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    2023-2024学年江西省南昌三中教育集团八年级(下)期中数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年江西省南昌三中教育集团八年级(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年江西省南昌三中教育集团八年级(下)期中数学试卷(含解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.若 a是二次根式,则a的值可以是( )
    A. 0B. −1C. −2D. −3
    2.下列各式中,属于最简二次根式的是( )
    A. 3B. 4C. 12D. 8
    3.已知△ABC的三边分别为a、b、c,下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是( )
    A. ∠A=∠B+∠CB. a:b:c=1:1: 2
    C. ∠A:∠B:∠C=3:4:5D. b2=a2+c2
    4.五根小棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
    A. B. C. D.
    5.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,若平行四边形ABCD的周长为24,EC=2,则CD的长为( )
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8
    6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
    A. AB//DC,AD=BC
    B. AB=BC,AD=CD
    C. AB//DC,AB=DC
    D. AD=BC,AO=CO
    二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
    7.比较大小:2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
    8.已知y= 2x−1+ 1−2x+2,那么xy= ______.
    9.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=125°,则∠1= ______.
    10.如图:AB/​/CD,AD//BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为______.
    11.如图,以直角△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S112.将两个直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AC=DE=6.∠E=30°,∠B=45°.若点C在线段EF上运动(不与E,F重合),在运动的过程中,AC始终经过点D,当CD的长为整数时,则B,D之间的距离为______.
    三、解答题:本题共11小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    13.(本小题6分)
    计算:
    (1)( 3+2)( 3−2);
    (2) 2( 8+ 2).
    14.(本小题6分)
    先化简,再求值:(a+2a−2−8aa2−4)÷a2−2aa+2,其中a=2+ 2.
    15.(本小题6分)
    如图,小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地,其中一边长16m,求其他三边的长度.
    16.(本小题6分)
    如图,在平行四边形ABCD中,∠ADC=125°,∠CAD=21°,求∠ACB和∠CAB的度数.
    17.(本小题6分)
    如图所示,在△ABC中,点D、E分别为AB、AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点.
    (1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
    (2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
    18.(本小题8分)
    如图是由小正方形组成的4×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点在格点上,仅用无刻度直尺在给定的网格中画图(保留画图痕迹);
    (1)判断△ABC的形状是______三角形;
    (2)在图1中,画△ABC的中线CD;
    (3)在图2中,画∠ABC平分线BF.
    19.(本小题8分)
    为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度,某小区进行小范围绿化,要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造,∠A=90°,AB=12m,AD=9m,BC=17m,CD=8m.
    (1)若要在B,D两点间铺一条鹅卵石路,铺设成本为120元/m;最低花费为多少元?
    (2)如果种植草皮的费用是200元/m2,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元?
    20.(本小题8分)
    某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度,通过勘测,得到如下记录表:
    数据处理组得到上面数据以后做了认真分析,他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.请完成以下任务.
    (1)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AB=17.求线段AD的长.
    (2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米,BC长度不变,则他应该再放出多少米线?
    21.(本小题9分)
    阅读材料:
    【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式,例如: 5× 5=5,( 6− 2)( 6+ 2)=6−2=4,我们称 5的一个有理化因式是 5, 6− 2的一个有理化因式是 6+ 2.如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫做分母有理化.例如:1 5=1× 5 5× 5= 55,8 6− 2=8( 6+ 2)( 6− 2)( 6+ 2)=8( 6+ 2)4=2 6+2 2.
    【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题:已知a=12+ 3,求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解答的:
    ∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3,
    ∴a=2− 3,
    ∴(a−2)2=3
    ∴a2−4a+4=3,
    ∴a2−4a=−1,
    ∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.
    请你根据材料中的方法探索并解决下列问题:
    (1) 13的有理化因式是______, 11− 5的有理化因式是______;(均写出一个即可)
    (2)计算:11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+⋯+1 2022+ 2023;
    (3)若a=2 3−1,求3a2−6a+5的值.
    22.(本小题9分)
    如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,把△ABC沿直线DE折叠,点A与点B重合.
    (1)若∠EBC=18°,则∠A的度数为______;
    (2)若AD=6.5,BC=5,求CE的长;
    (3)当△BCE的周长为m(m>0),AB=n(n>0),求△ABC的面积.(用含m、n的代数式表示)
    23.(本小题12分)
    已知▱ABCD,∠BAD=30°,AD⊥BD于点D,且AB=6.点P是射线BA上一动点,过点P作PE⊥BD,交BD所在直线于点E.点Q是射线CD上一动点,且CQ=2AP.设BP的长度为m.

