高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述同步练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5B．6
C．8D．10
C [由题意可知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋5，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8．]
2．已知电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，其在一个周期内的图像如图所示，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3)))
B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))
D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
C [由题图可推知，A＝300，T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，ω＝eq \f(2π,T)＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))，得100π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＋φ＝0，得φ＝eq \f(π,3)，
故I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))．]
3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
B [由图形可知振幅为5，故选B．]
4．已知简谐运动f(x) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9 500．当x＝3时，y＝9 000．]
二、填空题
6．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次．
25 [据I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))知ω＝100π，
该电流的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)s，
从而频率为每秒50次，0.5 s往复运行25次．]
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
10sin eq \f(πt,60) [将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝eq \f(π,60)，
所以d＝10sin eq \f(πt,60)．]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃．
20.5 [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋A＝28，,a－A＝18，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝23，,A＝5，))
所以y＝23＋5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))，
当x＝10时，y＝23＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝20.5．]
三、解答题
9．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每480 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m．
[解] (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为eq \f(2π,480)t＝eq \f(π,240)t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin eq \f(π,240)t＋12(t≥0)．
(2)由10sin eq \f(π,240)t＋12≥17，
得sin eq \f(π,240)t≥eq \f(1,2)，
则40≤t≤200．
故此人有160 s相对于地面的高度不小于17 m．
10．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃．
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|