87，江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练一

这是一份87，江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练一，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知向量a，b满足a+b=a=2b=2，则csa,b=（ ）
A．−14B．14C．−13D．13
2．（本题5分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是（ ）
A．A1BB．A1DC．AC1D．A1C
3．（本题5分）有一组数据：1,1,2,2,3,3,4,4,4,4，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．极差
4．（本题5分）已知函数f(x)=lg2(2−x),x<1ex,x≥1则f(−2)+f(ln4)=（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（本题5分）若x>16，y>0，且x+y=13，则16x−1+6y的最小值是（ ）
A．43B．49C．39D．36
6．（本题5分）已知函数fx=ax−xlnx与函数gx=ex−1的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,1−eB．−∞,1−e2C．−∞,1−eD．−∞,1−e2
7．（本题5分）焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A，点B在抛物线C上且在第一象限，在△ABF中，3sin∠AFB=4sin∠FAB，则cs∠FBA=（ ）
A．−7+3212B．7−3212C．7+3212D．−7−3212
8．（本题5分）已知锐角αα≠50°满足3cs140°−α⋅csα+sin100°+α=sinα−20°，则cs2α=（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 A．13B．−13C．−33D．33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M,N，若P为其图象上任意一点，则（ ）
A．y=−x是它的一条对称轴B．它的离心率为2
C．点2,2是它的一个焦点D．PM−PN=22
10．（本题6分）甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件F与G是互斥事件B．事件E与事件G不相互独立
C．PG=1330 D．PG|E=12
11．（本题6分）已知定义域为R的函数fx满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)−f(2−x)f(2−y)，且f0≠0,f−2=0，则（ ）
A．f2=1
B．fx是偶函数
C．[f(x)]2+[f(2+x)]2=1
D．f1+f2+f3+⋯+f2024=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）若复数z=10−5i2+i+3−4i，则z= ．
13．（本题5分）在△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60°，点D在线段BC上，BD=2DC，则AD= ．
14．（本题5分）在三棱锥P−ABC中，PB=PC=2PA=2，且∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点，∠BEF=90∘，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．
(1)根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
(2)已知A队与B队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记X为A队在总决赛中获胜的场数．求X的分布列和期望EX．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d．
16．（本题15分）已知定义在0,π上的函数fx=cs2x+sinx．
(1)求fx的极大值点；
(2)证明：对任意x∈0,1，fx>14x4−x2+1．
17．（本题15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PAB,AB ∥ DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F，且PA=AB=AD=2CD=2，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：PB=BD；条件②：PA⊥BC.
(1)求证：AB ∥ EF；
(2)求点P到平面DCEF的距离；
(3)已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值.
18．（本题17分）已知an为等差数列，前n项和为Tn，若T4=4T2,a2n=2an+1.
(1)求an；
(2)对任意的m∈N*，将an中落入区间2m,22m内项的个数记为bm.
①求bm；
②记cm=222m−1−bm, cm的前m项和记为Tm，是否存在m,t∈N*，使得Tm−tTm+1−t=1ct+1成立？若存在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
19．（本题17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆C1的“特征三角形”为△1，椭圆C2的“特征三角形”为△2，若△1∽△2，则称椭圆C1与C2“相似”，并将△1与△2的相似比称为椭圆C1与C2的相似比．已知椭圆C1：x22+y2=1与椭圆C2：x2a2+y2b2=1a>b>0相似．
(1)求椭圆C2的离心率；
(2)若椭圆C1与椭圆C2的相似比为λλ>0，设P为C2上异于其左、右顶点A1，A2的一点．
①当λ=22时，过P分别作椭圆C1的两条切线PB1，PB2，切点分别为B1，B2，设直线PB1，PB2的斜率为k1，k2，证明：k1k2为定值；
②当λ=2时，若直线PA1与C1交于D，E两点，直线PA2与C1交于M，N两点，求DE+MN的值．
参考答案：
1．A
【详解】由a+b=2，得a2+2a⋅b+b2=4，又a=2b=2，解得a⋅b=−12，
于是csa,b=a⋅bab=−14．
故选：A.
