2023-2024学年江西省赣州市于都县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市于都县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 12B. 7C. 8D. 12
2.若二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x>3B. x≥3C. x<3D. x≤3
3.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是( )
A. 10
B. 15
C. 18
D. 20
4.△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是( )
A. b2−c2=a2B. a：b：c=5：12：13
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠C=∠A−∠B
5.如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD、AE，下列结论错误的是( )
A. △ABE是等腰三角形B. 四边形ABCD是平行四边形
C. 四边形ACED是矩形D. 四边形ABCD是菱形
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB=10，OE=6，则菱形ABCD的面积为( )
A. 48
B. 60
C. 96
D. 192
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.当a=−1时，二次根式 13+a的值是______．
8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=3，则AC=______．
9.如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：______，使得▱ABCD成为矩形．
10.如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______．
11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，….分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，…分析上面规律，第5个勾股数组为______．
12.在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，将此等腰三角形纸片沿底边BC上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.佳佳给出的解题过程： 6×2 3− 24÷ 3的解题过程：
6×2 3− 24÷ 3
=2 6×3− 243①
=2 18− 8②
=(2−1) 18−8③
= 10④
(1)佳佳从______步开始产生错误；
(2)请你给出正确的解题过程．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
(1)计算：2 20+3 45− 80；
(2)已知最简二次根式 3a+1与 7可以合并，求a的值．
15.(本小题6分)
已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13.求证：△ACD是直角三角形．
16.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF．
求证：AE/​/CF．
17.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中∠BCD=120°，P是AB的中点.请仅用无刻度直尺完成下列作图，

(1)在图1中，过点P作BC的平行线，与CD交于点Q．
(2)在图2中，作线段BC的垂直平分线，垂足为点H．
18.(本小题8分)
如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t(单位：秒)与细线长度l(单位：m)之间满足关系t=2π l10，
(1)当所花时间为t=2秒时，求此时细线的长度．
(2)当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？(结果保留小数点后一位， 5≈2.24,π≈3.14)
19.(本小题8分)
小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为△ABC的中线．BE/​/DC，BE=DC，连接CE．
(1)求证：四边形BDCE为菱形；
(2)连接DE，若∠ACB=60°，BC=4，求DE的长．
21.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD，连接AC．
(1)求证：四边形AECD是矩形；
(2)若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求BE的长．
22.(本小题9分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2．
∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=______，b=______；
(2)试着把7+4 3化成一个完全平方式．
(3)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算： a+b 2．
23.(本小题12分)
菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．