    (1)当点P在边AB上时,
    ①请用含m的代数式表示DE;
    ②当m=3.6时,求证:QE=QD;
    (2)在点P的整个运动过程中,
    ①当m为何值时,△DEQ为直角三角形?
    ②若以QD,QE为邻边构造▱DFEQ.当点F恰好落在▱ABCD的边界上时,直接写出m的值.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:由题意可知:a≥0,
    故选:A.
    二次根式的定义:一般地,我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
    本题考查二次根式的定义,解题的关键是熟练运用二次根式的定义,本题属于基础题型.
    2.【答案】A
    【解析】解:A、 3属于最简二次根式,故本选项符合题意;
    B、 4=2不属于最简二次根式,故本选项不符合题意;
    C、 12= 22不属于最简二次根式,故本选项不符合题意;
    D、 8=2 2不属于最简二次根式,故本选项不符合题意.
    故选:A.
    根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
    本题考查最简二次根式,掌握最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键.
    3.【答案】C
    【解析】解:A、∵∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
    ∴∠A=90°,
    ∴△ABC为直角三角形,故此选项不合题意;
    B、∵( 2)2=12+12,
    ∴能构成直角三角形,故此选项不合题意;
    C、设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°,
    3x+4x+5x=180,
    解得:x=15,
    则5x°=75°,
    ∴△ABC不是直角三角形,故此选项符合题意;
    D、∵b2=a2+c2,
    ∴能构成直角三角形,故此选项不符合题意.
    故选:C.
    根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误;根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误.
    本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
    4.【答案】C
    【解析】解:∵2=225,252=625,
    ∴72+242=252,152+202=252,
    ∴C正确,符合题意;
    72+202≠242,A错误,不符合题意;
    152+202≠242,B错误,不符合题意;
    72+202≠252,242+152≠252,D错误,不符合题意.
    故选:C.
    根据图中所给出的数,找出组成三角形的三边,并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方,每一个图判断两次即可.
    本题考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方.
    5.【答案】A
    【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD/​/BC,AB=CD,AD=BC,
    ∴∠DAE=∠AEB,
    ∵AE平分∠DAB,
    ∴∠DAE=∠EAB,
    ∴∠AEB=∠EAB,
    ∴BE=AB,
    ∵BC−BE=EC,
    ∴BC−AB=2①,
    ∵平行四边形ABCD的周长是24,
    ∴AB+BC=12②,
    ①+②得:2BC=14,
    ∴BC=7,
    ∴AB=CD=5,
    故选:A.
    证BE=AB,则BC−AB=2,再由平行四边形的周长得AB+BC=12,即可求解.
    本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定和性质等知识,熟练掌握平行四边形的性质,证明BE=AB是解题的关键.
    6.【答案】C
    【解析】解:A、AB//DC,AD=BC,由“一组对边平行,另一边相等的四边形”无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项A不符合题意;
    B、AB=BC,AD=CD,由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形ABCD是平行四边形,故选项B不符合题意;
    C、AB//DC,AB=DC,由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C符合题意;
    D、若AB//DC,AB=DC,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可判断四边形ABCD是平行四边形,故选项D不符合题意;
    故选:C.
    分别利用平行四边形的判定方法进行判断,即可得出结论.
    本题考查了平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
    (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
    (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
    (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
    7.【答案】<
    【解析】解:∵(2 3)2=12,(3 2)2=18,
    而12<18,
    ∴2 3<3 2.
    故答案为:<.
    先把两个实数平方,然后根据实数的大小比较方法即可求解.
    此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等.
    8.【答案】14
    【解析】解:由题意可得2x−1≥0,1−2x≥0,
    则x=12,
    那么y=0+0+2=2,
    则xy=(12)2=14,
    故答案为:14.
    利用二次根式有意义的条件求得x,y的值,将其代入xy中计算即可.
    本题考查二次根式有意义的条件,结合已知条件求得x,y的值是解题的关键.
    9.【答案】55°
    【解析】解:在平行四边形ABCD中,∠A=125°,则∠BCD=∠A=125°.
