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2024年甘肃省兰州市学府致远学校中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年甘肃省兰州市学府致远学校中考三模数学试题（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
2. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来全球定位精度将优于10米，测速精度将优于0.2米/秒，授时精度将优于0.000 000 02秒，将数字0.000 000 02用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. 因式分解的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
6. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为
A. B. C. D.
9. 某校七年级有840名学生参加了一次数学学习质量测试，现从中随机抽取了40名学生的成绩得到如下统计图，则估计该校七年级840名学生在这次测试中得分不低于80分的人数为（ ）
A. 210B. 168C. 84D. 10
10. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
11. 在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 若是二次根式，则x可取的最小整数为______．
14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______．
16. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向a区域的概率为，则______．
三、简答题：本大题共12小题，共72分．
17. 解不等式组：
18. 解方程：．
19. 计算：，其中．
20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
21. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，_________；
（2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；
（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．
22. 如图，是的直径，C是上一点，连接．过点B作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使，连接，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G．如果，，求的长．
23. 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点EBC上，点F在AD上）．
作法：①以A圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
24. 如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，AH＝米，HF＝ 米，HE＝1米．
（1）求∠FHE的度数；
（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.41，≈1.41）
25. 在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离．
26 如图，中，已知，于D，分别将、沿AB、AC对折，得到、，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若，，求AD的长．
27. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
（1）线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点的坐标为，则点的坐标为_____．
（2），，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
兰州市学府致远学校2024年中考模拟卷数学试卷（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来全球定位精度将优于10米，测速精度将优于0.2米/秒，授时精度将优于0.000 000 02秒，将数字0.000 000 02用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 02＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．
4. 因式分解的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确掌握公式是解题的关键．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根．将方程化为一般式，再利用判别式求解即可．
【详解】解：将方程化为一般形式，
其中，，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴得出，，，，再逐一解答即可．
【详解】解：由数轴可知，，，，，
，故A、B、C都错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，是解题关键．
7. 如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由上表可知，，，，，，0.5为常量，12也为常量．据此即可得出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式．
【详解】解：由表可知：常量为0.5；
所以，弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数关系，解题的关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
9. 某校七年级有840名学生参加了一次数学学习质量测试，现从中随机抽取了40名学生的成绩得到如下统计图，则估计该校七年级840名学生在这次测试中得分不低于80分的人数为（ ）
A. 210B. 168C. 84D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求出不低于80分的人数的占比
用七年级总人数×不低于80分的人数的占比，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中不低于80分的人数．
【详解】解：由题意得：，
故选A
10. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设共有人，物品的价格为元，根据“每人出8元，则多3元：每人出7元，则差4元”，即可得出关于的二元一次方程组．
【详解】设共有人，物品的价格为元，
依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
11. 在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可将AB长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．
【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.
【详解】由题意得： (0≤x≤4)，
可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8），
故选：C.
【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 若是二次根式，则x可取最小整数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：∵是二次根式，
∴，
∴，
∵取整数值，
∴可取的最小整数是，
故答案为：．
14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
【答案】（-2，1）
【解析】
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，由此求得点B的坐标．
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k．
15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向a区域的概率为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，求出和的度数是解题关键．由题意可得，进而得出，再根据矩形的性质，证明是等边三角形，推出，得到，即可求解．
【详解】解：，
，
四边形是矩形，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
三、简答题：本大题共12小题，共72分．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解为：
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
19. 计算：，其中．
【答案】，10
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．
根据整式乘法法则及平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式
20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，交反比例函数图象于点C，求的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图形的综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）过点作轴于，过点作轴于，即可证得，即可求得，进一步求得、的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
连接，过点作轴于，过点作轴于，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
∴，，
∴，
∴．
21. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，_________；
（2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；
（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．
【答案】（1），
（2）西红柿 （3）6
【解析】
【分析】（1）根据中位线和众数的定义求解即可；
（2）根据图中折线的起伏程度即可得到答案；
（3）根据题意可知价格最低的月份即是产量最高的月份，由此结合统计图即可得到答案．
【小问1详解】
解：把西红柿这8个月的价格从低到高排列为5，6，6，6，7，8，9，10，处在最中间的两个数分别为6，7，
∴；
∵黄瓜价格中，价格为6元出现了三次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由折线统计图可知，西红柿的价格起伏比较小，黄瓜价格的起伏比较大，
∴西红柿的价格相对更加稳定，
故答案为；西红柿；
【小问3详解】
解：∵这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，
∴价格最低的月份即是产量最高的月份，
由折线统计图可知在6月份的时候，两种蔬菜的价格都最低，
∴推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了求中位线和众数，折线统计图，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 如图，是的直径，C是上一点，连接．过点B作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使，连接，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G．如果，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题是圆与三角形综合题，考查了直径所对的圆周角是直角，圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）由直径可得，进而得到，由切线可得，进而得到，即可证明结论；
（2）由等腰三角形三线合一的性质，得出，，进而证明，得到，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
【小问2详解】
解：，，
，，
，，
，
，
，
，
．
23. 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）首先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，再证明是正方形即可．
【详解】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∴四边形ABEF为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形．（邻边相等的矩形是正方形）．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确作出点E，点F，属于中考常考题型．
24. 如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，AH＝米，HF＝ 米，HE＝1米．
（1）求∠FHE的度数；
（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.41，≈1.41）
【答案】（1）45°（2）DE的长度为0.01米
【解析】
【分析】（1）解Rt△EFH，便可求得结果；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，在Rt△ABC中求出AB，在Rt△ANH中求出HN，进而求得结果．
【详解】解：（1）在Rt△EFH中，∵cs∠FHE＝，
∴∠FHE＝45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan65°＝1×2.41＝2.41，
∴GM＝AB＝2.41，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AH•sin45°＝，
∴EM＝EG+GM＝HN+GM＝+2.41＝2.91，
∴DE＝EM﹣DM＝2.91﹣2.9＝0.01（米），
答：DE的长度为0.01米．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
25. 在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点坐标，可设抛物线解析式为，将点代入可得a，即可解得．
（2）令，代入，得：，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
根据题意，可得抛物线顶点坐标，
设抛物线解析为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：；
【小问2详解】
令，代入，得：，
解得：，（舍去）
∴运动员落水点与点C的距离为5
26. 如图，中，已知，于D，分别将、沿AB、AC对折，得到、，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】(1)由折叠的性质可得：①AE=AD=AF，②∠EAF=∠EAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠E=∠F=90°；由②可判定四边形AEGF是矩形，由AE=AF可证得四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x(即正方形的边长为x)，BE=BD=2，CF=CD=3；进而可用x表示出BG、GC的长，即可在Rt△BGC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出AB的长．
【小问1详解】
证明：
，
由折叠的性质可知：AE=AD=AF，∠AEG=∠AFG=90°，
，，
，
，
∴四边形AEGF是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEGF是正方形，
∴，
又，，CF=CD=3，
设AD=x，则BG=EG-EB=x-2，CG=GF-CF=x-3，
在中，BG2+CG2=BC2，
得(x-2)2+(x-3)2=(2+3)2，
解得x1=6，x2=-1(舍去)，
故AD=6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
27. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
（1）线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点坐标为，则点的坐标为_____．
（2），，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解；
（2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①如图：
点的坐标为，点坐标为
故答案为：；
②当时，如图，，
故答案为：；
【小问2详解】
①作轴于，轴于则，则
点关于点的“垂直图形”为
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为
②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分，
当点在第一象限的上，取得最大值，则
，
解得：
的最大值为
当与原点重合时，取得最小值，此时
的最小值为
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题考查了垂直图形的定义，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换、勾股定理，两点距离公式等知识，理解题意并作出相应辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键．
28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
【答案】（1）AG=EG，AG⊥EG；（2）证明见解析；（3）画图见解析；DE=2．
【解析】
【详解】解：（1）如图1，由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，，
∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
故答案为AG=EG，AG⊥EG．
（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图2，由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，，
∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45°，∵∠AGF=120°，∴∠AGB=∠CGB，=30°，∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，∴∠CEG=75°，∴∠AED=30°，
在Rt△ADE中，AD=2，
∴DE=2．
【点睛】本题考查四边形综合题．
0
1
2
3
4
5
6
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
蔬菜价格
众数
中位数
西红柿（元/千克）
6
m
黄瓜（元/千克）
n
6
0
1
2
3
4
5
6
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
蔬菜价格
众数
中位数
西红柿（元/千克）
6
m
黄瓜（元/千克）
n
6
1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
2. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来全球定位精度将优于10米，测速精度将优于0.2米/秒，授时精度将优于0.000 000 02秒，将数字0.000 000 02用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. 因式分解的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
6. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为
A. B. C. D.
9. 某校七年级有840名学生参加了一次数学学习质量测试，现从中随机抽取了40名学生的成绩得到如下统计图，则估计该校七年级840名学生在这次测试中得分不低于80分的人数为（ ）
A. 210B. 168C. 84D. 10
10. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
11. 在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 若是二次根式，则x可取的最小整数为______．
14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______．
16. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向a区域的概率为，则______．
三、简答题：本大题共12小题，共72分．
17. 解不等式组：
18. 解方程：．
19. 计算：，其中．
20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
21. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，_________；
（2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；
（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．
22. 如图，是的直径，C是上一点，连接．过点B作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使，连接，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G．如果，，求的长．
23. 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点EBC上，点F在AD上）．
作法：①以A圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
24. 如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，AH＝米，HF＝ 米，HE＝1米．
（1）求∠FHE的度数；
（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.41，≈1.41）
25. 在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离．
26 如图，中，已知，于D，分别将、沿AB、AC对折，得到、，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若，，求AD的长．
27. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
（1）线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点的坐标为，则点的坐标为_____．
（2），，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
兰州市学府致远学校2024年中考模拟卷数学试卷（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来全球定位精度将优于10米，测速精度将优于0.2米/秒，授时精度将优于0.000 000 02秒，将数字0.000 000 02用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 02＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．
4. 因式分解的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确掌握公式是解题的关键．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根．将方程化为一般式，再利用判别式求解即可．
【详解】解：将方程化为一般形式，
其中，，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴得出，，，，再逐一解答即可．
【详解】解：由数轴可知，，，，，
，故A、B、C都错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，是解题关键．
7. 如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由上表可知，，，，，，0.5为常量，12也为常量．据此即可得出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式．
【详解】解：由表可知：常量为0.5；
所以，弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数关系，解题的关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
9. 某校七年级有840名学生参加了一次数学学习质量测试，现从中随机抽取了40名学生的成绩得到如下统计图，则估计该校七年级840名学生在这次测试中得分不低于80分的人数为（ ）
A. 210B. 168C. 84D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求出不低于80分的人数的占比
用七年级总人数×不低于80分的人数的占比，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中不低于80分的人数．
【详解】解：由题意得：，
故选A
10. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设共有人，物品的价格为元，根据“每人出8元，则多3元：每人出7元，则差4元”，即可得出关于的二元一次方程组．
【详解】设共有人，物品的价格为元，
依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
11. 在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可将AB长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．
【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.
【详解】由题意得： (0≤x≤4)，
可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8），
故选：C.
【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 若是二次根式，则x可取最小整数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：∵是二次根式，
∴，
∴，
∵取整数值，
∴可取的最小整数是，
故答案为：．
14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
【答案】（-2，1）
【解析】
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，由此求得点B的坐标．
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k．
15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16. 如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向a区域的概率为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，求出和的度数是解题关键．由题意可得，进而得出，再根据矩形的性质，证明是等边三角形，推出，得到，即可求解．
【详解】解：，
，
四边形是矩形，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
三、简答题：本大题共12小题，共72分．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解为：
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
19. 计算：，其中．
【答案】，10
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．
根据整式乘法法则及平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式
20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，交反比例函数图象于点C，求的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图形的综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）过点作轴于，过点作轴于，即可证得，即可求得，进一步求得、的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
连接，过点作轴于，过点作轴于，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
∴，，
∴，
∴．
21. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，_________；
