2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知csα=− 23，则cs2α=( )
A. 23B. 59C. 4 29D. −59
2.已知a,b为共线向量，且a=(1,x),b=(−2,6)，则|a|=( )
A. −3B. 3C. 10D. 3 10
3.若sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=35，β是第四象限的角，则sin(β+π4)=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinC−asinA=4bsinB,csC=−15，则ab=( )
A. 215B. 2 65C. 5 612D. 152
5.已知非零向量a,b满足a⋅b=−3,|a|=1，则b在a方向上的投影向量为( )
A. −6aB. −3aC. 3aD. −3b
6.f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只要将g(x)=sin(2x−π6)的图象( )
A. 向右平移π8个单位长度
B. 向右平移π2个单位长度
C. 向左平移π4个单位长度
D. 向左平移π8个单位长度
7.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).假设在水流量稳定的情况下，一个半径为4m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为2 3m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒(视为质点)，以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t(单位：min)，则下列说法正确的是( )
①t=1min时，盛水筒P到水面的距离为2+2 3m；
②t=43min与t=2min时，盛水简P到水面的距离相等；
③经过30min，盛水筒P共7次经过筒车最高点；
④记与盛水简P相邻的盛水简为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为2 3m．
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②④
8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=3DB,P为CD上一点，且满足AP=xAC+35AB(x∈R)，若AC=4，AB=5，则AP⋅CD的值为( )
A. 92
B. 7120
C. 4615
D. 175
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算中正确的是( )
A. sin15°sin30°sin75°=18B. sin20°cs40°−cs160°sin40°= 32
C. 1−2cs2π12=− 32D. 1−tan15°1+tan15∘= 3
10.已知函数f(x)=2sinxcsx−2 3cs2x，则下列结论中正确的有( )
A. 函数解析式化简后为：f(x)=2sin(2x−π3)− 3
B. f(x)的对称轴为x=π3+kπ2，k∈Z
C. f(x)的对称中心为(π3+kπ2,0)，k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论正确的有( )
A. OB⋅OE=− 2
B. OA+OC=− 2OF
C. OA在OB上的投影向量为 22OB
D. 若点P为正八边形边上的一个动点，则AP⋅AB的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,− 3),b=(6,t)，若a⊥b，则实数t的值为______．
13.在△ABC中，已知BA⋅BC=tanB，当B=π3时，△ABC的面积为______．
14.已知sin(α+π7)= 34，则sin(2α−3π14)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，
(1)求a⋅b的值；
(2)求向量a−b与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sinωxcsωx−sin2ωx+12(ω>0)，若f(x)相邻两条对称轴的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，f(A)=−1，a= 3,b=2c，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点．
(1)求证：2EF=AD+BC；
(2)若AB=2DC，|AB|=2|AD|=2，向量AB，AD的夹角为π3，EG=23EF，求|AG|．
18.(本小题17分)
锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−c)csB=bcsC．
(1)求角B的值；
(2)若b=2 3，求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造.如图所示，矩形CDEF区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形AOB的半径为2(百米)，圆心角分别为π3，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上(如图2所示)；

(1)若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；