    故∠1=180°−∠BCD=55°.
    故答案为:55°.
    由平行四边形的对角相等的性质得到∠BCD=∠A=125°;然后由邻补角的定义作答.
    本题考查平行四边形的性质,比较简单,解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等的性质.
    10.【答案】20
    【解析】解:作DG⊥BC于G,AH⊥BC于H,
    ∵AD/​/BC,
    ∴AH=DG,
    又∵△DCE的面积为6,
    ∴DG=4,
    ∴AH=4,
    ∵四边形ABCD的面积=梯形ABED的面积−△DCE的面积,
    ∴四边形ABCD的面积=12(5+8)×4−6=20,
    故答案为:20.
    作DG⊥BC,AH⊥BC,根据△DCE的面积为6,求出DG,根据两平行线间的距离相等得到AH的长,再根据梯形ABED面积减去三角形DCE面积得到答案.
    本题考查的是平行线间的距离,掌握两平行线间的距离相等以及面积公式是解题的关键.
    11.【答案】16
    【解析】解:∵△ABC是直角三角形,S1=9,S3=25,
    ∴S2=S3−S1=25−9=16.
    故答案为:16.
    直接根据勾股定理的几何意义即可得出结论.
    本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键.
    12.【答案】3 5或2 10或 37
    【解析】解:∵∠B=45°,∠A=∠EDF=90°,AC=6,
    ∴∠ACB=45°,则AB=AC=6,
    过点D作DG⊥EF,连接BD,
    ∵∠E=30°,
    ∴DE=6,
    ∴DG=12DE=3,
    ∴3≤CD<6,
    ∵CD的长为整数,
    ∴CD=3或CD=4或CD=5,
    当CD=3时,AD=3,则BD= AD2+AB2=3 5;
    当CD=4时,AD=2,则BD= AD2+AB2=2 10;
    当CD=5时,AD=1,则BD= AD2+AB2= 37;
    综上,B,D之间的距离为3 5或2 10或 37,
    故答案为:3 5或2 10或 37.
    由题意可知,AB=AC=6,过点D作DG⊥EF,利用含30°的直角三角形可得DG=12DE=3,进而可知3≤CD<6,再根据CD的长为整数,可知CD=3或CD=4或CD=5,求出此时AD的长,利用勾股定理即可求解.
    本题考查勾股定理,垂线段最短,含30°的直角三角形的性质,根据垂线段最短,得3≤CD<6是解决问题的关键.
    13.【答案】解:(1)原式=( 3)2−22
    =3−4
    =−1;
    (2)原式= 2×8+ 2×2
    =4+2
    =6.
    【解析】(1)利用平方差公式进行计算;
    (2)利用单项式乘多项式的运算法则进行计算.
    本题考查二次根式的混合运算,理解二次根式的性质,掌握平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键.
    14.【答案】解:(a+2a−2−8aa2−4)÷a2−2aa+2
    =[(a+2)2(a−2)(a+2)−8a(a+2)(a−2)]÷a(a−2)a+2
    =a2+4a+4−8a(a+2)(a−2)⋅a+2a(a−2)
    =a2−4a+4(a+2)(a−2)⋅a+2a(a−2)
    =(a−2)2(a+2)(a−2)⋅a+2a(a−2)
    =1a,
    当a=2+ 2时,原式=12+ 2=2− 2(2+ 2)(2− 2)=2− 22.
    【解析】先根据分式的减法法则进行计算,再根据分式的除法法则把除法变成乘法,算乘法,最后代入求出答案即可.
    本题考查了分式的化简求值和分母有理化,能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键,注意运算顺序.
    15.【答案】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=CD,AD=BC,
    ∵周长为50,
    ∴AB+BC=25,
    ∵一边长为16m,
    ∴另一边长为9m,
    ∴其他三边的长为9m,16m,9m.
    【解析】根据平行四边形的对边相等利用周长和一边的长求得其余各边的长度即可.
    本题主要考查了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等.比较简单,属于平行四边形的基础知识,难度不大.
    16.【答案】解:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=125°,
    ∴AB/​/CD,∠ABC=∠ADC=125°,
    ∴∠ADC+∠DAB=180°,则∠DAB=180°−125°=55°.
    又∵∠CAD=21°,
    ∴∠CAB=∠DAB−∠CAD=55°−21°=34°.
    综上所述,∠ABC、∠CAB的度数分别是125°、34°.
    【解析】根据平行四边形的对角相等,对边相互平行以及平行线的性质进行解答.
    本题考查了平行四边形的性质.此题利用的性质是:平行四边形的对角相等、对边相互平行.
    17.【答案】(1)证明:∵点D、E分别为AB、AC的中点,点G、F分别为BH、CH的中点,
    ∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,
    ∴DE/​/BC,DE=12BC,GF/​/BC,GF=12BC,
    ∴DE/​/GF,DE=GF,
    ∴四边形DEFG为平行四边形;
    (2)解:∵四边形DEFG为平行四边形,
    ∴DG=EF=2,
    ∵DG⊥BH,
    ∴∠DGB=90°,
    ∴BG= BD2−DG2= 32−22= 5,
    即线段BG的长度为 5.
    【解析】(1)由三角形中位线定理得DE/​/BC,DE=12BC,GF/​/BC,GF=12BC,则DE/​/GF,DE=GF,再由平行四边形的判定即可得出结论;
    (2)由平行四边形的性质得DG=EF=2,再由勾股定理求出BG的长即可.
    本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
    18.【答案】直角
    【解析】解:(1)由图可知:AB= 22+42=2 5,BC= 12+22= 5,AC= 32+42=5,
    ∴AB2+BC2=25=AC2,
    ∴△ABC是直角三角形;
    故答案为:直角;
    (2)如图1,CD即为所求;
    (3)如图,BF即为所求;

