2023-2024学年江苏省徐州市睢宁县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市睢宁县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是( )
A. 30πcm2B. 15πcm2C. 15π2cm2D. 10πcm2
2.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 48(1−x)2=36B. 48(1+x)2=36C. 36(1−x)2=48D. 36(1+x)2=48
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin∠A=23，则csB=( )
A. 23B. 53C. 2 55D. 52
4.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−1且k≠0B. k≥−1C. k≤1D. k≤1且k≠0
5.在做针尖落地的实验中，正确的是( )
A. 甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B. 乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C. 老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D. 老师安排同学回家做实验，图钉统一发(完全一样的图钉).同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
6.不等式−x+2>3x的解为( )
A. x>−12B. x<12C. x>−2D. x<2
7.如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O.如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为( )
A. 2
B. 4
C. 2 3
D. 4 3
8.已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D的大小是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
9.已知二次函数y=x2−4x−3，下列说法正确的是( )
A. 该函数的图象的开口向下B. 该函数图象的顶点坐标是(−2,−7)
C. 当x<0时，y随x的增大而增大D. 该函数的图象与x轴有两个不同的交点
10.如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=65°，则∠ADE=( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−4)2+3，由此可知铅球推出的距离是______m.
12.已知扇形的面积为4π，半径为6，则此扇形的圆心角为______度．
13.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，点D、E分别是AB、AC的中点，CF是∠ACB的平分线，交ED的延长线于点F，则DF的长是______．
15.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则CDAD的值等于______．
16.已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S(单位：米)与行驶时间t(单位：秒)满足下面的函数关系：S=12t−4t2(t≥0).那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了______米.
17.二次函数y=x2−4x+3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，作直线l：y=t(t>−1)，将直线l下方的二次函数图象沿直线l向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象W，若线段BC与组合图象W由两个交点，则t的取值范围______．
18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论：
①abc>0；
②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3；
③2a+b=0；
④4a2+2b+c<0，
其中正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(1,1)、C(5,1)．
(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(5,5)，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后得到的△A1B2C2，并求出旋转过程中点B1经过的路径长(结果保留根号和π)．
20.(本小题6分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题6分)
己知函数y=ax2−2x−3(a是常数)
(1)当a=1时，该函数图象与直线y=x−1有几个公共点？请说明理由；
(2)若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值．
22.(本小题8分)
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价．据试销发现，月销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数y=−10x+1000.若该商店获得的月销售利润为W元，请回答下列问题：
(1)请写出月销售利润W与销售单价x之间的关系式(关系式化为一般式)；
(2)在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
(3)若获利不得高于70%，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？
23.(本小题8分)
如图，抛物线经过点A(1,0)，B(5,0)，C(0,103)三点，顶点为D，设点E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E(x,y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
(3)在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．
24.(本小题8分)
综合与探究
如图，直线y=−x+4交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0,−2)，点D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当点D在直线AC下方的抛物线上运动时，求出PD长度的最大值．
(3)当以B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时m的值．
25.(本小题10分)
“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”，学校准备从小明和小亮2人中随机选拔一人当“阳光大课间”领操员，体育老师设计的游戏规则是：将四张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如图1，扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．小亮和小明两人各抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮当选；否则小明当选．
(1)请用树状图或列表法求出所有可能的结果；
(2)请问这个游戏规则公平吗？并说明理由．
26.(本小题10分)
一个箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的，且这4瓶牛奶的外包装完全相同．
