北京市朝阳区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)

这是一份北京市朝阳区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为( )
A.B.C.D.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
3．如图，直线，相交于点，若，，则的度数为( )
A.B.C.D.
4．如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是( )
A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥
5．若，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
6．正十边形的内角和为( )
A.B.C.D.
7．掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是( )
A.B.C.D.
8．如图，四边形是正方形，点E，F分别在，的延长线上，且，设，，.给出下面三个结论：
①；
②；
③.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.
10．分解因式：_______.
11．方程的解为_______.
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______.
13．某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为_______.
14．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_______m.
15．如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为_______.
16．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色.两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
（1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______.
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：.
19．已知，求代数式的值.
20．如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点 E.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长.
21．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
22．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点.
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围.
23．某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm），数据整理如下：
a.两批月季花树高度的频数：
b.两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：
（1）写出表中m，n的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是_____（填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近.若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是_____cm和_____cm.
24．如图，是的直径，点C在上，D是的中点，的延长线与过点B的切线交于点E，与的交点为F.
（1）求证：；
（2）若的半径是2，，求的长.
25．某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至，水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作.某数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与时间t（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据.
表1从开始加热至水量与时间对照表
表2：1L水从开始加热，水温与时间对照表
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数.
（1）写出表中m的值；
（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：
①在下图中补全水温与时间的函数图象；
②当时，______；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关.某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源.出门前，他_____（填“能”或“不能”）喝到低于的水.
26．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线.
（1）若该抛物线经过点，求t的值；
（2）当时，
①若，则_____0；（填“>”“=”或“<” ）
②若对于，都有，求t的取值范围.
27．如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合）.将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点G.
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系.
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”
（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数.线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是______；
（2）是关于直线的“对称弦”，若点C的坐标为，且，求点D的坐标；
（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出b的值.
参考答案
1．答案：C
解析：；
故选：C.
2．答案：D
解析：A、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A不符合题意；
B、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B不符合题意；
C、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，C不符合题意；
D、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，D符合题意；
故选：D.
3．答案：C
解析：直线，相交于点O，，
，
，
.
故选：C.
4．答案：B
解析：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意；
长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意；
圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意；
正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意.
故选：B.
5．答案：B
解析：A、若，则，故不合题意；
B、若，则，故符合题意；
C、若，则，故不合题意；
D、若，则，故不合题意，
故选：B.
6．答案：C
解析：正十边形的内角和为
.
故选C.
7．答案：D
解析：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
向上一面的点数为5的概率是，
故选：D.
8．答案：A
解析：正方形，
，，
，
，
，
，
，
；故①正确；
，即：，
，
；故②正确；
，且E，F为动点，
无法确定c和的关系，故③错误；
故选A.
9．答案：
解析：式子在实数范围内有意义，
，
解得：.
故答案为：.
10．答案：
解析：.
故答案为.
11．答案：
解析：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
检验：当时，，
原分式方程的解为.
故答案为：.
12．答案：
解析：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
故答案为：.
13．答案：680
解析：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为（棵）.
故答案为：680.
14．答案：
解析：由题意可知，，
，
，
即，
解得，
则教学楼高度，
故答案为：.
15．答案：6
解析：，
，，
，
是的中位线，
，即，
设半径为r，则，
在中，由勾股定理得：，
，解得，
，
.
16．答案：35；
解析：（1）甲先拼装A需9分钟，乙开始上色A，与此同时甲可以拼装B和2分钟的C，乙给B上色时，甲可以继续拼装C和3分钟D，乙为C上色5分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要4分钟为C上色，接着为D上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）
故总时长最少为分钟，
故答案为35；
（2）甲先拼装B需5分钟，乙开始上色B，与此同时甲可以拼装C和1分钟的A，乙给C上色时，甲可以继续拼装A和1分钟D，乙为A上色7分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要3分钟为D上色，时间分解如图，选择这种方案即可用时最少.（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）
故答案为.
17．答案：
解析：
.
18．答案：
解析：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为.
19．答案：，
解析：
，
，
，
原式.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）如图，设与交于点F，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由（1）可知，四边形是菱形，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
即的长为.
21．答案：7
解析：设每张桌面的宽为x尺，
根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，
故可得，
解得：，（舍去），
，
答：长桌的长为7尺.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点，
，，
正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
（2）当时，，，
当时，对于x的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，
，
解得.
23．答案：（1），
（2）第二批
（3）131；135
解析：（1）在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，
众数是，即；
把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，
则中位数是，即；
（2）第一批的方差为，
第二批的方差为，
，
第二批的高度的整齐度更好，
故答案为：第二批；
（3）第二批去掉了高度为和的两棵花树后的平均数为：，
第一批花树的平均数为，去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是，；
故答案为：131；1335.
24．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：D是的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
.
（2）连接，如图：
是的直径，
，
，
，
，
的半径是2，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
.
25．答案：（1）8
（2）①图见解析
②
（3）不能
解析：（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升，
，
在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升，
，
.
（2）①补全水温与时间的函数图象如图所示：
②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到.
在这个过程中每2分钟，水温升高，则每1分钟水温升高，
由此得，
解得，
（分），
根据表2的数据可知，经过18分后水温降到了，
当时，.
故答案为：；
（3）由表1可知，的水从加热到需要分，（分），
由表2可知，水温从降到需要（分），
，且电源已关闭，
出门前，他不能喝到低于的水.
故答案为：不能.
26．答案：（1）
（2）①<
②或
解析：（1）将点代入得，解得，
，
则；
（2）①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，
，，
；
②，，
，
有恒成立，
点，在x的同侧，
则或.
27．答案：（1）图见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）如图：
（2）证明：连接，与相交于点O，如图：
线段绕点A逆时针旋转得到线段，
，，
在菱形中，，
，，，
、是等边三角形，
，，
,
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
，，
，
在中，，
是等边三角形，，
，
，
，
则，
则，
，
即.
28．答案：（1）
（2）或
（3）或
解析：（1）如图所示：
关于直线的“对称弦”的是线段；
（2）设点C，D关于直线的对称点为，，
直线垂直平分，，
是关于直线的“对称弦”，
，在上，
点C的坐标为，
即点C在上，
直线经过圆心，
点也在上，
，
故点D在以点C为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点；
，
即是等边三角形，
故点的横坐标为，点的纵坐标为，
同理，点的横坐标为，点的纵坐标为，
综上，点D的坐标为或；
（3）设点M关于直线的对称点为，
直线垂直平分，
线段是关于直线的“对称弦”，
在上，
由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上，
又，
即；
令直线与x，y轴交于点P，Q，过点O作直线交于点H，点作轴交于点E，如图：
令，则，即点，，
令，则，即点，，
则，
则，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
即点的坐标为，
，；
，
整理得：，
解得：或，
故b的值为或.
水果产量
果树棵数
1
15
20
12
2
A
B
C
D
甲
9
5
6
8
乙
7
7
9
3
131
135
136
140
144
148
149
第一批
1
3
0
4
2
2
0
第二批
0
1
2
3
5
0
1
平均数
中位数
众数
第一批
140
140
n
第二批
141
m
144
a
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
4.5
8
11.5
15
18.5
22
煮沸模式
保温模式
t
0
3
6
m
10
12
14
16
18
20
22
24
26
…
T
20
50
80
100
89
80
72
66
60
55
50
55
60