    (1)利用勾股定理及其逆定理进行求解即可;
    (2)取AB的中点D,连接CD,即可;
    (3)取CD的中点,连接B与CD的中点并延长角AC于点F即可.
    本题考查勾股定理及其逆定理,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,利用相关性质进行作图是解题的关键.
    19.【答案】解:(1)如图,连接BD,

    ∵∠A=90°,AB=12m,AD=9m,
    ∴BD= AB2+AD2= 122+92=15(m),
    ∵铺设成本为120元/m,
    ∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15=1800(元);
    (2)∵CD=8m,BC=17m,BD=15m,
    ∴CD2+BD2=82+152=289=172=BC2,
    ∴∠BDC=90°,
    ∴整块空地的面积为:S△ABD+S△BCD=12×9×12+12×15×8=114(m2),
    ∵种植草皮的费用是200元/m2,
    ∴整块空地上种植草皮共需投入114×200=22800(元).
    【解析】(1)连接BD,再利用勾股定理先求解BD=15,从而可得答案;
    (2)先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°,可得整块空地的面积为:S△ABD+S△BCD=114m2,再计算总费用即可.
    本题考查的是勾股定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解题的关键.
    20.【答案】解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15米,AB=17米,
    由勾股定理,可得:
    AC= AB2−BC2= 172−152=8(米),
    AD=AC+CD=8+1.8=9.8(米).
    答:线段AD的长为9.8米.
    (2)如图,当风筝沿DA方向再上升12米,A′C=20米,

