精品解析：2020年山东省济南市历下区九年级中考二模数学试题（解析版+原卷版）

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2020年九年级学业水平中考二模考试数学试题一、选择题1.的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念求解即可.【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为．故选A2.在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是(　　)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由几何体三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3.2020年初，新型冠状病毒来势汹汹，迅速在全球蔓延开来，严重危及人们的生命安全，“90后”成为这场战“疫”的主力军，为中国抗击疫情作出了卓越的贡献！据报道，新型冠状病毒的直径约0.0000001米，这个数用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示一个较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的“0”的个数所决定.【详解】0.0000001左起第一个不为零的数字是1，所以，它的前面有7个“0”，所以，可用科学记数法表示为.故答案为C【点睛】理解较小的数可以用负整数指数表示，快速准确地锁定与是解题关键.4.如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（）A. 40° B. 50° C. 130° D. 150°【答案】C【解析】【分析】根据平行线性质得出∠2＝∠A，即可解答.【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠A＝50°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，故选C．【点睛】此题考查平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键.5.下面计算正确的是（　　）A. 6a－5a＝1 B. a＋2a2＝3a2 C. －（a－b）＝－a＋b D. 2（a＋b）＝2a＋b【答案】C【解析】试题分析：A．6a﹣5a=a，故此选项错误；B．a与不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；D．2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；故选C．考点：1．去括号与添括号；2．合并同类项．6.下列图案是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别判断各选项是否是轴对称图形．【详解】A是轴对称图形；B、C、D不是轴对称图形故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形的考查，考查空间想象能力，观察图形对折后是否重合可得．7.在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据"关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，即可求出对称点.【详解】点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标是(2,3).故答案为(2,3).【点睛】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数8.一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中25次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有(　　)A. 12 个 B. 15 个 C. 9 个 D. 10 个【答案】C【解析】【详解】解：∵小明共摸了100次，其中25次摸到黑球，则有75次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∵这个口袋中有3个黑球，∴共有白球3×3=9个，故选：C．【点睛】本题考查可能性大小．9.如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理，再结合扇形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案.【详解】解：∵，∴，∴阴影部分的面积，故选A．【点睛】本题考查圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式.10.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（ ）A. B. 4 C. D. 4.8【答案】C【解析】【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长．【详解】∵AB为直径，∴，∴，∵，∴，在中，．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．11.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为（ ）A. 12 B. 4 C. 8 D. 6【答案】B【解析】【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC- EC=AB-EC=6- x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=（6- x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=4．故选 B．【点睛】本题考查旋转的性质．12.如果我们把函数称为二次函数的“镜子函数”，那么对于二次函数：的“镜子函数”：，下列说法：①的图像关于y轴对称；②有最小值，最小值为；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图像有三个交点时，中，正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】【分析】画出函数图像，通过图像逐项判断即可得出答案.【详解】①的图像关于y轴对称正确；②有最小值，最小值为，正确；③当方程有两个不相等的实数根时，即与的图像有两个交点，观察图像可知或时，与的图像有两个交点，所以该选项不正确；④观察图像可知只能是两个确定的值，即图中所示两条确定的直线，才能保证直线与的图像有三个交点，而该选项表示的是的范围显然不正确.故答案为B【点睛】正确画出函数图形,并结合图形逐项分析.二、填空题13.分解因式：____________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再用公式法完成因式分解.