(1)现从这4瓶牛奶中随机拿1瓶，求恰好拿到过期牛奶的概率；
(2)现从这4瓶牛奶中不放回地随机拿2瓶，求拿到的2瓶牛奶中恰好有过期牛奶的概率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设底面半径为rcm，
3π×5=15π(cm2)，
故选：B．
根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积计算公式．
2.【答案】D
【解析】解：二月份的营业额为36(1+x)，
三月份的营业额为36(1+x)×(1+x)=36(1+x)2，
即所列的方程为36(1+x)2=48，
故选：D．
三月份的营业额=一月份的营业额×(1+增长率)2，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：如图，∵sinA=BCAB=23，csB=BCAB．
∴csB=23．
故选：A．
作出图形，根据sinA=csB解答．
本题考查了同角三角函数的关系，利用锐角三角函数的定义作答即可，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得k≠0且△=b2−4ac=22−4k·(−1)≥0，
解得k≥−1且k≠0．
故选：A．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22−4k·(−1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5.【答案】B
【解析】解：A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；
C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；
D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；
故选：B．
根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．
考查模拟实验的条件；实验器具和实验环境应相同；实验的结果带有一定的偶然性．
6.【答案】B
【解析】解：不等式移项得，−x−3x>−2，
合并同类项得，−4x>−2
系数化1得，x<12；
故选：B．
根据不等式的性质：先移项，再合并同类项，系数化1即可求得不等式的解集．
本题主要考查不等式的解法，在移项的过程中注意变号．
7.【答案】D
【解析】解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；
则AD=BD，
由折叠的性质得：OD=CD，
在Rt△OAD中，OD=CD=12OC=2，OA=4；
根据勾股定理得：AD= OA2−OD2= 42−22=2 3，
∴AB=2AD=4 3；
故选：D．
过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，由垂径定理得AD=BD，根据折叠的性质可求出OD的长，根据勾股定理可求出AD的长，即可求出AB的长度．
此题主要考查了折叠的性质、垂径定理及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和折叠的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)．
利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，然后计算∠D的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，
而∠B+∠D=180°，
∴∠D=24×180°=90°．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：由题意，∵二次函数为y=x2−4x−3=(x−2)2−7，
∴该函数的图象开口向上，顶点为(2,7)，当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大．
∴A、B、C均不正确．
又∵二次函数为y=x2−4x−3，
∴Δ=(−4)2−4×1×(−3)=16+12=28>0．
∴该函数的图象与x轴有两个不同的交点，故D正确．
故选：D．
依据题意，由二次函数为y=x2−4x−3=(x−2)2−7，从而该函数的图象开口向上，顶点为(2,7)，当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，故可得判断A、B、C；又二次函数为y=x2−4x−3，从而Δ=(−4)2−4×1×(−3)=16+12=28>0，故可得判断D．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=DC，∠CED=∠B=65°，∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED−∠CAD=65°−45°=20°．
故选A．
根据旋转的性质可得AC=DC，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】10
【解析】解：令函数式y=−112(x−4)2+3中，y=0，
0=−112(x−4)2+3，
解得x1=10，x2=−2(舍去)，
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
12.【答案】40
【解析】解：设该扇形的圆心角度数为n°，
∵扇形的面积为4π，半径为6，
∴4π=nπ⋅62360，
解得：n=40．
∴该扇形的圆心角度数为：40°．
故答案为：40．
利用扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360，由此构建方程即可解决问题．
此题考查了扇形面积的计算．此题比较简单，注意熟记公式与性质是解此题的关键．
13.【答案】6.18【解析】解：由表格数据可得，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，
于是可得，当y=0时，相应的自变量x的取值范围为6.18故答案为：6.18根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y=0时，相应的自变量的取值范围即可．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠B=90°，AB=12，BC=5，
∴AC= AB2+BC2=13，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC=52，EC=12AC=132，DE/​/BC，
∴∠F=∠FCB，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠FCB=∠FCE，
∴∠F=∠FCE，
∴EF=EC=132，
∴DF=EF−DE=132−52=4，
故答案为：4．
根据勾股定理求出AC长，根据三角形中位线定理和中点的定义求出DE、EC长，根据等腰三角形的判定和性质求出EF，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】 5−12
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．
∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，
它的底与腰的比值为 5−12，
∴CDAD=CDBC=BCAC= 5−12；
故答案为： 5−12．
根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割．
16.【答案】9
【解析】解：由题意，∵s=12t−4t2=−4(t−32)2+9，
∵a=−4，
∴当t=32时，前行的距离最大，最大距离为9米，
∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米．
故答案为：9．
依据题意，首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为32s，行驶距离为9米，进而得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是关键．