2．D
【详解】
连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,AC，如下图所示：
因为P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，故MP//AB1，B1D1//MN，
又MP⊄面AB1D1,AB1⊂面AB1D1，故MP//面AB1D1；
又MN⊄面AB1D1,B1D1⊂面AB1D1，故MN//面AB1D1；
又MP∩MN=M,MP,MN⊂面MNP，故面MNP//面AB1D1；
则垂直于平面MNP的直线一定垂直于面AB1D1；
显然CC1⊥面A1B1C1D1,B1D1⊂面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，
又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1⊂面A1C1C，
故B1D1⊥面A1C1C，又A1C⊂面A1C1C，故A1C⊥B1D1；
同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂面AB1D1，
故A1C⊥面AB1D1，也即A1C⊥面MNP；
若其它选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1C平行，显然都不平行.
故选：D.
3．A
【详解】原数据的平均数、众数、中位数、极差分别为2.8,4,3,3.
若去掉一个1后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为279,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个2后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为269,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个3后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为259,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个4后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为249,4,3,3.
所以平均数、众数、中位数、极差不变.
所以一定变化的是平均数.
故选：A
4．C
【详解】f−2=lg24=2，fln4=eln4=4，故f(−2)+f(ln4)=6，
故选：C.
5．B
【详解】因为x>16，所以6x−1>0， 已知y>0，
由x+y=13，得6x−1+6y=1，
则16x−1+6y=16x−1+6y6x−1+6y=1+6y6x−1+66x−1y+36
≥37+26y6x−1⋅66x−1y=49，
当且仅当6y6x−1=66x−1y，则由6x−1=y6x−1+6y=1，解得x=421y=17，
即当且仅当x=421,y=17时，等号成立.
所以16x−1+6y的最小值为49.
故选：B.
6．C
【详解】因为函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，
所以−fx=gx，
即−ax+xlnx=ex−1有两解，
所以a=xlnx−ex+1x有两解，
令ℎx=xlnx−ex+1x，
则ℎ′x=ex−11−xx2，
所以当x∈0,1时，ℎ′x>0，此时函数ℎx在0,1上单调递增；
当x∈1,+∞时，ℎ′x<0，函数ℎx在1,+∞上单调递减，
所以ℎx在x=1处取得极大值，ℎ1=1−e，
且x∈0,1时，ℎx的值域为−∞,1−e，
x∈1,+∞时，ℎx的值域为−∞,1−e，
因此a=xlnx−ex+1x有两解时，实数a的取值范围为−∞,1−e，
故选：C.
7．C
【详解】过点B作准线的垂线，垂足为H，作x轴的垂线，垂足为E，
则由抛物线的定义可得BF=BH，由3sin∠AFB=4sin∠FAB，
在△ABF 中，由正弦定理可知：AB=43BF=43BH，即AH=73BH，
则sin∠BAF=|AH||AB|=74，cs∠BAF=34，
sin∠BFE=|AH||BH|=73，cs∠BFE=23，
所以 cs∠FBA=cs∠BFE−∠BAF=cs∠BFEcs∠BAF+sin∠BFEsin∠BAF
=34×23+74×73=32+712故选：C.
8．B
【详解】由3cs140°−α⋅csα+sin100°+α=sinα−20°，
可得3cs180°−40°−α⋅csα+sin180°−80°+α=sinα−20°，
可得−3cs40°+α⋅csα+sin80°−α=sinα−20°，
所以−3cs40°+α⋅csα+cs10°+α=sinα−20°
可得−3cs40°+α⋅csα+cs[30°−(20°−α)]=sinα−20°
即−3cs40°+α⋅csα+32cs(20°−α)+12sin(20°−α)=sinα−20°，
可得−3cs40°+α⋅csα=32sinα−20°−32cs(α−20°)=3sin(α−20°−30°)
=−3sin(50°−α)=−3cs(40°+α)，
所以csα=33，则cs2α=2csα−1=2×(33)2−1=−13.
故选：B.
9．ABD
【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，
容易知道y=x是实轴，y=−x是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程y=x与反比例函数表达式y=1x得实轴顶点1,1,−1,−1，
所以a=2,c=2，其中一个焦点坐标应为2,2而不是2,2，
由双曲线定义可知PM−PN=2a=22．
故选：ABD.
