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题型二 规律探索 类型一 数式规律（专题训练）-中考数学二轮复习满分冲刺题型突破（全国通用）
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这是一份题型二 规律探索 类型一 数式规律（专题训练）-中考数学二轮复习满分冲刺题型突破（全国通用），文件包含题型二规律探索类型一数式规律专题训练原卷版docx、题型二规律探索类型一数式规律专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
2.按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
3．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
4.已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【答案】C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
7.按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为： 故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
8.计算的结果是
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】
原式
=．故选B．
【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
9.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
A．0B．1C．7D．8
【答案】A
【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．
【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
10.一列数按某规律排列如下：，…，若第n个数为，则n=
A．50B．60C．62D．71
【答案】B
【解析】，…
可写为：，…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．
【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律
11.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去。故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
12.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．C、EB．E、FC．G、C、ED．E、C、F
【答案】D
【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
13.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
【答案】B
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题
14.已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
A．-7.5B．7.5C．5.5D．-5.5
【答案】A
【解析】∵a1=-2，∴a2=，a3=，a4==-2，…，
∴这个数列以-2，，依次循环，且-2++=-，
∵100÷3=33……1，∴a1+a2+…+a100=33×（-）-2=-=-7.5，故选A．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
15.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为=-1，-1的差倒数，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，依此类推，a2019的值是
A．5B．-C．D．
【答案】D
【解析】∵a1=5，a2=，a3=，a4==5，
……∴数列以5，-，三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a2019=a3=，故选D．
【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
16.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
17.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年
【答案】C
【分析】
根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．
【详解】
解：由图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，
，
∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，
此时mg，
故选C．
【点睛】
本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为，
第23个智慧优数为时，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
19．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
20．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
【答案】10
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
21．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
【答案】
【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
22.如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】
【分析】
根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】
解：点在直线上，点的横坐标为2，
点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；
,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，
，
按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．
23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
【答案】
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
24.如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】
先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
，即，
，即，
，即，
观察可知，点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
25．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
26.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．
【答案】3
【分析】
通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．
【详解】
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，
例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，
即：；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，
即：；
由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，
即空缺数为：3，
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．
27．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】∵A点坐标为，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕A点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．
∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得
故点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
28.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
29．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
【答案】 1024
【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.
【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；
第二行数的规律为，
∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，
∴，
故答案为：1024；．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
30.按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【解析】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
31.观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
32.观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】
【分析】
根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】
由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
33.观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解析】解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，
﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
34.对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．
【答案】16 58
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解．
【解析】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，
F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，
F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，
F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…
通过计算发现，F1（4）＝F8（4），
∵2019÷7＝288…3，∴F2019（4）＝F3（4）＝58；故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
35.观察下列一组数：
a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=__________．（用含n的式子表示）
【答案】
【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴an=，故答案为：．
【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
36.观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：．
（2），
证明：∵右边==左边．
∴等式成立，
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
2.按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
3．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
4.已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【答案】C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
7.按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为： 故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
8.计算的结果是
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】
原式
=．故选B．
【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
9.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
A．0B．1C．7D．8
【答案】A
【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．
【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
10.一列数按某规律排列如下：，…，若第n个数为，则n=
A．50B．60C．62D．71
【答案】B
【解析】，…
可写为：，…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．
【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律
11.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去。故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
12.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．C、EB．E、FC．G、C、ED．E、C、F
【答案】D
【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
13.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
【答案】B
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题
14.已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
A．-7.5B．7.5C．5.5D．-5.5
【答案】A
【解析】∵a1=-2，∴a2=，a3=，a4==-2，…，
∴这个数列以-2，，依次循环，且-2++=-，
∵100÷3=33……1，∴a1+a2+…+a100=33×（-）-2=-=-7.5，故选A．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
15.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为=-1，-1的差倒数，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，依此类推，a2019的值是
A．5B．-C．D．
【答案】D
【解析】∵a1=5，a2=，a3=，a4==5，
……∴数列以5，-，三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a2019=a3=，故选D．
【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
16.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
17.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年
【答案】C
【分析】
根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．
【详解】
解：由图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，
，
∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，
此时mg，
故选C．
【点睛】
本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为，
第23个智慧优数为时，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
19．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
20．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
【答案】10
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
21．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
【答案】
【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
22.如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】
【分析】
根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】
解：点在直线上，点的横坐标为2，
点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；
,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，
，
按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．
23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
【答案】
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
24.如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】
先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
，即，
，即，
，即，
观察可知，点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
25．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
26.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．
【答案】3
【分析】
通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．
【详解】
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，
例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，
即：；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，
即：；
由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，
即空缺数为：3，
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．
27．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】∵A点坐标为，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕A点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．
∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得
故点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
28.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
29．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
【答案】 1024
【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.
【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；
第二行数的规律为，
∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，
∴，
故答案为：1024；．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
30.按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【解析】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
31.观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
32.观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】
【分析】
根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】
由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
33.观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解析】解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，
﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
34.对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．
【答案】16 58
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解．
【解析】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，
F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，
F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，
F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…
通过计算发现，F1（4）＝F8（4），
∵2019÷7＝288…3，∴F2019（4）＝F3（4）＝58；故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
35.观察下列一组数：
a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=__________．（用含n的式子表示）
【答案】
【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴an=，故答案为：．
【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
36.观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：．
（2），
证明：∵右边==左边．
∴等式成立，
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．
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