（2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；
（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．
【答案】（1），
（2）西红柿 （3）6
【解析】
【分析】（1）根据中位线和众数的定义求解即可；
（2）根据图中折线的起伏程度即可得到答案；
（3）根据题意可知价格最低的月份即是产量最高的月份，由此结合统计图即可得到答案．
【小问1详解】
解：把西红柿这8个月的价格从低到高排列为5，6，6，6，7，8，9，10，处在最中间的两个数分别为6，7，
∴；
∵黄瓜价格中，价格为6元出现了三次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由折线统计图可知，西红柿的价格起伏比较小，黄瓜价格的起伏比较大，
∴西红柿的价格相对更加稳定，
故答案为；西红柿；
【小问3详解】
解：∵这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，
∴价格最低的月份即是产量最高的月份，
由折线统计图可知在6月份的时候，两种蔬菜的价格都最低，
∴推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了求中位线和众数，折线统计图，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 如图，是的直径，C是上一点，连接．过点B作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使，连接，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G．如果，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题是圆与三角形综合题，考查了直径所对的圆周角是直角，圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）由直径可得，进而得到，由切线可得，进而得到，即可证明结论；
（2）由等腰三角形三线合一的性质，得出，，进而证明，得到，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
【小问2详解】
解：，，
，，
，，
，
，
，
，
．
23. 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）首先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，再证明是正方形即可．
【详解】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∴四边形ABEF为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形．（邻边相等的矩形是正方形）．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确作出点E，点F，属于中考常考题型．
24. 如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，AH＝米，HF＝ 米，HE＝1米．
（1）求∠FHE的度数；
（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.41，≈1.41）
【答案】（1）45°（2）DE的长度为0.01米
【解析】
【分析】（1）解Rt△EFH，便可求得结果；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，在Rt△ABC中求出AB，在Rt△ANH中求出HN，进而求得结果．
【详解】解：（1）在Rt△EFH中，∵cs∠FHE＝，
∴∠FHE＝45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan65°＝1×2.41＝2.41，
∴GM＝AB＝2.41，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AH•sin45°＝，
∴EM＝EG+GM＝HN+GM＝+2.41＝2.91，
∴DE＝EM﹣DM＝2.91﹣2.9＝0.01（米），
答：DE的长度为0.01米．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
25. 在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点坐标，可设抛物线解析式为，将点代入可得a，即可解得．
（2）令，代入，得：，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
根据题意，可得抛物线顶点坐标，
设抛物线解析为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：；
【小问2详解】
令，代入，得：，
解得：，（舍去）
∴运动员落水点与点C的距离为5
26. 如图，中，已知，于D，分别将、沿AB、AC对折，得到、，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】(1)由折叠的性质可得：①AE=AD=AF，②∠EAF=∠EAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠E=∠F=90°；由②可判定四边形AEGF是矩形，由AE=AF可证得四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x(即正方形的边长为x)，BE=BD=2，CF=CD=3；进而可用x表示出BG、GC的长，即可在Rt△BGC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出AB的长．
【小问1详解】
证明：
，
由折叠的性质可知：AE=AD=AF，∠AEG=∠AFG=90°，
，，
，
，
∴四边形AEGF是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEGF是正方形，
∴，
又，，CF=CD=3，
设AD=x，则BG=EG-EB=x-2，CG=GF-CF=x-3，
在中，BG2+CG2=BC2，
得(x-2)2+(x-3)2=(2+3)2，
解得x1=6，x2=-1(舍去)，
故AD=6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
27. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
（1）线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点坐标为，则点的坐标为_____．
（2），，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解；
（2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①如图：
点的坐标为，点坐标为
故答案为：；
②当时，如图，，
故答案为：；
【小问2详解】
①作轴于，轴于则，则
点关于点的“垂直图形”为
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为
②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分，
当点在第一象限的上，取得最大值，则
，
解得：
的最大值为
当与原点重合时，取得最小值，此时
的最小值为
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题考查了垂直图形的定义，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换、勾股定理，两点距离公式等知识，理解题意并作出相应辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键．
28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
【答案】（1）AG=EG，AG⊥EG；（2）证明见解析；（3）画图见解析；DE=2．
【解析】
【详解】解：（1）如图1，由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，，
∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
故答案为AG=EG，AG⊥EG．
（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图2，由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，，
∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45°，∵∠AGF=120°，∴∠AGB=∠CGB，=30°，∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，∴∠CEG=75°，∴∠AED=30°，
在Rt△ADE中，AD=2，
∴DE=2．
【点睛】本题考查四边形综合题．
0
1
2
3
4
5
6
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
蔬菜价格
众数
中位数
西红柿（元/千克）
6
m
黄瓜（元/千克）
n
6
0
1
2
3
4
5
6
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
蔬菜价格
众数
中位数
西红柿（元/千克）
6
m
黄瓜（元/千克）
n
6
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