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北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 直线拟合优秀课时训练
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 直线拟合优秀课时训练，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册71一元线性回归分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册71一元线性回归分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1．两个变量x与y之间的回归方程（ ）
A．表示x与y之间的函数关系；B．表示x与y之间的不确定关系；
C．反映x与y之间的真实关系；D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
【答案】D
【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解.
【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
故选：D.
2．变量，之间有如下对应数据：
已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】计算出，代入回归方程，求出的值.
【详解】，
则有，解得
故选：B.
3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172 cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（ ）
A．为60.316 kgB．约为60.316 kg
C．大于60.316 kgD．小于60.316 kg
【答案】B
【分析】根据题意，令，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】由身高和体重的回归方程为，
令，可得（），
即由回归方程可以预测其体重大约为.
故选：B.
4．某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量(人)与旅游价格(元/人)负相关，则其回归直线方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据与负相关，可排除B，D，再根据实际意义即可得解.
【详解】由与负相关，可排除B，D，
而C中时，，不符合实际意义，排除C.
故选：A.
5．已知某生产商5个月的设备销售数据如下表所示：
生产商发现时间代码和销售台数有很强的相关性，决定用回归方程进行模拟，则的值是（ ）
参考数据、公式：；；若，则
A．3.2B．3.1C．3D．2.9
【答案】C
【分析】计算出，代入公式，求出.
【详解】，，
故.
故选：C
6．已知变量x，y之间具有线性关系，其散点图如图所示，则其线性回归方程可能为（ ）
A．＝1.5x＋2B．＝－1.5x＋2
C．＝1.5x－2D．＝－1.5x－2
【答案】B
【分析】根据散点图的带状分布特点判断回归直线的斜率和截距.
【详解】因为散点图由左上方向右下方成带状分布，所以线性回归直线的斜率为负数，所以排除AC，
因为散点图的带状区域经过轴的正半轴，所以线性回归直线在轴上的截距为正数，所以排除D.
故选：B
7．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ）
A．亿元B．亿元
C．亿元D．亿元
【答案】D
【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值.
【详解】，，
所以，所以，
当时，亿元.
故选：D
8．已知某回归方程为：，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（ ）
A．增加3个单位B．增加个单位
C．减少3个单位D．减少个单位
【答案】C
【分析】根据回归方程确定正确答案.
【详解】依题意，回归方程为：，
所以当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少3个单位.
故选：C
9．（多选）工人日工资Y（单位：元）随劳动生产率X（单位：千元）变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是（ ）
A．劳动生产率为1000元时，工资平均为150元
B．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元
C．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元
D．劳动生产率为1000元时，工资平均为90元
【答案】ABD
【分析】根据给定的回归直线方程，结合回归直线方程的意义判断作答.
【详解】回归直线方程表示劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元，C正确，B错误；
劳动生产率为1000元时，工人日工资平均预测值为150元，AD错误.
故选：ABD
10．（多选）如图是根据x，y的观测数据得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据散点图中点的分布可得出结论.
【详解】由题图知，
对于B、C，点呈片状分布，没有明显的线性相关关系，故B、C错误；
对于A，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，故A正确；
对于D，y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，x与y正相关，故D正确．
故选：AD.
11．（多选）已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位；cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x是正相关的
B．该回归直线必过点
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg
【答案】ABC
【分析】对于A，根据回归方程的系数分析判断，对于B，根据回归方程的性质分析，对于CD，由回归方程分析判断.
【详解】对于A，因为，所以y与x是正相关的，所以A正确，
对于B，回归直线恒过样本中心点，所以回归直线必过点，所以B正确，
对于C，由于回归方程为，所以可知该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，所以C正确，
对于D，当时，，所以该中学某高中女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，所以D错误，
故选：ABC
12．（多选）两个相关变量，的5组对应数据如表：
根据上表，可得线性回归方程，求得.据此估计，以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．当时，
【答案】AC
【分析】结合表中数据，根据回归直线过样本中心点，求得代入计算即可得出结果.
【详解】根据表中数据可知，，
，
将代入线性回归方程，得，，
即，令，则.
故选：AC
13．新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
则表中a的值为 ．
【答案】/
【分析】根据样本中心点过线性直线方程进行求解即可.
【详解】因为线性直线方程过样本中心点，
所以，
故答案为：
14．某学生在对50位同学的身高（单位：）与鞋码（单位：欧码）的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程.若50位同学身高与鞋码的均值分别为，则 .
【答案】
【分析】利用回归方程必过样本中心，代入求解即可.