(2)修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上(如图3所示).比较两种方案，哪种方案更优？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：已知csα=− 23，
则cs2α=2cs2α−1=−59．
故选：D．
由二倍角余弦公式直接求解．
本题主要考查二倍角余弦公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：a=(1,x),b=(−2,6)共线，则−2x=6，得x=−3，
故|a|= 1+9= 10．
故选：C．
由向量共线求出x，再求模长即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=35，所以sin(α−β−α)=sin(−β)=35，所以sinβ=−35，β是第四象限的角，所以csβ=45，则sin(β+π4)=sinβcsπ4+csβsinπ4=−35× 22+45× 22= 210；
故选：A．
由已知逆用两角差的三角函数公式得到β的正弦值，关键是第四象限的角，得到其余弦值，再利用两角和的三角函数公式求值．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用以及象限角的三角函数符号，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为csinC−asinA=4bsinB，由正弦定理得c2−a2=4b2，
又csC=−15，则csC=−15=a2+b2−(a2+4b2)2ab，
化简得ab=152．
故选：D．
由正弦定理角化边得c2−a2=4b2，再利用余弦定理代值求解．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：b在a方向上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=−3a．
故选：B．
由投影向量公式直接求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=1，
可得14T=π3−π12=π4，T=π，则ω=2πT=2，
又2×π12+φ=2kπ,k∈Z，|ϕ|<π2，则φ=−π6，
故f(x)=cs(2x−π6)，
对A，g(x)=sin(2x−π6)向右平移π8个单位长度，得到y=sin[2(x−π8)−π6]=sin(2x−5π12)≠f(x)，故A错误；
对B，g(x)=sin(2x−π6)向右平移π2个单位长度，得到y=sin[2(x−π2)−π6]=sin(2x+5π6)≠f(x)，故B错误；
对C，g(x)=sin(2x−π6)向左平移π4个单位长度，得到y=sin[2(x+π4)−π6]=sin(2x+π3)=sin(2x+π2−π6)=f(x)，故C正确；
对D，g(x)=sin(2x−π6)向左平移π8个单位长度，得到y=sin[2(x+π8)−π6]=sin(2x+π12)≠f(x)，故D错误．
故选：C．
先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求φ与ω的值，确定函数f(x)的解析式，然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果．
本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：依题意作图如下：
以水车的轴心为原点建立直角坐标系如上图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，
当P刚露出水面时，与y轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，
①当P旋转1min时，旋转了360°4=90°，旋转到D点，
此时D点到水面的距离为2 3+4sin30°=2+2 3，所以①正确；
②当t=43 min时，旋转了13 周，即120°，此时的位置是E点，
与y轴正半轴的夹角是180°−(30°+120°)=30°，
当t=2 min时，P旋转了180°，即C点，与y轴正半轴的夹角也是30°，
C点与E点到水面的距离相等，所以②正确；
③经过30min，则水车转过了304=7.5个周期，所以盛水桶P共8次经过最高点，故③错误；
④设Q在P的上方，OP与y轴负方向的夹角为α，(α∈(0°,180°))，
则OQ与y轴负方向的夹角为α+45°，
相邻两筒到水面的距离差为：
2 3−4cs(45°+α)−(2 3−4csα)=4[csα−cs(45°+α)]=4 2− 2cs(α−φ)，其中csφ= 2− 22，sinφ= 22 2− 2，
当α=φ 时取最大值为4 2− 2，故④错误；
故选：A．
建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系即可．
本题考查了建模思想、三角函数的图象及性质，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为AD=3DB，所以AD=34AB，
因为C、P、D三点共线，
所以可设CP=kCD，即AP−AC=k(AD−AC)，
又因为AP=xAC+35AB，
所以(x−1)AC+35AB=k(34AB−AC)，
又AC,AB为不共线的非零向量，
所以x−1=−k35=34k，解得k=45x=15，
所以AP=15AC+35AB，
所以AP⋅CD=AP⋅(AD−AC)=(15AC+35AB)⋅(34AB−AC)
=−15×42+920×52−920×4×5csπ3=7120．
故选：B．