(1)如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n.若我们将菱形的“接近度”定义为|m−n|(即“接近度”=|m−n|)，于是|m−n|越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”= ，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”= ．
(2)如图2.已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为mn(即“接近度”=mn).
①若矩形的“接近度”= ，矩形就是正方形；
②若∠AOD=45°，求矩形的“接近度”．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，故本选项不符合题意；
B、 7是最简二次根式，，故本选项符合题意；
C、 8=2 2，故本选项不符合题意；
D、 12=2 3，故本选项不符合题意；
故选：B．
最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式．
本题主要考查最简二次根式的知识点，掌握二次根式的性质是解决此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，得
x−3≥0，
解得x≥3；
故选：B．
二次根式的被开方数x−3≥0．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】D
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD=12AB，AE=12AC，
∴DE=12BC，
∵△ADE的周长=10，
∴AD+AE+DE=10，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2(AD+AE+DE)=20，
故选：D．
根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到AD=12AB，AE=12AC，DE=12BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、b2−c2=a2，即b2=a2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、132=52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∠C=∠A−∠B，此时∠A是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理的逆定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
由平移的性质得：BC=CE，AD=BC，AD//BC，
∴AB=AE，四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABE是等腰三角形，故选项A、B不符合题意；
∵BC=CE，AD=BC，
∴AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
又∵∠DEC=90°，
∴平行四边形ACED是矩形，故选项C不符合题意；
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴AB>BC，
∴平行四边形ABCD不是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
由矩形的判定、平移的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平移的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OD=OB，
∵DE⊥AB，
∴OE=OB=OD=6，
∵AO2=AB2−OB2=102−62，
∴AO=8，
∴AC=16，
∵BD=12，
∴菱形ABCD的面积为：
12AC⋅BD=12×16×12=96．
故选：C．
利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解．
本题考查菱形的性质，关键是掌握并灵活应用菱形的性质．
7.【答案】2 3
【解析】解：当a=−1时，
13+a= 13−1= 12=2 3．
故答案为：2 3．
把a=−1代入计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握算术平方根的概念．
8.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=12AC，
∵AO=3，
∴AC=6，
故答案为6．
由平行四边形的对角线互相平分可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
9.【答案】∠A=90°
【解析】解：∵一个角是90°的平行四边形是矩形，
∴添加∠A=90°．
故答案为：∠A=90°．
根据矩形的判定定理即可得出结论．
本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
10.【答案】3
【解析】解：设正方形D的面积为x(x>0)．
∵长方形E的长是宽的2倍．
∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍．
∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、10、x．
∴根据图形得：5+23=4(10−x)．
解得：x=3．
∴正方形D的面积为3．
故答案为：3．
设正方形D的面积为x(x>0)，首先根据长方形E的长是宽的2倍，得出长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，长方形E的宽的平方为(10−x)，然后结合图形，利用勾股定理得到关于x的一元一次方程．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题关键在于掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．
11.【答案】(11,60,61)
【解析】解：由勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)…中，
4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，…可得
第4组勾股数中间的数为4×(9+1)=40，即勾股数为(9,40,41)；
第5组勾股数中间的数为：5×(11+1)=60，即(11,60,61)，
故答案为：(11,60,61)．
由勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)…中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，…可得第5组勾股数中间的数为：5×(11+1)=60，进而得出(11,60,61)．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．
12.【答案】28或32或36
【解析】解：∵AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，
在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AD= AB2−BD2=8，
当拼成如图①所示的平行四边形，
则其周长为：(6+8)×2=28；
当拼成如图②所示的平行四边形，
则其周长为：(6+10)×2=32；
当拼成如图③所示的平行四边形，
则其周长为：(10+8)×2=36；
综上，平行四边形的周长为：28或32或36．
故答案为：28或32或36．
利用等腰三角形的性质，将剪成的两个直角三角形分情况拼成平行四边形，再求出周长即可．
本题考查图形的剪拼，勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论解决问题是解题关键．
13.【答案】③
【解析】解：(1)佳佳从③步开始产生错误；
(2)正确的解题过程为：
原式=2 6×3− 24×13
=2 18− 8
=6 2−2 2
=4 2．
故答案为③．
(1)利用二次根式的性质可对佳佳的解题过程进行判断；
(2)先利用二次根式的乘除法则运算得到原式=2 18− 8，然后把各二次根式化简为最简二次根式候合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
14.【答案】解：(1)原式=4 5+9 5−4 5
=9 5；
(2)由题意得，3a+1=7，
解得a=2，
∴a的值是2．
【解析】(1)先化简二次根式，再计算加减即可；
(2)运用同类二次根式的定义进行列式、求解即可．
本题考查了二次根式的加减和同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
15.【答案】证明：∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC= 152−92=12，
∵52+122=132，
∴AD2+AC2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴△ACD是直角三角形．
【解析】点拨：
首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DAC=90°，可得△ACD是直角三角形．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AD/​/BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，进而证得AF=CE，从而证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1中，直线PQ即为所求；

(2)如图2中，直线AH即为所求．
【解析】(1)连接AC，BD检验点O，作直线OP交CD于点Q，直线PQ即为所求；
(2)连接AC，BD交于点O，连接CP交OB于点T，作直线AT交BC于点H，直线AH即为所求(证明△ABC是等边三角形，再根据三条中线交于一点解决问题)．
本题考查作图−复杂作图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：(1)将t=2π l10的两边平方得：t2=4π2×l10，
∴l=5t22π2，
∵t=2秒，π≈3.14，
∴.l≈5×222×3.142≈1.0(m)，
答：细线的长度为1.0m．
(2)将l=2m代入t=2π l10，
得：t=2π 210=2π 55，
∵5≈2.24，π≈3.14，
∴t≈2×3.14×2.245≈2.8(秒)．
答：小重物来回摆动一次所用的时间是2.8秒．
【解析】(1)首先将t=2π l10转化为l=5t22π2，然后再将t=2秒，π≈3.14代入进行计算即可得出答案；
(2)将l=2m代入t=2π l10之中进行计算即可得出答案．
此题主要考查了实数的近似计算，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握实数的计算方法．
19.【答案】解：(1)由勾股定理得，CD= BC2−BD2= 252−152=20(米)，
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米)；
(2)如图，由勾股定理得，