【详解】因为经验回归方程为，，
所以.
故答案为：.
15．3月14日OpenAI公司宣布正式发布为ChatGPT提供支持的更强大的下一代人工智能技术GPT-4，科技产业的发展迎来新的格局，数据显示，它在各种专业和学术基准上与人类水平相当，优秀到令人难以置信，虽然给各行业带来了不同程度的挑战，但是也孕育了新的发展机遇.下表是某教育公司从2019年至2023年人工智能上的投入情况，其中表示年份代码（2019年用1表示，2020年用2表示，以此类推），表示投入资金（单位：百万元）.
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（若，则线性相关程度很高）（运算结果保留两位小数）
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2024年的投入资金.
参考公式与数据：相关系数，；
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)答案见解析
(2)，14.3（百万元）
【分析】（1）根据相关系数的参考公式计算出并判断即可；
（2）根据回归方程中斜率和截距的最小二乘估计的参考公式计算出即可得到y关于x的线性回归方程，再令得到该公司2024年的投入资金的预测值.
【详解】（1）由题知，，
因为，
，，
所以，
又，
所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）知，，
所以，，
所以回归方程为，
令，得到，
故预测该公司2024年的投入资金为14.3（百万元）．
1．设某商场今年上半年月销售额（万元）关于月份…的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将的值代入可得，再代入12可得答案.
【详解】由已知数据可得，
因为经验回归方程经过样本的中心点，
所以，解得,
则经验回归方程为.
所以，该商场月份销售额预计为.
故选：C.
2．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．B．C．70D．35
【答案】B
【分析】根据变换后回归直线方程必过样本中心点，再结合题意以及对数的运算计算即可.
【详解】因为，
所以，则，
即，
即，所以.
故选：B.
3．某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（ ）
A．5B．13
C．8059D．8077
【答案】D
【分析】表达式表示的是样本点与回归直线方程的整体接近程度，故可根据此意义逆向分析的意义，结合条件即可解决之.
【详解】由题意得，，
表示样本点与回归直线的整体接近程度，
且由样本点构成的表为
对应的回归直线方程为：，
由表知，所以，
由题意可知：在散点图中，样本点是将样本点整体向左平移了2016个单位，
故取到最小值时，回归直线与必平行，则有，
所以，所以.
故选：D.
4．某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（ ）
A．31B．32C．33D．34
【答案】C
【分析】首先求，并代入回归直线方程求，最后代入，即可求解.
【详解】因为，，所以，即.
所以回归方程为，当时，.
故选：C.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一组数的第75百分位数为15.5
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个容量为50的样本方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】CD
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，故A错误；
对于B，由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少0.6个单位，故B错误；
对于C，由数据的方差为，
则数据的方差为，故C正确；
对于D，由，得，
所以这组样本数据的总和等于，故D正确.
故选：CD.
6．．（多选）某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与正相关
B．线性回归方程中
C．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）
D．当时，残差为
【答案】ABC
【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，从数据可得随着的增加而增加，所以变量与正相关，所以A正确；
对于B中，由表中数据知，
则样本中心点为，将样本中心点，代入中，
可得，所以B正确；
对于C中，当时，该商场手机销售量约为（千只），
所以C正确；
对于D中，线性回归方程为，
当时，可得，残差为，所以D错误.
故选：ABC.
7．以函数模型去拟合一组数据，，…，，设，，，则c的值为 ．
【答案】
【分析】两边同时取对数，将非线性回归问题化为线性回归问题，然后利用样本中心点可解.
【详解】由，两边同时取对数可得，
由，可得．
因为，，
所以直线过点，
所以，得，所以．
故答案为：
8．5G网络通信技术是一种先进的网络通信技术，我国的5G网络通信技术发展迅速，已位居世界前列．某公司于2020年8月推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的一些数据并绘制图形，如图所示，在此折线图中，横轴1代表2021年8月，2代表2021年9月，…，5代表2021年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早 该款5G手机市场占有率能超过0.5%.（精确到月）
【答案】2022年8月
【分析】根据给定的折线图求出样本的中心点，并求出值即可求解作答.
【详解】由折线图知，，
因此回归直线过点，即有，解得，
于是回归直线方程为，
由，而，解得，
所以预计最早在2022年8月该款5G手机市场占有率能超过0.5%.