利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，原式=sin15°sin30°sin(90°−75°)=sin15°sin30°cs15°=12sin230°=12×(12)2=18，故A正确；
对于B，原式=sin20°cs40°−cs(180°−20°)sin40°=sin20°cs40°+cs20°sin40°=sin(20°+40°)=sin60°= 32，故B正确；
对于C，原式=1−(1+cs(2×π12))=−csπ6=− 32，故C正确；
对于D，原式=tan45°−tan15°1+tan45∘tan15∘=tan(45°−15°)=tan30°= 33，故D错误．
故选：ABC．
根据三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式，利用二倍角余弦公式及两角差的正切公式，结合特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：f(x)=2sinxcsx−2 3cs2x=sin2x− 3cs2x− 3=2sin(2x−π3)− 3，A正确；
对于B，令2x−π3=π2+kπ，则x=5π12+kπ2,k∈Z，∴对称轴为x=5π12+kπ2,k∈Z，故B错误；
对于C，令2x−π3=kπ，k∈Z，可得对称中心为(π6+kπ2,− 3),k∈Z，故C错误；
对于D，令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，则−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
∴单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z，故D正确．
故选：AD．
先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性及单调性的判断，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意可知，正八边形每个边所对的角都是45°，中心到各顶点的距离为2，
对于A，OB⋅OE=|OB||OE|×cs∠BOE=2×2×cs135°=−2 2，故A错误；
对于B，∠AOC=90°，则以OA，OC为邻边的对角线长是|OA|的 2倍，
可得OA+OC= 2OB=− 2OF，故B正确；
对于C，OA在OB上的投影向量为OA⋅OB|OB|2OB=2×2cs45°4OB= 22OB，故C正确；
对于D，设AP,AB的夹角为θ，则AP⋅AB=|AB||AP|csθ，
其中|AP|csθ表示AP在AB上的投影，
易知DC⊥AB，延长DC交AB延长线于Q，
当P在线段DC上运动，投影最大，
易知△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB=180°−45°2=67.5°，
则在Rt△CAQ中，AQ=AC⋅cs∠CAQ=AC⋅cs(67.5°−45°)=AC⋅cs22.5°，
在等腰三角形OAB中AB=2OA⋅sin22.5°，
则(AP⋅AB)max=AC⋅cs22.5°×2OA⋅sin22.5°=AC⋅OA⋅sin45°=2 2×2× 22=4，故D正确．
故选：BCD．
正八边形ABCDEFGH中，每个边所对的角都是45°，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB，由投影向量和投影判断CD得答案．
本题考查向量数量积的运算及性质，考查数量积的几何意义，属中档题．
12.【答案】4 3
【解析】解：若a⊥b，则a⋅b=0即12− 3t=0，解得t=4 3．
故答案为：4 3．
由向量垂直的坐标表示直接求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】32
【解析】解：设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为BA⋅BC=tanB，则accsB=tanB，当B=π3时，ac=2 3，
所以△ABC的面积为acsinB2=32．
故答案为：32．
由数量积运算得到ac=2 3，再利用三角形面积公式求解即可．
本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．
14.【答案】−58
【解析】解：设α+π7=t,2α−3π14=2t−π2，
则sin(2α−3π14)=sin(2t−π2)=−cs2t=2sin2t−1=−58．
故答案为：−58．
利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用二倍角公式求解即可．
本题主要考查了二倍角公式及诱导公式的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=2×6×12=6；
(2)设向量a−b与b的夹角为θ，
因为|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 4−2×2×6×12+36=2 7，
又(a−b)⋅b=a⋅b−b2=2×6×12−36=−30，
所以csθ=(a−b)⋅b|a−b||b|=−302 7×6=−5 714，
故向量a−b与b的夹角的余弦值为−5 714．
【解析】(1)利用平面向量数量积的定义求解即可．
(2)先求出a−b，再利用平面向量的夹角公式求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)= 32sin2ωx−1−cs2ωx2+12= 32sin2ωx−12+12cs2ωx+12=sin(2ωx+π6)，
