2024年北京市朝阳区陈经纶中学分校中考数学一模试卷

这是一份2024年北京市朝阳区陈经纶中学分校中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答惠等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（ ）
A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥
2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+c＞0B．|a|＜|b|C．bc＞1D．ac＞0
3．（2分）如图，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别（0，2），（2，1），（4，2）（ ）
A．（2，2）B．（2，4）C．（3，2）D．（2，3）
4．（2分）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形．
A．6B．8C．10D．12
5．（2分）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是
B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近
D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
6．（2分）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝10．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本大题共8小题）
9．（2分）函数y＝的自变量的取值范围是 ．
10．（2分）如果多项式ax2+by2只能因式分解为（3x+2y）（3x﹣2y），则ab＝ ．
11．（2分）写出一个比大且比小的整数是 ．
12．（2分）如果3x2﹣x﹣1＝0，那么代数式（2x+3）（2x﹣3）﹣x（x+1） ．
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，P是以斜边AB为直径的半圆上一动点，连接BM，则BM的最小值为 ．
14．（2分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时 ．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 ．（用“＜”表示）
16．（2分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OB＝y，OC＝z，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
三、解答惠（第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分．共68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：；
19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
20．（5分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0），直接写出m的取值范围．
23．（6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制）（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
（规定：分数≥90，获卓越奖；85＜分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91  91  91  91  92  93  93  94  94  94  95  95  96  98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）．
24．（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）（结果保留一位小数）．
25．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．
发现：AM的最小值为 ，AM的最大值为 ，OB与直线l的位置关系是 ．
思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时
26．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，点E在△ABC的内部，连接EC，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，请求出tan∠EAC的值．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α
（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是 ；
（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．
①当α＝60°时，PQ＝ ；
②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；
（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，共16分）
1．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（ ）
A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥
【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥
故选：C．
2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+c＞0B．|a|＜|b|C．bc＞1D．ac＞0
【解答】解：由数轴可以发现a＜0＜b＜c，而|a|＞|c|＞|b|，
∴a+c＜0，|a|＞|b|
 又由数轴可发现2＜b＜2，2＜c＜4
∴bc＞1正确．
故选：C．
3．（2分）如图，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别（0，2），（2，1），（4，2）（ ）
A．（2，2）B．（2，4）C．（3，2）D．（2，3）
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，
∵菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别（0，（2，（5，
∴AC⊥y轴，AC∥x轴，
∴BD∥y轴，BE＝DE＝2﹣1＝5，
∴顶点D的坐标是（2，2+5），
即（2，3），
故选：D．
4．（2分）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形．
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：∵一个多边形每一个内角都为144°，
∴外角为180°﹣144°＝36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10，
故选：C．
5．（2分）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是
B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近
D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
【解答】解：投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，的值会在，呈现出一定的稳定性，
故选：D．
6．（2分）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、最小旋转角度＝；
B、最小旋转角度＝；
C、最小旋转角度＝；
D、最小旋转角度＝；
故选：D．
7．（2分）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、有1数条对称轴，
B、有无数条对称轴，
C、有2条对称轴，
D、有4条对称轴，
所以对称轴条数最少的是选项A．
故选：A．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝10．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【解答】解：由题意得，AM＝t，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣t，
即y＝5﹣t，
∴S＝MC•CN＝5t﹣t3，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题）
9．（2分）函数y＝的自变量的取值范围是 x＜ ．
【解答】解：由题意得：1﹣2x＞6，
解得：x＜，
故答案为：x＜．
10．（2分）如果多项式ax2+by2只能因式分解为（3x+2y）（3x﹣2y），则ab＝ ﹣36 ．
【解答】解：根据题意可得，
ax2+by2＝（6x+2y）（3x﹣5y），
ax2+by2＝4x2﹣4y3，
∴a＝9，b＝﹣4，
∴ab＝8×（﹣4）＝﹣36．
故答案为：﹣36．
11．（2分）写出一个比大且比小的整数是 2或3 ．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴2＜3，
∴比大且比．
12．（2分）如果3x2﹣x﹣1＝0，那么代数式（2x+3）（2x﹣3）﹣x（x+1） ﹣8 ．
【解答】解：∵3x2﹣x﹣8＝0，
∴3x5﹣x＝1，
∴（2x+2）（2x﹣3）﹣x（x+3）
＝4x2﹣3﹣x2﹣x
＝3x8﹣x﹣9
＝1﹣5
＝﹣8．
故答案为：﹣8．
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，P是以斜边AB为直径的半圆上一动点，连接BM，则BM的最小值为 ．
【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E，连接OC、OM、OF，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OC＝AB＝2AB＝2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
当点P点在A点时，M点在E点，M点在F点，
取OC的中点O′，连接BO′交⊙O′于M′，
则BM′的长度即为BM的最小值，
延长BO′交⊙O′于G，连接FM′，
∵∠FBM′＝∠GBC，∠FM′B＝∠GCB，
∴△BFM′∽△BGC，
∴，
即＝，
解得：BM′＝﹣1（负值舍去），
故BM的最小值为：﹣6，
故答案为：﹣1．
14．（2分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时 ．
【解答】解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°，
∴∠CDM＝∠NDH，
在△CDM和△HDN中，
，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝DM，
∵sinα＝sin∠DMC＝，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a cm＝BM，则CM＝（8﹣a）（cm），
∵MD2＝CD8+MC2，
∴a2＝5+（8﹣a）2，
∴a＝，
∴CM＝（cm），
∴tanα＝tan∠DMC＝＝．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 y1＜y2＜y3 ．（用“＜”表示）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣，
∵0＜n＜1，
∴﹣7＜n﹣2＜﹣1，﹣4＜n﹣1＜0，
∴点（n﹣6，y1）到对称轴的距离最大，（n+1，y6）到对称轴距离最短，
∴y1＜y2＜y6，
故答案为：y1＜y2＜y6．
16．（2分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 角平分线 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OB＝y，OC＝z，返回厂房停放，那么最短路线长是 y+c+b+z ．