故答案为：2022年8月
9．经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】(1)；
(2)预测时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
【分析】（1）利用最小二乘法计算求回归直线方程即可；
（2）利用一次函数与二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由表格可知：，
由最小二乘法得，
，
所以y关于x的回归直线方程为：；
（2）据（1）中所求的回归方程可知：
，
由二次函数的性质可知，，
故时，，
由一次函数的性质可知，在时，，
综上，显然时，.
1．（多选）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A．样本中心点为
B．
C．时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
【答案】ABC
【分析】先求得样本中心点，然后求得，再根据残差、相关系数等知识确定正确答案.
【详解】，
所以样本中心点为，则，所以AB选项正确，
则，当时，，
对应残差为，所以C选项正确.
由于，，则，
所以若去掉样本点，则样本的相关系数不变.D选项错误.
故选：ABC
2．由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（ ）
A．变量正相关
B．若，则
C．经验回归直线至少经过中的一个点
D．
【答案】ABD
【分析】根据回归直线的相关性质分别判断各个选项即可.
【详解】对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确；
对于B:代入回归直线可得，B正确；
经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误；
根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确.
故选：ABD.
3．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01）
(3)若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）
附：相关系数，参考数据：，.
回归直线中：，.
【答案】(1)模型的拟合程度更好.
(2)
(3)
【分析】（1）计算相关系数得到，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程.
（3）取，解方程得到答案.
【详解】（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，
，
，
，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，
，，
所以关于的线性回归方程为，即.
（3），即，，
，解得.
所以2024年的研发资金投入量的约为亿元.
4
4.5
5.5
6
12
11
10
时间代码
1
2
3
4
5
销售台数（单位：百台）
5
7
8
14
16.5
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
a
1
1.2
1.5
1
2
3
4
5
3
7
8
10
12
x
2017
2018
2019
2020
2021
2022
k
1
2
3
4
5
6
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
年人均借阅量（册）
16
22
28
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
1．两个变量x与y之间的回归方程（ ）
A．表示x与y之间的函数关系；B．表示x与y之间的不确定关系；
C．反映x与y之间的真实关系；D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
【答案】D
【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解.
【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
故选：D.
2．变量，之间有如下对应数据：
已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】计算出，代入回归方程，求出的值.
【详解】，
则有，解得
故选：B.
3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172 cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（ ）
A．为60.316 kgB．约为60.316 kg
C．大于60.316 kgD．小于60.316 kg
【答案】B
【分析】根据题意，令，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】由身高和体重的回归方程为，
令，可得（），
即由回归方程可以预测其体重大约为.
故选：B.
4．某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量(人)与旅游价格(元/人)负相关，则其回归直线方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据与负相关，可排除B，D，再根据实际意义即可得解.
【详解】由与负相关，可排除B，D，
而C中时，，不符合实际意义，排除C.
故选：A.
5．已知某生产商5个月的设备销售数据如下表所示：
生产商发现时间代码和销售台数有很强的相关性，决定用回归方程进行模拟，则的值是（ ）
参考数据、公式：；；若，则
A．3.2B．3.1C．3D．2.9
【答案】C
【分析】计算出，代入公式，求出.
【详解】，，
故.
故选：C
6．已知变量x，y之间具有线性关系，其散点图如图所示，则其线性回归方程可能为（ ）
A．＝1.5x＋2B．＝－1.5x＋2
C．＝1.5x－2D．＝－1.5x－2
【答案】B
【分析】根据散点图的带状分布特点判断回归直线的斜率和截距.
【详解】因为散点图由左上方向右下方成带状分布，所以线性回归直线的斜率为负数，所以排除AC，
因为散点图的带状区域经过轴的正半轴，所以线性回归直线在轴上的截距为正数，所以排除D.
故选：B
7．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ）
A．亿元B．亿元
C．亿元D．亿元
【答案】D
【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值.
【详解】，，
所以，所以，
当时，亿元.
故选：D
8．已知某回归方程为：，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（ ）
A．增加3个单位B．增加个单位
C．减少3个单位D．减少个单位
【答案】C
【分析】根据回归方程确定正确答案.
【详解】依题意，回归方程为：，
所以当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少3个单位.
故选：C
9．（多选）工人日工资Y（单位：元）随劳动生产率X（单位：千元）变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是（ ）
A．劳动生产率为1000元时，工资平均为150元
B．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元
C．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元
D．劳动生产率为1000元时，工资平均为90元
【答案】ABD
【分析】根据给定的回归直线方程，结合回归直线方程的意义判断作答.
【详解】回归直线方程表示劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元，C正确，B错误；
劳动生产率为1000元时，工人日工资平均预测值为150元，AD错误.
