精品解析：四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

安宁河联盟2022～2023学年度下期高中2022级期中联考

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知平面向量，.若，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，列出方程，即可得到结果.

【详解】因为，且，，则，解得.

故选：C

2. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象变换直接求解.

【详解】因为,

所以要得到函数的图象，

只需要将函数的图象向右平移个单位,

故选:B

3. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角差正弦公式求解即可.

【详解】因为，

所以

故选：C.

4. 若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知当时，取得最值，从而可得，进而可得答案.

【详解】因为函数的图像关于轴对称，

所以当时，取得最值，

所以，得，

对于A，若，则，解得，不合题意，

对于B，若，则，解得，不合题意，

对于C，若，则，解得，题意，

对于D，若，则，解得，不合题意，

故选：C

5. 如图，若，，，点是线段上一点，且.若，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理求解即可.

【详解】因为，所以，

所以.

所以，即，.

故选：B

6. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式求解可得结论.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

7. 函数的单调递增区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

故选：C

8. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ）

A. 4 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果.

【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴，

又∵在上的投影向量为，如图：

过作，垂足为点，∴，

∴为中点，则，

∴.

故选：A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 若向量，满足，则，为平行向量

B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底

C. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

D. 若是等边三角形，则

【答案】AB

【解析】

【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量定义知C错误；由向量夹角的定义知D错误.

【详解】对于A，，是平行向量，A正确；

对于B，为一组基底，不共线，

也不共线，也可以作为一组基底，B正确；

对于C，虽然单位向量模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；

对于D，为等边三角形，，D错误.

故选：AB.

10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（    ）

A. 最小正周期为

B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递增

D. 为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.

【详解】A选项，设的最小正周期为，

由图象可知，解得，A错误；

B选项，因为，所以，解得，

故，

将代入解析式得，

因为，所以解得，

因为函数经过点，所以，故，

的最大值为2，B正确；

C选项，，

当时，，

因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；

D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.

故选：BC

11. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.复合音的产生是发声体在全段振动，产生的频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来.如我们听到的某个声音函数，对此以下说法正确的是（    ）

A. 函数的周期为

B. 函数图象关于点对称

C. 函数图象关于直线对称

D. 函数在单调递增

【答案】BD

【解析】

【分析】根据周期函数的定义判断A，证明，判断B，证明判断C，结合正弦函数单调性判断D.

【详解】

对于A：

，A选项错误

对于B：

.

∴函数关于点对称，∴B选项正确，

对于C：

∴函数不关于直线对称，∴C选项错误

对于D：，，，在均单调递增，

由函数单调性的性质可知，在上单调递增

所以D选项正确

故选：BD.

12. 关于函数，以下说法正确的有（    ）

A. 是偶函数

B. 在区间上单调递增

C. 在上有4个零点

D. 的值域是

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可，对于B，，，然后利用复合函数判断单调性的方法分析判断即可，对于C，由于在上为偶函数，所以只需考查在上有几个零点即可，对于D，由于是偶函数，所以只要求出时函数的最大值和最小值即可.

【详解】，定义域为

对于A：，

∴为偶函数，A选项正确

对于B：当时，

令，，

∵在上单调递增，

∴

又∵，对称轴为，

∴在上单调递增

由复合函数单调性可知，在上单调递增，B选项正确

对于C：∵在上为偶函数，只需考查在上有几个零点

当时，，

令，∴

即：，∴或，，，

由对称性得，∵在有6个零点，C选项错误

对于D：当时，，

令，.

对称轴为，∵开口向上，

∴当时，，

当时，，

∴结合偶函数性质得的值域为，D选项正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查复合函数单调性和值域的求法，解题的关键是通过换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 求值：__________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

14. 已知，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故答案为：

15. 已知，，，则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据求出，利用夹角公式可得答案.

【详解】因为，，

所以，又所以；

所以，

因为，所以.

故答案：.

16. 已知点是所在平面内一点，满足，若，，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由条件结合重心性质可得点为的重心，根据向量线性运算可得，

根据向量的数量积的性质可得，设，，可得，

利用基本不等式求的最小值.

【详解】∵，∴点为的重心，∴

∴

又∵

∴

设，，，

∴

∴

当且仅当时，等式成立，

∴ ，当且仅当时，等式成立，

∴当时，取最小值，最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知平面向量，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式求解；

（2）先求的坐标，再由向量的模的坐标公式求模即可.

【小问1详解】

∵，，

∴

【小问2详解】

∵，，

∴，

∴

18. 已知，，.

（1）求的值；

（2）求角的大小.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由条件根据同角关系求出，再求；

（2）先根据，，求出，再根据求解即可.

【小问1详解】

∵，，∴

∴；

【小问2详解】

∵，∴

又∵，∴

∴

，

∵，

∴.

19. 已知函数

（1）用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；

（2）结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间；

（3）当时，的取值范围为，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2），   

（3）

【解析】

【分析】（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象；

（2）观察图象可得函数在上的单调递增区间；

（3）由已知可得，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.

【小问1详解】

，，

由可得，，

列表如下：

作图：

  【小问2详解】

结合图像，函数在上的单调递增区间为，

【小问3详解】

，，

又，

所以，

所以，，

的取值范围是．

20. 已知.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的值域；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式，诱导公式，辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数周期公式求周期；

（2）利用不等式性质结合正弦函数性质求值域.

小问1详解】

∴函数的最小正周期

【小问2详解】

令，∵，∴

∵，即

，在上单调递增，在上单调递减，

而，，，

则值域为，

则值域为.

21. 如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.

（1）当时，用，表示；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理，即可表示出.

（2）根据题意，连接，，用，分别表示出，，然后根据，，三点共线，，，三点共线列出方程表示出，再结合基本不等式即可得到结果.

【小问1详解】

∵，∴，

∴，

【小问2详解】

连接，，则

因为，，三点共线，，，三点共线，

设，，

所以，

因为，所以，得

因为，所以，

所以，

因为，

所以，即，

代入得

因为，所以解得

因为，∵，∴

当且仅当时取得等号，∴的最大值是

22. 已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间（且）满足：在上至少有18个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数周期性和函数的图象经过点，分别求出即可；

（2）利用换元法以及不等式恒成立关系可得，从而求解；

（3）根据三角函数的图像变换确定的解析式，再根据函数的零点的概念列出方程求解.

【小问1详解】

由题意，∴，∴,

∴,

又∵的图象过点

∴，∴,

又∵，∴，∴.

【小问2详解】

∵,

又∵,

∴令，即，∴,

∵，∴，∴,

∴，即,

∴,

要使原不等式恒成立，只要∴,

在单调递增,

当时，，∴.

【小问3详解】

向下平移1个单位,

横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,

纵坐标变为原来的倍，横坐标不变,

,

令得：,

∴或,

∴解得：或,

∴相邻两个零点之间的距离为或,

若要使最小，则，均为的零点,

此时，在区间，，…，分别恰有

3，5，…个零点,

∴在区间恰有：个零点,

∴至少有一个零点，∴,

即,

检验可知：在恰有个零点，满足条件,

∴，即.