解】（1）解：第1图中黑子为1个，
第2个图中黑子为个，
第3个图中黑子为个，
第4个图中黑子为个，
第5个图中黑子为个；
第1图中白子为个，
第2个图中白子为个，
第3个图中白子为个，
第4个图中白子为个，
第5个图中白子为个；
故答案为：15，20．
（2）解：由（1）第n个图中黑子为个，
令为①式；为②式，则①+②得：，由n个，
∴，∴第n个图案中“●”的个数为；
由（1）得第n个图案“○”的个数为，
故答案为：，．
（3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13，
那么使用白子为个，黑子为个，剩余个，
故答案为：13，57．
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