【解答】解：（1）∵点O到每条公路的距离相等，
∴点O是△ABC的角平分线的交点．
故答案为：角平分线；
（2）共有6条线路：d1＝x+c+a+z，d5＝x+b+a+y，d3＝y+c+b+z，d4＝y+a+b+x，d7＝z+b+c+y，d6＝z+a+c+x，
在CB上截取CE＝CA，连接OE，
在△ACO和△ECO中，
，
∴△ACO≌△ECO（SAS），
∴OA＝OE，
在△EBO中，
y﹣x＜a﹣b推出d3﹣d5＜0，
同理d3﹣d3＜0，d3﹣d4＜0，d3﹣d8＜0，d3﹣d5＜0，
∴d3最短，
故答案为：y+c+b+z．
三、解答惠（第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分．共68分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
＝
＝．
18．（5分）解不等式组：；
【解答】解：，
由①得：x＜7，
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜7．
19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣8ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣6m+16
＝（m﹣4）2≥4，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥7，
∴x＝＝．
∴x4＝m﹣2，x2＝4．
∵此方程有一个根小于1．
∴m﹣2＜2．
∴m＜3．
20．（5分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE．
∴OE∥BC，
∴OE∥FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF∥OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BCACBD，
∵AB＝10，BD＝16，
∴OB＝8，BC＝10，
在Rt△BOC中，OC＝，
∴，
即，
∴OG＝4.6．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0），直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，
∴k＝﹣1，
又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（0，4），
∴b＝1，
∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）∵当x＜﹣7时，对于x的每一个值，
∴m≥﹣1且m≠0；
故答案为：m≥﹣4且m≠0．
23．（6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制）（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
（规定：分数≥90，获卓越奖；85＜分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91  91  91  91  92  93  93  94  94  94  95  95  96  98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）m＝＝88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90    91    91    92    93    94    95    96  ，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n＝（90+90）＝90，
∴m＝88，n＝90；
（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、众数都高于第一次竞赛．
24．（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，
即m＝1.4，
故答案为：1.5；
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣5）2+1.7，
将（0，0.4）代入h＝a（d﹣2）2+3.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d5+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+7.5+n，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，
∴﹣×（）2++0.5+n≥2，
解得n≥，
∴水管高度至少向上调节米，
∴0.4+＝（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求．
25．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．
发现：AM的最小值为 ﹣3 ，AM的最大值为 10 ，OB与直线l的位置关系是 平行 ．
思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时
【解答】解：发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，
∴OA＝＝＝．
当点M在线段OA上时，AM有最小值﹣4．
当点M与点E重合时，AM有最大值＝10．
如图4所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．
∵∠DAF＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝30°．
∴GB＝AB＝3．
∴OF＝BG＝3，
又∵GB∥OF，
∴四边形OBGF为平行四边形，
∴OB∥FG，即OB∥l．
故答案为：﹣3；平行．
思考：如图8所示：连接OG，过点O作OH⊥EG．
∵∠DAF＝60°，EF⊥AF，
∴∠AEF＝30°．
∴∠GOE＝120°．
∴GE＝2EH＝2××3＝7．
∴半圆与矩形重合部分的周长＝+7；
S重合部分＝S扇形GOE﹣S△GOE＝．
26．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AO＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBE+∠EBD＝90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵∠CEA＝∠DEB，
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB＝DE，AE＝EB＝6，
∴EF＝BE＝3，
在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，
∴DF＝＝4，
∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，
∴∠AOE＝∠DEF，
∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，
∵AE＝6，
∴AO＝．
∴⊙O的半径为．
27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，点E在△ABC的内部，连接EC，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，请求出tan∠EAC的值．
【解答】解：（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝2；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝，＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴＝，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴＝＝，即EC＝，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝＝a，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴＝，即＝，
解得，EF＝a，
∴AF＝＝a，
则tan∠EAC＝＝．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α
（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是 B，C ；
（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．
①当α＝60°时，PQ＝ 2 ；
②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；
（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．
【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；
当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″；
故答案为：B，C；
（2）①当α＝60°时，如图，
∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，
∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，
∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，
∴∠SP′T＝∠PP′Q，
∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），
∴PQ＝ST＝2，
故答案为：2；
②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，
如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣2，
∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），
∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，
∴P′T＝QT＝8，∠P′TQ＝30°，
∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，
∵∠TSP′＝30°，
∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，
∵ST＝2，
∴SP′＝＝，
∴SP＝SP′＝，
∴点P的坐标为P（﹣8+，0）．
（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，
如图，⊙O″与x轴相切，在x轴上取点R，使O″R＝8，
″
∴HR＝，
∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″T＝O′T，
∴△O″TR≌△TO′S（SSS），
∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，
故5°＜α≤30°；
如图，⊙O″与x轴相切，在x轴上取点R，使O″R＝2，
∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，
∴∠TRO″＝150°，
∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，
∴∠SO′T＝∠RTO″，
∵O′T＝TO″，
∴△O′ST≌△TRO″（SAS），
∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，
∴α＝150°，
∴150°≤α≤180°；
综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
d（米）
0
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3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
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