17.【答案】−1【解析】解：令x=0，得y=x2−4x+3=3，
令y=0，得y=x2−4x+3=0，解得，x=1或3，
∴A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0)，
把B(3,0)代入得k=−1，
∴BC：y=−x+3，
∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线y=x2−4x+3的顶点坐标(2,−1)，
∴将直线l下方的二次函数图象沿直线l向上翻折所得那小部分抛物线的顶点坐标为(2,2t+1)，
∴翻折所得那小部分抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+2t−1，
∵线段BC与组合图象W由两个交点，
∴方程组y=−x+3y=−(x−2)2+2t−1无解，
即−(x−2)2+2t−1=−x+3无实数根，
也即x2−5x+8−2t=0无实数根，
∴△=25−32+8t<0，
∴t<78，
∵t>−1，
∴−1故答案为：−1要使线段BC与组合图象W由两个交点，因B、C两点就是两个交点了，则BC与将直线l下方的二次函数图象沿直线l向上翻折所得那小部分抛物线没有交点，根据直线BC的解析式与向上翻折所得那小部分抛物线的解析式联立的方程组没有解，由此便可求得结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法，翻折的性质，关键是由翻折所得那小部分抛物线与BC无交点，得出t的不等式．
18.【答案】②③
【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，a<0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b>0，与y轴交于正半轴，c>0，所以abc<0，因此①是错误的；
当y=0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c=0的两根，由图象可得x1=−1，x2=3；因此②正确；
对称轴为直线x=1，即−b2a=1，也就是2a+b=0；因此③正确，
∵a<0，a2>0，b>0，c>0，
∴4a2+2b+c>0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A1B2C2即为所求．

由勾股定理得，A1B1= 12+22= 5，
∴旋转过程中点B1经过的路径长为B1B2=90π× 5180= 52π．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出A1B1的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换、弧长公式，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，
把A、B两点坐标代入上式，1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
故抛物线函数关系表达式为y=x2−2x−3．
(2)∵A(−1,0)，点B(3,0)，
∴AB=OA+OB=1+3=4，
∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，PC⊥PE，
∴∠OPE+∠CPB=90°，
∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠OPE=∠PCB，
又∵∠EOP=∠PBC=90°，
∴△POE∽△CBP，
∴BCPB=OPOE，
设OP=x，则PB=3−x，
∴43−x=xOE，
∴OE=14(−x2+3x)=−14(x−32)2+916，
∵0∴x=32时，线段OE长有最大值，最大值为916．
即OP=32时，此时P的坐标为(32,0)，线段OE有最大值，最大值是916．
(3)存在．
如图，过点M作MH/​/y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴x=0，y=−3，
∴N点坐标为(0,−3)，
设直线BN的解析式为y=kx+d，
∴3k+d=0d=−3,
∴k=1d=−3,
∴直线BN的解析式为y=x−3，
设M(a,a2−2a−3)，则H(a,a−3)，
∴MH=a−3−(a2−2a−3)=−a2+3a，
∴S△MNB=S△BMH+S△MNH=12MH⋅OB=12×(−a2+3a)×3=−32(a−32)2+278，
∵−32<0，
∴a=32时，△MBN的面积有最大值，最大值是278，此时M点的坐标为(32,−154).
【解析】本题为二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)设OP=x，则PB=3−x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；
(3)过点M作MH/​/y轴交BN于点H，由S△MNB=S△BMH+S△MNH=12MH⋅OB即可求解．
21.【答案】解：(1)a=1时，y=x2−2x−3，
∴y=x−1y=x2−2x−3，
∴x2−3x−2=0，
∵△=9−4×1×(−2)=17>0，
∴所以方程有两个不相等的实数根，函数图象与直线有两个不同的公共点．
(2)①当a=0时，函数y=−2x−3的图象与x轴只有一个交点(−32,0)；
②当a≠0时，若函数y=ax2−2x−3的图象与x轴只有一个交点，则方程ax2−2x−3=0有两个相等的实数根，
所以△=(−2)2−4a⋅(−3)=0，
解得a=−13．
综上，若函数y=ax2−2x−3的图象与x轴只有一个交点，则a的值为0或−13．
【解析】(1)转化为求方程组，然后通过消元化为一元二次方程，通过判断一元二次方程的根的判别式，即可判断抛物线与直线的交点情况；
(2)分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；
②当函数为二次函数时，利用判别式△=0，转化为方程即可解决问题．
本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
22.【答案】解：(1)根据题意得，W=(x−40)(−10x+1000)
=−10x2+1000x+400x−40000
=−10x2+1400x−40000；
(2)当W=−10x2+1400x−40000=8000时，
得到x2−140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80，
∵使顾客获得实惠，
∴x=60．
答：销售单价应定为60元，
(3)W=−10x2+1400x−40000
=−10(x−70)2+9000
∵获利不得高于70%，即x−40≤40×70%，
∴x≤68．
∴当x=68时，W最大=8960．
答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大．
【解析】(1)根据题意根据得到函数解析式；
(2)解方程即可得到结论；
(3)把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则
0=a+b+c0=25a+5b+c103=c，解得：a=23b=−4c=103．
故抛物线解析式为y=23x2−4x+103．
(2)过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．
E点坐标为(x,23x2−4x+103)，F点的坐标为(x,0)，
∴EF=0−(23x2−4x+103)=−23x2+4x−103．
∵点E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1三角形OEB的面积S=12OB⋅EF=12×5×(−23x2+4x−103)=−53(x−3)2+203(1当x=3时，S有最大值203．
(3)作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．
∵抛物线解析式为y=23x2−4x+103=23(x−3)2−83，
∴D点的坐标为(3,−83)，
∴D′点的坐标为(−3,−83).
