甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在正方形中，为中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 锐角中，角的对边分别是且 ,.则边长的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则D.
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 关于点中心对称
C. 最大值为D. 在区间上单调递减
11. 在中，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，此三角形有两解B. 面积最大值为
C. 的外接圆半径为2D. 若，则此三角形一定是直角三角形
12. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为12B. 的取值范围是
C. D. 当时，为定值
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知复数（虚数单位），则______．
14. 已知是第二象限角，且其终边经过点，则______．
15. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
16. 当时，取最小值，求的值________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）方程有一个根为，求实数的值．
18. 计算求值
（1）已知，求的值；
（2）化简.
19. 已知向量，且.
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
20. 已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的取值范围．
21. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
22. 已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）当时，关于不等式有解，求实数的取值范围.兰州一中2023-2024-2学期期中考试试题
高一数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的加减乘除四则运算法则计算化简即得.
【详解】，虚部为．
故选：C.
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】原式
故选：C.
3. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法及数乘向量运算求解即可.
【详解】.
故选：A
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
详解】由可得，
故，
故选：C
5. 锐角中，角的对边分别是且 ,.则边长的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可把边角的混合关系转化为角的三角函数的关系，从而得到，再利用正弦定理得到，结合的范围可求的取值范围.
【详解】由正弦定理有，
所以，因为，所以，
故，因，所以.
由正弦定理有，故，因，
故，所以，
所以，故选C.
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
6. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合正弦函数的减区间列不等式求解．
【详解】由已知，
，时，
又在上单调递减，
所以，，，
又，所以，
故选：A．
7. 已知，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果.
【详解】；
，
又，，故，，
又，，故，则.
故选：B.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对条件进行展开化简可得，继而，再利用二倍角公式计算即可；也可把条件化简可得，继而，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】解法一
由题意得:
所以
；
解法二
由题意得:
,
所以，
则
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.
【详解】因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，所以，
，D正确.
故选：AD.
10. 关于函数，下列说法正确是（ ）
A. 最小正周期为B. 关于点中心对称
C. 最大值为D. 在区间上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】，
所以函数的最小正周期，故A正确；
由于，故函数图象关于点中心对称，故B正确；
由，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：ABC
11. 在中，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，此三角形有两解B. 面积最大值为
C. 的外接圆半径为2D. 若，则此三角形一定是直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式求出，再结合正弦定理、三角形面积公式、余弦定理逐项判断即得.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，因此，，即，
对于A，当时，，则，由正弦定理得：
，角有两个值，三角形有两解，A正确；
对于B，由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因此面积，B正确；
对于C，的外接圆半径，C错误；
对于D，当时，，而，有，解得，
因此，此三角形一定是直角三角形，D正确.
故选：ABD
12. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为12B. 的取值范围是
C. D. 当时，为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设中的圆幂定理可判断选项CD的正误，取AC的中点为M，连接OM，利用向量的线性运算可判断选项B的正误，根据直径的大小可判断选项A的正误，
【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F，
对于A，圆O的半径为2，则，，
因AC，BD不能同时过圆心，故不能取等号， ，A选项错误；
对于B，取AC的中点为M，连接OM，
，
而，的取值范围是，B选项正确；
对于C，，C选项正确；
对于D，时，，
，D选项正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知复数（为虚数单位），则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算可得，即可得到结果.
【详解】因为复数，故，
则，故
故答案为：
14. 已知是第二象限角，且其终边经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，再结合三角函数的定义和正切的倍角公式，即可求解.
【详解】因为是第二象限角，可得，
则，所以，
又因为的终边经过点，可得，可得，
解得或（舍去）．
故答案为：.
15. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
16. 当时，取最小值，求的值________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用辅助角公式对已知函数解析化简，再结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】由，
其中，，
又当时，取最小值，
则，且，
所以
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）方程有一个根为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数的概念列方程求解即可；
（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，从而得到方程的另一个根，再结合韦达定理即可求得实数的值．
【详解】（1）因为是纯虚数，
则，解得,
所以实数的值为．
（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，
则方程的另一个根为，
所以．
18. 计算求值
（1）已知，求的值；
（2）化简.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式法化简计算即可；
（2）利用同角的三角函数关系以及倍角公式化简，即可求得答案.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
.
19. 已知向量，且.
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.
（2）运用平面向量夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，解得.
故的值为3.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故与的夹角的余弦值为.
20. 已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，再根据正弦定理可得，进而即可求得角A的大小；
（2）先根据题意及正弦定理得到，，从而得到，再结合（1）得到B的取值范围，进而即可求得的周长的取值范围．
【小问1详解】
由，则，
又由正弦定理得，
又因为，则，
所以，即，
又因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理有，
则，，
所以
，
又，则，则，则，
所以，
故的周长的取值范围为．
21. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
【答案】（1）
（2）预算资金够用
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【小问1详解】
解：由，
得，
则，
中，由正弦定理得，即，
所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
22. 已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值为；最大值为2
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式；由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（2）化简，参变分离，可得，换元，即令，，则求在上的最小值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意化简，得函数
，
当时，，所以，
则，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为2；
【小问2详解】
由题意得时， 有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.
【点睛】方法点睛：（1）本题第二问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题.