2024年黑龙江省九年级中考数学最后一卷

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一、单选题
1．C
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2．A
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】A、，故此选项正确．
B、，故此选项错误．
C、，故此选项错误．
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据概念逐个判断即可，掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解题的关键
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．
找到从正面看，得到的图形即可．
【详解】解：主视图是

故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，如图，连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
是的切线，切点是点，
，
，
，
．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：矩形的门的高比宽多尺寸，且门宽为尺，
门高为尺，
根据题意得：．
故选：A．
7．B
【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
【详解】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=，
故选B．
【点睛】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，相似比为2，
∴
∵的长为2，
∴，，
故选：A
9．B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图对各个结论依次进行分析判断即可．
【详解】解：①当时，，
、之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，甲的速度为，，
乙行走的速度是甲的倍，结论②错误；
③，，结论③正确；
故结论正确的有①③．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了解分式方程，①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．②解分式方程一定注意要验根．观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：，
两边同乘，得，
整理、解得：．
检验：将代入，
方程的解为．
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12．2（答案不唯一，满足的实数即可）
【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件，求出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴一个符合条件整数的值是2．
故答案为：2（答案不唯一，满足的实数即可）
13．5
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．把点代入，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：5
14．
【分析】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质，把跟号外的移到根号内，即可进行比较．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了因式分解．根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
16．
【分析】本题考查二次函数的性质，先化为顶点式的形式，进而利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得顶点坐标是，
故答案为：．
17．-2
【分析】分别求出两个不等式的解，再求得不等式组的解，然后找出最大负整数即可；
【详解】解：由不等式可得，
由不等式可得，
∴不等式组的解为，
∴最大负整数解是－2；
【点睛】本题考查了不等式组的解，其解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成．
18．2
【分析】本题考查了弧长公式，牢记公式是解题的关键．代入弧长公式即可求解．
【详解】解：由弧长公式得，解得，
故答案为：2．
19．64
【分析】根据菱形的性质可以求得和，再应用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵BD是菱形ABCD的一条对角线，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：64．
【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
20．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，定点定长确定阴圆等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹．求四边形的面积最小值，可转化为求点到对角线的最小值，由题干可知点为定点，为定长，利用“定点定长”作圆确定点的运动轨迹，利用点圆最值求解即可．
【详解】解：如图①，过点作于点，过点作于点，
在中，，，
，
，
当最小时，四边形的面积最小，
，
点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
、、三点共线时，最小，最小值为，
如图②，，，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
21．，
【分析】先把分式化简后，再求出的值代入求出分式的值即可．
【详解】
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点沿方向取一点，使得利用得线段比，即可找到点,再连接矩形的对角线交点即可；
（2）利用三角形全等找到所需的点，并进行简单证明．
【详解】（1）画图如图（1）
过点沿方向取一点，使得，得找到点,再连接矩形的对角线交点即可．
（2）中，画图如图（2）
画的高，步骤如下：
如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，
则，
中，
在中，
，

即
在边上画点，使，
步骤如下：如图，方法同上，找
可得：，
，为的中点，所以，即FY为BD的垂直平分线，FY交边于，即为所求点．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质，仅用无刻度的直尺作图是本题的难点，正确的计算和作图是解题的关键．
23．(1)60，0.05
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查频数分布表与频数分布直方图：
（1）依据总数频数频率可求得总人数，然后依据频数总数频率，频率频数总数求解即可；
（2）依据（1）中结果补全统计图即可；
（3）依据百分比频数总数求解即可．
【详解】（1）解：总人数为：，
，，
故答案为：60，0.05；
（2）解：频数分布直方图如图所示，
（3）解：，
答：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的概念，
（1）首先根据四边形是平行四边形得到，，，然后由角平分线的概念得到，然后证明出即可；
（2）首先由四边形是平行四边形得到，然后由得到，进而证明出四边形是平行四边形．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
，分别是，的角平分线，
，，
在和中，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
，，即
又，
，
，
∴
又
∴四边形是平行四边形．
25．(1)1瓶旺仔牛奶需4元，1瓶AD钙奶需3元
(2)每个礼包有4瓶旺仔牛奶，6瓶AD钙奶，总的购买费用最少为1700元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用．
（1）设1瓶旺仔牛奶需a元，1瓶钙奶需b元，列出关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解．
（2）根据题意列出W关于x的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可解题．
【详解】（1）解：设1瓶旺仔牛奶需a元，1瓶钙奶需b元，
由题可得：，
解得：．
答：1瓶旺仔牛奶需4元，1瓶钙奶需3元．
（2）由题可知：，
由题意得
，
∴w随x的增大而增大，
当时，（元），
∴（瓶）．
答：每个礼包有4瓶旺仔牛奶，6瓶钙奶，总的购买费用最少为1700元．
26．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出；
（2）利用圆内接四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（3）根据得出的长，即可求出的长，再判断，求出的值．
【详解】（1）证明：是的直径，
，即，
，
垂直平分，
；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，
又，
；
（3）解：连接，
，
，
在中，
，
是的中点，
，
，
是的中点，
，
，
即．
【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出，的长是解题关键．
27．(1)
(2)①；②
(3)是，
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质．
（1）先得出当时，抛物线的解析式，将其化为顶点式，即可解答；
（2）①先求出，再求出时x的值，得出，根据等腰三角形的定义得出，即可解答；②如图，过点作，垂足为，根据平行线的性质得出，则， 将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的顶点的坐标为，进而得出，，即可列出方程求解；
（3）点，点，点在同一条直线上．将抛物线的解析式化为，设点的横坐标为，纵坐标为，得出，，则．即可推出点，点都在直线．令，得，则点在直线上，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
∴点的坐标为．
（2）解：①在中，令，得，
∴；
令，得，
解得，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得．
②如图，过点作，垂足为，
∴．
∵，，
∴，
∴．
由①得，且是的中点，
∴．
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∴，．
∵，
∴，
解得．
（3）解：点，点，点在同一条直线上．
∵，
∴
∴设点的横坐标为，纵坐标为，
∴，，
∴．
∵
∴点，点都在直线．
令，得，
∴点在直线上，
∴点，点，点在同一条直线上，该直线的解析式为．