10．BCD
【详解】对于A，事件F与G不是互斥事件，A错误；
对于C，PG=C31C51×C31C61+C21C51×C21C61=1330，故C正确；
对于D，PG|E=PEGPE=35×3635=12，故D正确；
对于B，因为PEG=35×36=310，PEPG=35×1330=1350，则PEG≠PEPG，所以事件E与事件G不相互独立，故B正确．
故选：BCD.
11．BC
【详解】A.fx+y=fx⋅fy−f2−x⋅f2−y，
令x=0,y=2，则f2=f0⋅f2−f2⋅f0=0，故A错误；
令x=y=0，则f0=f0⋅f0−f2⋅f2=f0⋅f0，又f0≠0，所以f0=1，
令y=2，则fx+2=fx⋅f2−f2−x⋅f0=−f2−x，
所以函数fx关于2,0对称，
令x=y=2，则f4=f2⋅f2−f0⋅f0=−1，
令y=4，且f−2=0，则fx+4=fx⋅f4−f2−x⋅f−2=−fx=−f−x，所以fx=f−x，
又函数fx的定义域R，所以函数fx为偶函数，故B正确；
令y=−x，则f0=fx⋅f−x−f2−x⋅f2+x，
又f0=1,fx=f−x,fx+2=−f2−x，所以fx]2+f2+x]2=1，故C正确；
因为fx+4=−fx，所以fx+8=−fx+4=fx，所以函数fx的一个周期为8，
令x=2,y=1，则f3=f2⋅f1−f0⋅f1=−f1，所以f3+f1=0，
所以f−3+f−1=0，所以f5+f7=f−3+f−1=0，
f6=f−2=f2=0,f8=f0=1，
所以f1+f2+f3+f4+f5+f6+f7+f8
=f1+f3+f5+f7+f2+f4+f6+f8=0+0+0−1+0+1=0，
所以f1+f2+f3+⋯+f2024=253×f1+f2+f3+⋯+f8=0，故D错误.
故选：BC
12．45
【详解】z=10−5i2+i+3−4i=52−i2−i2+i2−i+5=53−4i5+5=8−4i,
z=82+−42=45,
故答案为：45
13．2313
【详解】在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC，
所以BC2=7，所以BC=7；csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=714，
且BD=237；在△ABD中，由余弦定理可得：
AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，所以AD2=4+289−43=529，
所以AD=2313.
故答案为：2313
14． 10π 10+52
【详解】如图，∠APB=∠BPC=∠CPA，且PB=PC=2PA=2，故PA=2，
可得△PAB≅△PAC，则AC=AB，取BC中点D，连接AD,PD，
则AD⊥BC,PD⊥BC，又AD∩PD=D，AD,PD⊂面ADP，可得BC⊥面ADP
又PA⊂面ADP，则BC⊥PA，又E,F分别是PC,AC的中点，连接EF，则PA//EF
由题意得∠BEF=90∘，故EF⊥BE，PA⊥BE，又BE∩BC=B，
BE,BC⊂面BEC，故PA⊥面BEC，又PA⊥BP，则∠APB=90∘，
可得∠APB=∠BPC=∠CPA=90∘，则PA,BP,PC两两垂直，
故以PA,BP,PC作长方体，如图所示，
则该长方体外接球即为所求三棱锥P−ABC的外接球，连接PM，
其中点O为所求外接球的球心，设其半径为R，
可得(2R)2=22+22+(2)2，故4R2=10，解得R=102，而S=4πR2=10π，
设该三棱锥内切球半径为r，球心为O1，连接O1B,O1A,O1C,O1P,，
则VP−ABC=VO1−ABC+VO1−PAC+VO1−PBC+VO1−PAB，
可得13×PA×S△PBC=13×r×S△ABC+13×r×S△PAB+13×r×S△PAC+13×r×S△PBC，
故PA×S△PBC=(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)r，
而AB=22+(2)2=6，CB=22+22=22，AC=22+(2)2=6，
易知O1是CB的中点，由CB=AB，得CB⊥AO1，故得BO1=12BC=2，
而由勾股定理得AO1=2，则S△ABC=12×2×22=22，
故可将PA×S△PBC=(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)r一式化为12×2×2×2=(22+12×2×2+12×2×2+12×2×2)r，
解得r=222+1，而半径比为Rr=102222+1=10+52，
故答案为：10π；10+52
15．(1)没有
(2)分布列见解析，711256
【详解】（1）由题意可得列联表如下：
故K2=60×25×10−20×5230×30×45×15=2.222<2.706，
则没有有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关；
（2）由题意可知X的可能取值为0,1,2,3，A队在前4场中获胜的概率为4560=34，
则PX=0=C33143=164，PX=1=C31341×142×14=9256，
PX=2=C42342×142×12=27256，
PX=3=C33343+C32342×14×34+C42×342×142×12=2732，
所以X的分布列为：
故E(X)=0×164+1×9256+2×27256+3×2732=711256.