    在Rt△A′BC中,∠A′CB=90°,BC=15米,
    由勾股定理,可得A′B= A′C2+BC2= 202+152=25(米),
    则应该再放出25−17=8(米),
    答:他应该再放出8米长的线.
    【解析】(1)利用勾股定理求出的AC长,再加上CD的长度,即可求出AD的高度;
    (2)根据勾股定理计算即可得到结论.
    本题考查了用勾股定理解决实际问题,解题的关键是熟练掌握勾股定理,在一个直角三角形中,两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
    21.【答案】 13 11+ 5
    【解析】解:(1)∵ 13× 13=13,( 11− 5)( 11+ 5)=6,
    故答案为: 13, 11+ 5;
    (2)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+⋯+1 2022+ 2023
    = 2−1(1+ 2)( 2−1)+ 3− 2( 2+ 3)( 3− 2)+⋯+ 2023− 2022( 2022+ 2023)( 2023− 2022)
    = 2−1+ 3− 2+⋯+ 2023− 2022
    = 2023−1;
    (3)∵a=2 3−1=2( 3+1)( 3−1)( 3+1)= 3+1.
    ∴a= 3+1
    ∴(a−1)2=3,
    ∴a2−2a+1=3,
    ∴a2−2a=2
    ∴3a2−6a+5=3(a2−2a)+5=3×2+5=11.
    (1)根据互为有理化因式的定义,即可求解,
    (2)将所求式子,进行分母有理化,即可求解,
    (3)参照学习材料二的步骤即可求解.
    本题考查了平方差公式的运用,分母有理化,解题的关键是:利用平方差公式,进行分母有理化.
    22.【答案】36°
    【解析】解:(1)由折叠的性质可得∠EBD=∠A,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠A+∠ABC=90°,
    ∴∠A+∠ABE+∠EBC=90°,
    ∴2∠A+18°=90°,
    ∴∠A=36°,
    故答案为:36°;
    (2)由折叠的性质可得AE=BE,AD=BD=6.5,
    ∴AB=AD+BD=13,
    在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= AB2−BC2=12,
    设CE=x,则AE=BE=12−x,
    在Rt△EBC中,由勾股定理得BE2=CE2+BC2,
    ∴(12−x)2=x2+52,
    解得x=11924,
    ∴CE=11924;
    (3)∵△BCE的周长为m(m>0),
    ∴BC+CE+BE=m,
    由折叠的性质得AE=BE,
    ∴BC+CE+AE=m,
    ∴BC+AC=m,
    ∴AC=m−BC,
    ∴S△ABC=12AC⋅BC=12BC(m−BC)=12BC⋅m−12BC2,
    在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
    ∴(m−BC)2+BC2=n2,
    ∴m2−2BC⋅m+2BC2=n2,
    ∴−2BC2+2BC⋅m=m2−n2,
    ∴12BC⋅m−12BC2=m2−n24,
    ∴S△ABC=m2−n24.
    (1)由折叠的性质得到∠EBD=∠A,再根据三角形内角和定理得到2∠A+18°=90°,由此即可得到答案;
    (2)由折叠的性质可得AE=BE,AD=BD=6.5,则AB=13,勾股定理得AC=12,设CE=x,则AE=BE=12−x,由勾股定理得(12−x)2=x2+52,解方程即可得到答案;
    (3)根据三角形周长公式得到BC+CE+BE=m,由折叠的性质得AE=BE,由此得到AC=m−BC,再根据三角形面积公式得到S△ABC=12BC⋅m−12BC2,利用勾股定理推出12BC⋅m−12BC2=m2−n24,则S△ABC=m2−n24.
    本题主要考查了折叠性质,勾股定理,三角形内角和定理,熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键.
    23.【答案】(1)①解:∵PE⊥BD,AD⊥BD,
    ∴PE/​/AD,
    又∵∠BAD=30°,
    ∴∠BPE=30°,
    ∴BE=12BP=12m.
    ∵AB=6,AD⊥BD,∠BAD=30°,
    ∴BD=12AB=3,
    ∴DE=BD−BE=3−12m;
    ②证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴CD=AB=6,AB/​/CD,
    ∵AB=6,BP=m,
    ∴AP=6−m,
    ∵CQ=2AP,
    ∴CQ=12−2m,
    ∴DQ=|CD−CQ|=|6−(12−2m)|=|2m−6|,
    ∴当m=3.6,DQ=|2m−6|=1.2,DE=3−12m=1.2,
    ∴DQ=DE,
    ∵AD⊥BD,∠BAD=30°,
    ∴∠ABD=60°,
    又∵AB/​/CD,
    ∴∠EDQ=∠ABD=60°,
    ∴△DEQ是等边三角形,
    ∴QE=QD;
    (2)解:①(i)当P在边AB上时,点Q在CD上即3∴DE=3−12m,DQ=2m−6.
    当∠DQE=90°时,如图1所示:

    ∵∠EDQ=60°,∠DQE=90°,
    ∴DQ=12DE,
    即:2m−6=12(3−12m),
    解得m=103;
    当∠DEQ=90°时,如图2所示:

    ∵∠EDQ=60°,∠DEQ=90°,
    ∴DQ=2DE,
    即:2m−6=2(3−12m),
    解得m=4;
    (ii)当P在边AB的延长线上时,点Q在CD的延长线上即m>9,否则∠EDQ=120°不可能构成直角三角形,
    则同理可得:DE=12m−3,DQ=2m−18.
    当∠DQE=90°时,如图3所示:

    ∵∠EDQ=60°,∠DQE=90°,
    ∴DQ=12DE,
    即:2m−18=12×(12m−3),
    解得m=667;
    当∠DEQ=90°时,如图4所示:

    ∵∠EDQ=60°,∠DEQ=90°,
    ∴DQ=2DE,
    即:2m−18=2(12m−3),
    解得m=12,
    综上所述:当m=103,4,667,12时,△DEQ为直角三角形.
    ②当点F在AD上时,情况同(2)①的第二种情况,此时m=4,
    当点F在BC上时,如图5所示:

    同理可得:BE=12m,EF=QD=2m−6,
    ∵EF/​/CD,
    ∴∠BEF=∠BDC=60°,
    ∴EF=2BE,即2×12m=2m−6,
    解得:m=2,
    综上所述:m=2或4.
    【解析】(1)①利用△BPE是含30°的直角三角形求出BE,再用BD−BE即可求;
    ②求出QD,可得DE=QD,从而得出△DEQ是等边三角形,从而得证.
    (2)①P在边AB上和当P在边AB的延长线上两种情况讨论,分别求出m的值;
    ②分点F在AD和BC两种情况讨论,利用含30°的直角三角形的性质可得结果.
    本题考查平行四边的性质,等边三角形的判定与性质,含30°的直角三角形的性质,用m表示各边长和分类讨论时解题的关键.测量示意图
    测量数据
    边的长度
    ①测得水平距离BC的长为15米.
    ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米.
    ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.8米.
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