【详解】原式【点睛】第一步，提取公因式；第二步，公式法；第三步，十字相乘法；三项以上的多项式的因式分解一般是分组分解.14.正方形的边长为6，则该正方形的边心距是_____________．【答案】3【解析】【分析】正方形的外接圆圆心（同时也是内切圆圆心）到正方形某一边的距离为边心距，根据正方形对称性，易得边心距应为边长的一半.【详解】边心距=【点睛】理解边心距定义，利用正方形对称性即可快速求解.15.有一组数据如下：2，3，3，4，则这组数据的方差是____________．【答案】【解析】【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可.【详解】2,3,3,4的平均数是(2+3+3+4) 4= 3;【点睛】方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数.16.如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD=____（结果用根号表示）．【答案】（300+100）m．【解析】【详解】解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：∵在山顶C处测得景点B的俯角为45°，∴∠BCE=45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∵BC=200m，∴CE=BC=100m；∵∠A=30°，AB=600m，∴BF=AB=300m，∴CD=CE+ED=CE+BF=（300+100）m．故答案为：（300+100）m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—俯角仰角问题．17.如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．【答案】8．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，∴的面积为，∴，∴.故答案为8．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．18.如图，矩形中，点E在上，过点E作交于F，且，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④连接，则的最小值为；其中正确的结论是____________（所有正确结论的序号都填上）．【答案】①②③【解析】【分析】连接BF、CE，交于点O，由BE=BC,EF=FC可知BF垂直平分EC，在Rt中，利用摄影定理，EO、FO、BF均可求解，设DF为x,DC=5+x,DE=,在Rt中,利用勾股定理可以建立x的方程，解出x后图形中定线段长均可求解，可判断②的正确定，利用三角形相似可判断①、③的正确性，由，BE等于10可以判断点H的运动轨迹为以BE中点I为圆心、5为半径的上运动，在中，CHCI-IH,即可求出CH的最小值.详解】连接BF、CE，交于点O，BE=BC,EF=FC，BF垂直平分EC在Rt中， ,,,设DF为x, DC=5+x,DE=,过E做EGBC,在Rt中，，即，解得DC=8，DE==4，AE=6，②正确；,①正确;,,,③正确,BE=10，H的运动轨迹为以BE中点I为圆心、5为半径的上运动过I作垂足为T，CI=,在中，CHCI-IH=-5, ④不正确.故答案为①②③.【点睛】此题的①②③选项，综合运用三角形相似、勾股定理、垂直平分线性质、直角三角形射影定理等几何知识可判断正确性，明确H的运动轨迹是判断④选项正确与否的关键.三、解答题19.．【答案】5【解析】【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值，然后进行加减计算即可.【详解】计算：原式【点睛】熟练掌握含绝对值、零指数幂、负整数指数幂、以及特殊角三角函数值基本计算.20.解不等式组：，并写出它的所有整数解．【答案】，0、1、2【解析】【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的交集，即为不等式组的解集，再把解集中包含的整数写出即可.【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集是： ∴原不等式组的整数解为：0、1、2【点睛】按照解不等式的步骤正确求解不等式，准确找到两个不等式解集的交集；整数解时注意解集端点处的整数点能否取到.21.如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【答案】证明见解析.【解析】分析：根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．详解：证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC， ∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．点睛：本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．22.某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，两种车型的销售总额为96万元；本周销售2辆A型车和1辆B型车，两种车型的销售总额为62万元，已知两种型号汽车销售价格始终不变．（1）求A、B两种车型的销售单价分别是多少？（2）第三周计划售出A、B两种型号的车共5辆，若销售总额不少于100万元，则B型车至少要售出多少辆？【答案】（1）每辆A型车售价为18万元，B型车的售价为26万元；（2）B型车至少售出2辆【解析】【分析】（1）设每辆A型车售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据“上周售出1辆A型车和3辆B型车，两种车型的销售总额为96万元；本周销售2辆A型车和1辆B型车，两种车型的销售总额为62万元”可列出关于x、y的二元一次方程组求解即可；（2）设第三周计划售出B型车m辆，则A型车售出辆，再根据“若销售总额不少于100万元”列出不等式求解即可.【详解】解：（1）设每辆A型车售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据题意，得， 解得：， 答：每辆A型车售价为18万元，B型车的售价为26万元．（2）设第三周计划售出B型车m辆，则A型车售出辆，根据题意，得： 解得： 答：B型车至少售出2辆．【点睛】二元一次方程组的应用问题，合理设出未知量，找到两个等量关系，列出方程是关键；不等式的应用问题，找到不等量关系列出不等式是关键.23.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若OC=3，AC=4，求PB的长．【答案】（1）见解析；（2）PB＝【解析】【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．（2）先证明△ACO∽△PAO，然后利用相似三角形性质求出PO，再利用勾股定理求出PA，即可得到PB的长度.【详解】（1）证明：连接OB，如图：∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中∴△PAO≌△PBO∴∠OBP＝∠OAP＝90°∴PB是⊙O的切线．