由对称的特性可知，MD=MD′，
∴MB+MD=MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y=kx+b，则
0=5k+b−83=−3k+b，解得：k=13b=−53，
∴直线BD′的解析式为y=13x−53．
当x=0时，y=−53，
∴点M的坐标为(0,−53).
【解析】(1)设出解析式，由待定系数法可得出结论；
(2)点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1(3)找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．
本题考查了二次函数的运用、待定系数法求二次函数解析式、点的对称以及三角形边的关系，解题的关键是：(1)能够熟练运用待定系数法求解析式；(2)利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；(3)先找对称点，再结合三角形内两边之和大于第三边确定点M的位置．本题属于中档题，难度不大，失分点在于(2)中部分同学会忘记求x的取值范围；(3)中不会用找对称点借助三角形边的关系确定M点的位置．
24.【答案】解：(1)在y=−x+4中，当y=0，x=4，
∴A(4,0)，
将A(4,0)，B(0,−2)代入y=12x2+bx+c，
得12×16+4b+c=0c=−2，
解得b=−32c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
(2)∵点D的横坐标为m，
∴点P的坐标为(m,−m+4)，点D的坐标为(m,12m2−32m−2)，
∵点D在直线AC下方的抛物线上，
∴PD=−m+4−(12m2−32m−2)=−12m2+12m+6=−12(m−12)2+498，
∵−12<0，
当m=12时，线段PD的长度有最大值，最大值为498；
(3)由B(0,−2)，C(0,4)，P(m,−m+4)，得BC2=36，PB2=m2+(−m+4+2)2=2m2−12m+36，PC2=m2+(−m+4−4)2=2m2，
当△BCP为等腰三角形时，有三种情况：
①当BC=PB时，BC2=PB2，即36=2m2−12m+36，
解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=6；
②当BC=PC时，BC2=PC2，即36=2m2，解得m1=3 2，m2=−3 2；
③当PB=PC时，PB2=PC2，即2m2−12m+36=2m2，解得m=3，
综上所述，m的值为6或3 2或−3 2或3．
【解析】(1)由直线y=−x+4求出点A的坐标，将A，B的坐标代入y=12x2+bx+c即可；
(2)用含m的代数式表示点P，D的坐标，由点D在直线AC下方的抛物线上，可用含m的代数式表示出PD的长，利用函数的思想和性质可求出线段PD的最大值；
(3)分别由B、C、P的坐标求出BC2，PB2，PC2的值，当△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，当BC=PB时，BC=PC时，PB=PC时，分别列出关于m的方程，即可求出m的值．
本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，等腰三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性时注意分类讨论思想的运用等．
25.【答案】解：(1)画树状图如下：

(2)此游戏规则不公平．
理由如下：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，
所以P(小亮获胜)=812=23；P(小明获胜)=1−23=13，
因为23>13，
所以这个游戏规则不公平．
【解析】(1)利用树状图展示所有有12种等可能的结果；
(2)两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，再根据概率公式求出P(小亮获胜)和P(小明获胜)，然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
26.【答案】解：(1)恰好拿到过期牛奶的概率是14，
故答案为：14；
(2)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果，拿到的2瓶牛奶中恰好有过期牛奶的有6种结果，
∴拿到的2瓶牛奶中恰好有过期牛奶的概率为612=12．
【解析】(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中找到拿到的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
−0.03
−0.01
0.02
0.04