因为f(x)的相邻两条对称轴的距离为π2，
所以T2=π2，
所以T=2π2ω=π，即ω=1，
故f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π6)．
(2)由(1)知，f(A)=sin(2A+π6)=−1，
所以2A+π6=−π2+2kπ(k∈Z)，即A=−π3+kπ(k∈Z)，
因为A∈(0,π)，所以A=2π3，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−34c2=−12，
所以c= 217,b=2c=2 217，
所以S△ABC=12bc⋅sinA=12× 217×2 217× 32=3 314．
【解析】(1)结合二倍角公式与辅助角公式化简f(x)，再利用正弦函数的周期性，求得ω=1，从而得解；
(2)结合(1)中所得求出A，再根据已知条件，利用余弦定理求得b，c的值，然后由三角形面积公式，求解即可．
本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握三角恒等变换公式，余弦定理，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴DF=−CF，EA=−EB，
∵EF=EA+AD+DF，①
EF=EB+BC+CF，②
①+②得：2EF=EA+EB+AD+BC+DF+CF，
∴2EF=AD+BC．
解：(2)∵AB=2DC，EG=23EF，
∴AG=AE+EG=12AB+23EF=12AB+23(EA+AD+DF)
=12AB+23(−12AB+AD+14AB)
=12AB−13AB+23AD+16AB
=13AB+23AD，
∵|AB|=2|AD|=2，向量AB，AD的夹角为π3，
∴AB⋅AD=|AB||AD|csπ3=2×1×12=1，
∴|AG|= (13AB+23AD)2
= 19AB2+49AB⋅AD+49AD2
= 19×4+49×1+49×1=2 33．
【解析】本题考查平面向量的线性运算和利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．
(1)由平面向量的线性运算计算即可证明；
(2)由平面向量的线性运算得AG=13AB+23AD，再由平面向量的数量积的性质计算即可．
18.【答案】解：(1)∵(2a−c)csB=bcsC，
∴2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
∴2sinAcsB=sinCcsB+csCsinB=sin(B+C)，
∴2sinAcsB=sinA，
∵0∴sinA≠0，
∴2csB=1，即csB=12，
又0∴B=π3；
(2)在△ABC中，由正弦定理定理，可得asinA=csinC=bsinB=2 3 32=4，
∴a=4sinA，c=4sinC，
∴S=12acsinB
=4 3sinAsinC
=4 3sinAsin(2π3−A)
=6sinAcsA+2 3sin2A
=3sin2A+ 3(1−cs2A)
=2 3sin(2A−π6)+ 3，
∵△ABC是锐角三角形，
∴0由π6∴12∴2 3<2 3sin(2A−π6)+ 3≤3 3，
故△ABC面积的取值范围为(2 3,3 3]．
【解析】(1)根据已知条件及正弦定理的边角化，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数即可求解；
(2)根据(1)的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及三角函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)连接OE，设∠AOE=α，α∈(0,π3)，
由条件知DE=2sinα，OD=2csα，FC=DE=2sinα，∠AOB=π3，
在Rt△FOC中，FCOC=tanπ3= 3，得OC=FC 3=2 33sinα，
知CD=OD−OC=2csα−2 33sinα，
S▱CDEF=2sinα×(2csα−2 33sinα)
=4sinαcsα−4 33sin2α=2sin2α+2 33cs2α−2 33
=4 33( 32sin2α+12cs2α)−2 33
=4 33sin(2α+π6)−2 33，
因为α∈(0,π3)，所以当α=π6时，矩形面积的最大值为2 33平方百米；
(2)如图，根据对称性转化为求中心角度为π6的扇形内接矩形面积最大值．
连接OD，设∠DON=β，β∈(0,π6)，
由条件知DN=2sinβ，ON=2csβ，CM=DN=2sinβ，
∠AON=π6，在Rt△COM中，CMOM=tanπ6= 33，得OM=2 3sinβ，
知MN=ON−OM=2csβ−2 3sinβ，
S▱CDEF=2sinβ×(2csβ−2 3sinβ)
=4sinβcsβ−4 3sin2β=2sin2β+2 3cs2β−2 3
=4sin(2β+π3)−2 3，
因为β∈(0,π6)，所以β=π12时，圆心角为π3扇形中截面积最大值为2(4−2 3)=8−4 3平方百米；
且2 33>8−4 3，
因为方案一内接矩形面积更大，最大值为2 33，故方案一更优．
【解析】(1)连接OE，设∠AOE=α，将面积表示为α的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出面积最值，
(2)根据对称性转化为求中心角度为π6的扇形内接矩形面积最大值．连接OD，设∠DON=β，β∈(0,π6)，将面积表示为β的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出面积的最大值，再比较即可．
本题考查了三角函数应用问题，解题的关键是合理设置角度，表示为函数关系求解，是难题．