BF= DF2+BD2= (20−12)2+152=17(米)，
25−17=8(米)，
∴他应该往回收线8米．
【解析】(1)根据勾股定理求出CD的长即可得出结果；
(2)根据勾股定理求出BF的长即可得出结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BE/​/AC，BE=DC，
∴四边形BDCE为平行四边形，
∵∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，
∴BD=CD=12AC，
∴四边形BDCE为菱形；
(2)解：连接DE交BC于O点，如图，

∵四边形BDCE为菱形，BC=4，
∴OC=12BC=2,∠COD=90°,DE=2DO，
∴∠ACB=60°，
∴∠EDC=90°−∠ACB=30°，
∴DC=2OC=4，DO= 3OC=2 3，
∴DE=2DO=4 3．
【解析】(1)先证明四边形BDCE为平行四边形，由直角三角形的性质可得BD=CD，可得结论；
(2)由菱形的性质可得DO=OE，BC⊥DE，OC=2，由直角三角形的性质可求DO的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，EC=AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D=90°，
∴四边形AECD是矩形．
(2)解：∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC=∠DAC．
∵AD/​/BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠BAC=∠ACB．
∴BA=BC=5．
∵EC=2，
∴BE=3．
【解析】(1)首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形；
(2)根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC.根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB.求得∠BAC=∠ACB.根据等腰三角形的性质的BA=BC=5.于是得到结论．
本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
22.【答案】(1)m2+3n2；2mn
(2)7+4 3=(2+ 3)2；
(3)∵a是216的立方根，b是16的平方根，
∴a=6，b=±4，
∴ a+b 2= 6±4 2= (2± 2)2=2± 2．
【解析】【分析】
本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
(1)根据完全平方公式展开，再得出即可；
(2)根据完全平方公式得出即可；
(3)先求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】
解：(1)a+b 3=(m+n 3)2，
∵a+b 3=m2+3n2+2mn 3，
∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2+3n2；2mn；
(2)(3)见答案．
23.【答案】0 2 3−2 1
【解析】解：(1)①∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当m=n时，菱形就是正方形，
∴|m−n|=0，
即菱形的“接近度“=0时，菱形就是正方形，
故答案为：0；
②菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=60°，AC⊥BD，BD=2OB=n，AC=2OA=m，
∴△ABC是等边三角形，∠AOB=90°，
∴m=AC=AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOB中，
OB= AB2−OA2= 22−12= 3，
∴n=2OB=2 3，
∴|m−n|=|2−2 3|=2 3−2，
即菱形的一个内角为60°，则“接近度“=2 3−2，
故答案为：2 3−2；
(2)①∵邻边相等的矩形是正方形，
∴当m=n时，矩形就是正方形，
此时，mn=1，
即矩形的“接近度”=1时，矩形就是正方形，
故答案为：1；
②∵∠BOC=∠AOD=45°，OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=12∠AOD=22.5°，∠OCB=∠OBC=12(180°−∠BOC)=67.5°，
在AB上取一点E，使BE=BC=n，连接CE，如图：
则∠ECB=∠CEB=45°，
∴∠ACE=∠OCB−∠ECB=22.5°，
∴∠OAB=∠ACE，
∴AE=CE，
在Rt△BCE中，cs∠ECB=BCCE= 22，BC=n，
∴CE= 2n，
∴AE= 2n，
∴m=AB=AE+BE= 2n+n=( 2+1)n，
∴mn=( 2+1)nn= 2+1．
(1)①根据对角线相等的菱形是正方形求解即可；
②根据菱形的性质推出△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质及勾股定理求解m、n，即可得解；
(2)①根据邻边相等的矩形是正方形求解即可；
②在AB上取一点E，使BE=BC=n，连接CE，根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形求解m、n，即可得解．
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键．