16．(1)fx有两个极大值点，为x=π6和x=5π6
(2)证明见解析
【详解】（1）f′x=−2sinxcsx+csx=csx1−2sinx，
由csx1−2sinx=0 ⇒ csx=0或sinx=12，x∈0,π，所以x=π2或π6或5π6.
所以x变化时，f′x与fx的变化情况如下表：
故fx有两个极大值点，为x=π6和x=5π6.
（2）令ℎx=cs2x+sinx−14x4+x2−1，
ℎ′x=csx1−2sinx+2−x2x，
①当x∈0,12时，因为00成立，
②令rx=−x3+2x，则r′x=−3x2+2，令r′x>0 ⇒ −63故rx在12,63上单调递增，63,1上单调递减，
又r12=−18+1=78，r1=−1+2=1，所以当x∈12,63时rx>78，当x∈63,1时，rx>1.
所以：当x∈12,63时，ℎ′x>78+csx1−2sinx，
令Fx=x−sinx，则F′x=1−csx≥0恒成立，故Fx>F0=0，
进一步ℎ′x>78+csx1−2x>158−2x>0；
③当x∈63,1时，因为rx>1.
所以ℎ′x>1+csx1−2sinx>2−2x>0，
综上所述，ℎ′x>0在x∈0,1上恒成立，则ℎx>ℎ0=0，
也即fx>14x4−x2+1成立．
17．(1)证明见解析
(2)255
(3)13
【详解】（1）选择条件①：
（1）因为AB ∥ DC,AB⊄平面DCEF,DC⊂平面DCEF，
所以AB ∥平面DCEF.
又因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面DCEF=EF，
所以AB ∥ EF.
选择条件②：解法同上
（2）选择条件①：
因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB，
所以AD⊥PA,AD⊥AB.
又因为PB=BD,PA=AB=AD=2CD=2，
所以△PAB≌△DAB.
因此∠PAB=∠DAB=90∘，即AB,AD,AP两两垂直.
如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以D0,2,0,C1,2,0,P0,0,2,B2,0,0.
由（1），得AB ∥ EF，且E为棱PB的中点，
所以点F为棱PA的中点.E1,0,1,F0,0,1，
故FP=0,0,1,DF=0,−2,1,CD=−1,0,0.
设平面DCEF的一个法向量为n=x,y,z，
则DF⋅n=−2y+z=0CD⋅n=−x=0，
取y=1，则x=0,z=2，即n=0,1,2.
所以点P到平面DCEF的距离d=FP⋅nn=255.
选择条件②：
因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB
所以AD⊥PA,AD⊥AB，
又因为PA⊥BC,BC与AD相交，BC,AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，
即AB,AD,AP两两垂直.
以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；
（3）选择条件①：
设PMPC=λ,λ∈0,1，
则PM=λPC=λ1,2,−2=λ,2λ,−2λ.
所以BM=BP+PM=λ−2,2λ,2−2λ.
设直线BM与平面DCEF所成角为θ，
所以sinθ=csBM,n=|BM⋅n||BM||n|=|0+2λ+4−4λ|(λ−2)2+(2λ)2+(2−2λ)2⋅5=23；
化简得9λ2−6λ+1=0，解得λ=13，
即PMPC=13.
选择条件②：解法同上
18．(1)an=2n−1
(2)①bm=22m−1−2m−1；②存在，mt=9.
