2024年山东省济南市历下区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间120分钟 满分 150分
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题 （本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 16的算术平方根是( )
A. 4B. -4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．
3. 2024年清明假期，济南天下第一泉景区接待游客约56.6万人次．数据56.6万用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：56.6万．
故选：C．
4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得出，进而．
【详解】由图知，
∴
故选：B
【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．
5. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
6. 如果，那么下列运算不正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：因为，
两边都加上y，得，
所以A正确；
因为，
两边都减去3，得．
所以B不正确；
因为，
两边都乘以2，得．
所以C正确；
因为，
得．
所以D正确．
故选：B．
7. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，需招募两名宣传员．现从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求概率，正确的画出树状图或表格是解题的关键．先列出表格得到所有等可能的结果数，再找到恰好是一男一女的结果数，最后根据概率的计算公式计算即可．
【详解】解：两名男生用表示，两名女生用表示，所有结果列表格如下：
由表格可知，一共有12种结果，其中恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为，
故选：C．
8. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，．以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：由作图知平分，，
，
在与中，
，
，
，
故选：C．
9. 已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息；
根据函数图象可得的值，再根据题意设设直线的解析式为，设直线的解析式为利用待定系数法可知的函数解析式进而即可解答．
【详解】解：由图可知，出租车从甲地到乙地的路程为，所用时间为，
∴出租车的速度为，出租车从乙地到甲地的时间为，
∴，
∵货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地，
∴，
如图，设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴两车相遇的时间为，
故选：
10. 已知点，是二次函数 图象上的任意两点．若对于，，都有 ，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数的对称性等知识，求出抛物线的开口方向和对称轴，由题意可得出，连线的垂直平分线与x轴的交点的横坐标大于3，且的最大值小于2，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】解：二次函数 图象开口向上，对称轴为直线，
当时，，
∴当时，，
∵点，是二次函数 图象上的任意两点，对于，，都有 ，
∴M到对称轴的距离小于N到对称轴的距离，
∴，
解得，
故选：B．
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题 （本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式：x2+6x+9=___．
【答案】（x+3）2
【解析】
【详解】试题分析：直接用完全平方公式分解即可：x2+6x+9=（x+3）2．
12. 在一个不透明的口袋中，装有2个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是黄球的概率为 ，则口袋中黄球有___________个．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的公式，分式方程的应用，设黄球有x个，再根据概率公式可得，求出解即可．
【详解】解：设黄球有x个，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以口袋中黄球有6个．
故答案为：6．
13. 若m是大于 且小于 一个整数，则m的值可以是_________（写出一个即可）．
【答案】2或3
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握估算的方法是解本题的关键，根据，从而可得答案．
【详解】解：∵，m是大于 且小于 的一个整数，
∴或，
故答案为：2或3
14. 若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的,则这个多边形的边数为___.
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：设外角是x度，则相邻的内角是2x度．
根据题意得：x+2x=180，
解得x=60．
则多边形的边数是：360÷60=6，
故答案为6．
15. 如图， 在中， ，将 绕点 A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分不是规则图形，也不是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求，利用割补法，则阴影部分的面积扇形扇形即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
∴阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积
．
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】连接，利用四点共圆，，结合正切函数计算即可．
本题考查了正方形的性质，四点共圆，余角性质，正切函数，熟练掌握四点共圆，余角性质，正切函数是解题的关键．
【详解】∵正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
连接，
∵，，
∴四点共圆，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题 （本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值的意义、负整数指数幂的意义、以及特殊角的三角函数值化简，再算加减即可熟练掌握绝对值的意义、负整数指数幂的意义、以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【详解】解： 原式
．
18. 解不等式组： 并写出它的所有非负整数解．
【答案】 ；非负整数解为0，1， 2，3
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可．
【详解】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
∴非负整数解为：0， 1， 2， 3．
19. 如图， 在中， 对角线，相交于点O， 过点O的直线分别交，于点E ， F ．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，先根据平行四边形的性质得，根据平行线得性质可得再结合“”证明即可.