（2）在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4∴AO＝5在Rt△ACO与Rt△PAO中，∵∠AOC＝∠POA，∠PAO＝∠ACO＝90°∴△ACO∽△PAO∴∴PO＝，由勾股定理，得：，∴PB＝PA＝.【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的边转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．24.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式变得更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息回答下列问题：（1）本次调查共调查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【答案】（1）100；108°；（2）补充图形见解析；（3）600人；（4）【解析】【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数;（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图；（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案;（4）用列表法分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概念公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.【详解】（1）设本次调查共调查了名学生，其中最喜欢电话沟通方式人数占比=，解得； “QQ”的扇形圆心角的度数=；（2）喜欢用短信的人数为：人，喜欢用微信的人数为：，补充图形，如图所示：（3）人（4）有题意，可列表：所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．【点睛】理解频数直方图、饼状图所表示的数据含义，结合相关数据的含义即可求解；掌握列表法或树状图法求概率.25.菱形的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为．（1）如图1，若反比例函数（）的图象经过点A，求k的值；（2）菱形向右平移t个单位得到菱形，如图2．①请直接写出点、的坐标（用合1的代数式表示）：、； ②是否存在反比例函数（），使得点、同时落在（）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①，； ②存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据点D的坐标为(4，3)，即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值;（2）①根据点向右平移，纵坐标不变，横坐标加上移动单位长即可；②把写出点、坐标代入，可得关于n、t的方程组，求解即可.【详解】（1）如图，作轴于点F，∵点D的坐标为，∴，，∴，∴．∴A点坐标为 ∴，∴．（2）①， ②存在，理由如下：∵点、同时落在（）的图象上，∴，∴ 所以，存在，此时．【点睛】此题考查图形的平移，把握好平移中点的坐标变化.26.如图，为等边的高，，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转60°，得到线段，连接、．（1）问题发现：如图①，当点D在直线上时，线段与的数量关系为_________，_________；（2）拓展探究：如图②，当点P在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）问题解决：当时，请直接写出线段的长度．【答案】（1）相等；90°；（2）成立，证明见解析；（3）4或【解析】【分析】（1）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量减等量，即可得出结论；（2）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量加等量，即可得出结论；（3）通过前两问，我们知道是等边三角形，点D的轨迹是AP旋转60°得来的，A为定点，P再BC上运动是主动点，D为从动点，根据瓜豆原理可以得出D的轨迹是一条直线；BM长为定值、也为定值，利用定弦定角模型可知点D还应在圆弧上，因为点P可能在B点上方，还可能在C点下方，所以轨迹应为两段圆弧；通过以上分析可以作出图形，找到两种轨迹的交点，确定D点，求出AD即求出AP．【详解】解：（1）相等；90°；∵是等边三角形，∴，由旋转的性质可得：，，∴是等边三角形，∴，∴即在与中，∵，∴，∴，∴（2）成立，证明如下：如图②，连接，∵是等边三角形，∴，由旋转的性质可得：，，∴是等边三角形，∴，∴，，∴， 在与中，∵，∴，∴，．∵，∴（3）点P在直线BC上运动，由瓜豆原理可知，D点也应在直线上运动，在BC上选取两个特殊的P点位置，按照题意作出对应D点，然后连接点D所在直线确定；因为所以BM所对圆心角为60°，按照圆心在BM左侧和右侧两种情况，作出点D所在两端圆弧，直线与两端圆弧交点，即满足题意的点D，具体图形如下：AP1=AD1=4；AP2=AD2=综上所述，AP长为4或．【点睛】本题是图形旋转中手拉手模型综合应用题，掌握手拉手模型要点是解决本题关键；第三问利用定弦定角模型、瓜豆原理可快速明确D点满足题意位置，从而直接写出AP长．27.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接、，已知点A、C的坐标为、．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段下方抛物线上的一动点，如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，若点M是内一动点，且满足，过点M作，垂足为N，设的内心为I，试求的最小值．【答案】（1）；（2）Q的坐标为或；（3）的最小值为【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）根据即点C坐标，可以求出P点坐标，算出CP长，即可写出Q点坐标;（3）利用可判断出I的运动轨迹是圆弧，设I运动轨迹所在的圆心为G计算出圆心G的坐标及半径为，当G、I、C三点共线时候最短.【详解】（1）由题意得：A点坐标为，C点坐标为带入中得：， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）∵点Q在x轴上，又点B、C、P、Q为顶点四边形是平行四边形∴，由对称性可知，P点的坐标为 ∴，∴．∴Q的坐标为或． （3）连接，， ∵I为的内心∴、分别平分， ∴ 又∵，∴ ∴． 又∵，∴∴ ∴I的运动轨迹是圆弧．设I运动轨迹所在的圆心为G∵，∴ 又∵， ∴圆心G的坐标为，半径为 当G、I、C三点共线时候最短∵， ∴的最小值为 综上所述：的最小值为．【点睛】此题为二次函数的综合应用，第一问利用待定系数法求解属基本题型；第二问判断出是解题关键；第三问判断出I的运动轨迹是解题关键.21ABCABC