【详解】（1）设an的公差为d,由T4=4T2可得4a1+6d=42a1+d，即2a1−d=0①，
又由a2n=2an+1可得a1+2n−1d=2a1+n−1d+1,即a1−d+1=0②
联立① ②解得：a1=1,d=2,∴an=2n−1；
（2）①2m<2n−1<22m，即2m+12∵n∈N*,∴2m−1+1≤n≤22m−1,∴bm=22m−1−(2m−1+1)+1=22m−1−2m−1.
②由①得cm=22m−1=12m−2,易知cm是等比数列，首项为2，公比为12，故Tm=21−(12)m1−12=41−(12)m，
由Tm−tTm+1−t=1ct+1得：Tm+1−tTm−t=ct+1, Tm−t+cm+1Tm−t=ct+1，cm+1Tm−t=ct, ∴Tm−t=cm+1ct=12m+1−t
∴4−4⋅12m−t=12m⋅121−t，
∴12m=4−t4+121−t,∵12m>0,4+121−t>0,∴4−t>0,∵t∈N*∴t∈1,2,3，
t=1时，解得12m=35⇒m=lg1235∉Z（舍）；
t=2时，解得12m=13⇒m=lg1213∉Z（舍）；
t=3时，解得12m=18⇒m=3∈Z；
所以存在这样的m=3t=3，满足所给的条件，mt=9.
19．(1)22
(2)①证明见解析；②32
【详解】（1）对于椭圆C1：x22+y2=1，则长轴长为22，短轴长为2，焦距为2，
椭圆C2：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2a2−b2，
依题意可得2a=22a2−b2，所以ba=22，
则椭圆C2的离心率e=a2−b2a2=1−b2a2=1−222=22.
（2）①由相似比可知，2a=22a2−b2=22，解得a=2b=2，所以椭圆C2：x24+y22=1，
设Px0,y0，则直线PB1的方程为y−y0=k1x−x0，即y=k1x+y0−k1x0，
记t=y0−k1x0，则PB1的方程为y=k1x+t，
将其代入椭圆C1的方程，消去y，得2k12+1x2+4k1tx+2t2−2=0，
因为直线PB1与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ=4k1t2−42k12+12t2−2=0，即2k12−t2+1=0，
将t=y0−k1x0代入上式，整理得x02−2k12−2x0y0k1+y02−1=0，
同理可得x02−2k22−2x0y0k2+y02−1=0，
所以k1,k2为关于k的方程x02−2k2−2x0y0k+y02−1=0的两根，
所以k1k2=y02−1x02−2．
又点Px0,y0在椭圆C2:x24+y22=1上，
所以y02=2−12x02，
所以k1k2=2−12x02−1x02−2=−12，为定值．
②由相似比可知，2a=22a2−b2=2，解得a=1b=22，所以椭圆C2：x2+2y2=1，
其左、右顶点分别为A1−1,0，A21,0，恰好为椭圆C1的左、右焦点，
设Px3,y3，易知直线PA1、PA2的斜率均存在且不为0，
所以kPA1kPA2=y3x3+1⋅y3x3−1=y32x32−1，
因为Px3,y3在椭圆C2上，所以x32+2y32=1，即x32−1=−2y32，
所以kPA1kPA2=y32x32−1=−12．
设直线PA1的斜率为k，则直线PA2的斜率为−12k，
所以直线PA1的方程为y=kx+1．
由y=kx+1x22+y2=1，得1+2k2x2+4k2x+2k2−2=0，
设Dx4,y4，Ex5,y5，则x4+x5=−4k21+2k2，x4x5=2k2−21+2k2，
所以DE=1+k2x4−x5 =1+k2x4+x52−4x4x5
=1+k2−4k21+2k22−4×2k2−21+2k2=221+k21+2k2，
同理可得MN=221+−12k21+2−12k2=21+4k21+2k2，
所以DE+MN=221+k21+2k2+21+4k21+2k2=32．
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
PK2≥k
0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024
A队胜
A队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
X
0
1
2
3
P
164
9256
27256
2732
x
0,π6
π6
π6,π2
π2
π2,5π6
5π6
5π6,π
f′x
＋
0
－
0
＋
0
－
fx
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值
↘