【详解】∵四边形为平行四边形
∴，
∴
在和中，

∴ ，
∴．
20. 为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．
【收集数据】
本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．
【整理数据】
a．图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8．
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
（1）______，______．
（2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小______；
（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比．
【答案】（1）8，7 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
（1）分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据数据的波动情况判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：∵出现了3次，出现的次数最多，
∴众数8，即；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：，
中位数是；
故答案为：8，7；
【小问2详解】
从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以，
故答案为：；
【小问3详解】
人，
七八年级各200人，
人，
九年级160人，
，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为．
21. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下：
（1）按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）；
（2）按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）．
【答案】（1）18 （2）旗杆的高约为18米
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化成数学问题是解决问题的关键．
（1）过A作于E，得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，设米，得到，解直角三角形即可得到结论．
【小问1详解】
解：（1）过A作于E，
则，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18；
【小问2详解】
在中，，
∴，
∴，
设米，
根据题意得，四边形矩形，
∴，
则，
在中，，，
∴，
解得：，
∵平行线间的距离处处相等，
∴米，
∴（米），
答：旗杆的高约为18米．
22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F ．
（1）求证：；
（2）若， 求直径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，于是得到；
（2）根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到根据相似三 角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明： 如图， 连接，
∵是的切线，
∴，
∴
∵是的直径，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
【小问2详解】
解：在中， 由勾股定理， ，
∵
∴
∵，
∴，
即
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，正确地作出辅助线 是解题的关键．
23. 为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？
（2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个?
【答案】（1）型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
（2）至少可购买种充电桩200个．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据“用12万元购买型充电桩与用16万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过200万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元．
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
【小问2详解】
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
由题可得：，
解得：，
答：至少可购买种充电桩200个．
24. 【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
【答案】（1）；，[类比探究]；（2）画图见解析，或，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
（1）观察图象解答即可；
（2）画出函数的图象，观察图象解答即可；
（3）观察图象解答即可．
【详解】解：[问题探究]
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为．
故答案为：，0＜x＜1；
[类比探究]
受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解．
故答案为：；
（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；
从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线，
在直线 上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．
25. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接．
【特例感知】
（1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ．
类比迁移】
（2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值．
【答案】（1），；
（2），理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得；
（）如图， 延长至点， 使得CF=AC， 连接，同理（）即可求解；
（）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得CF=AC， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解；
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解： ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又由旋转可知，，
∴，
∴，
即，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
．
证明： 如图， 延长至点， 使得CF=AC， 连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得 ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
，
；
【小问3详解】
解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得CF=AC， 连接，
∴， ，
由旋转得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
，
∵点在线段上运动，
∴当时，最短， 此时取得最小值，
如图， ∵， ， ，
∴，
，
，
∴线段 长度的最小值为．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．
（1）如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形．
①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①存在点的坐标为：或；②的取值范围为．
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①根据，可得，，即，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可；
②由，得抛物线的顶点为，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当时，分别求出的范围即可．
【小问1详解】
解：将代入抛物线，得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，得，
；
【小问2详解】
解：①存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得：，，
，，
，
，
顶点为，
过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到，
图象形的函数表达式为，
若轴上方的图形上存在点，使得，则，
当时，将 代入 得，
解得（舍去），；
，
当时，将 代入得，解得；
，
综上，存在点，使得，点的坐标为：或；
②在中，令，
得，
，
直线，
，
抛物线的顶点为，
将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，
点和点是图形上的点，
当时，，，
即点在轴左侧，点在轴右侧，如图，
，，
，
，
，
；
当时，，，
即点、均在轴右侧，
，，
，
，
，
，
此不等式组无解，即不成立；
综上，的取值范围为．
平均数
众数
中位数
七年级
6
8
7
八年级
7
6、7、8
n
九年级
8
m
8
课题
测量学校旗杆的高度
测量人员
小明
小华
测量工具
测角仪， 皮尺， 无人机
测角仪，皮尺
测量方案示意图
说明
如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ．
如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ．
测量数据
，，
，，，
参考数据
， ，
，，