故选：ABD
10．（多选）如图是根据x，y的观测数据得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据散点图中点的分布可得出结论.
【详解】由题图知，
对于B、C，点呈片状分布，没有明显的线性相关关系，故B、C错误；
对于A，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，故A正确；
对于D，y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，x与y正相关，故D正确．
故选：AD.
11．（多选）已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位；cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x是正相关的
B．该回归直线必过点
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg
【答案】ABC
【分析】对于A，根据回归方程的系数分析判断，对于B，根据回归方程的性质分析，对于CD，由回归方程分析判断.
【详解】对于A，因为，所以y与x是正相关的，所以A正确，
对于B，回归直线恒过样本中心点，所以回归直线必过点，所以B正确，
对于C，由于回归方程为，所以可知该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，所以C正确，
对于D，当时，，所以该中学某高中女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，所以D错误，
故选：ABC
12．（多选）两个相关变量，的5组对应数据如表：
根据上表，可得线性回归方程，求得.据此估计，以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．当时，
【答案】AC
【分析】结合表中数据，根据回归直线过样本中心点，求得代入计算即可得出结果.
【详解】根据表中数据可知，，
，
将代入线性回归方程，得，，
即，令，则.
故选：AC
13．新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
则表中a的值为 ．
【答案】/
【分析】根据样本中心点过线性直线方程进行求解即可.
【详解】因为线性直线方程过样本中心点，
所以，
故答案为：
14．某学生在对50位同学的身高（单位：）与鞋码（单位：欧码）的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程.若50位同学身高与鞋码的均值分别为，则 .
【答案】
【分析】利用回归方程必过样本中心，代入求解即可.
【详解】因为经验回归方程为，，
所以.
故答案为：.
15．3月14日OpenAI公司宣布正式发布为ChatGPT提供支持的更强大的下一代人工智能技术GPT-4，科技产业的发展迎来新的格局，数据显示，它在各种专业和学术基准上与人类水平相当，优秀到令人难以置信，虽然给各行业带来了不同程度的挑战，但是也孕育了新的发展机遇.下表是某教育公司从2019年至2023年人工智能上的投入情况，其中表示年份代码（2019年用1表示，2020年用2表示，以此类推），表示投入资金（单位：百万元）.
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（若，则线性相关程度很高）（运算结果保留两位小数）
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2024年的投入资金.
参考公式与数据：相关系数，；
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)答案见解析
(2)，14.3（百万元）
【分析】（1）根据相关系数的参考公式计算出并判断即可；
（2）根据回归方程中斜率和截距的最小二乘估计的参考公式计算出即可得到y关于x的线性回归方程，再令得到该公司2024年的投入资金的预测值.
【详解】（1）由题知，，
因为，
，，
所以，
又，
所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）知，，
所以，，
所以回归方程为，
令，得到，
故预测该公司2024年的投入资金为14.3（百万元）．
1．设某商场今年上半年月销售额（万元）关于月份…的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将的值代入可得，再代入12可得答案.
【详解】由已知数据可得，
因为经验回归方程经过样本的中心点，
所以，解得,
则经验回归方程为.
所以，该商场月份销售额预计为.
故选：C.
2．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．B．C．70D．35
【答案】B
【分析】根据变换后回归直线方程必过样本中心点，再结合题意以及对数的运算计算即可.
【详解】因为，
所以，则，
即，
即，所以.
故选：B.
3．某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（ ）
A．5B．13
C．8059D．8077
【答案】D
【分析】表达式表示的是样本点与回归直线方程的整体接近程度，故可根据此意义逆向分析的意义，结合条件即可解决之.
【详解】由题意得，，
表示样本点与回归直线的整体接近程度，
且由样本点构成的表为
对应的回归直线方程为：，
由表知，所以，
由题意可知：在散点图中，样本点是将样本点整体向左平移了2016个单位，
故取到最小值时，回归直线与必平行，则有，
所以，所以.
故选：D.
4．某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（ ）
A．31B．32C．33D．34
【答案】C
【分析】首先求，并代入回归直线方程求，最后代入，即可求解.
【详解】因为，，所以，即.
所以回归方程为，当时，.
故选：C.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一组数的第75百分位数为15.5
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个容量为50的样本方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】CD
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，故A错误；
对于B，由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少0.6个单位，故B错误；
对于C，由数据的方差为，
则数据的方差为，故C正确；
对于D，由，得，
所以这组样本数据的总和等于，故D正确.
故选：CD.
6．．（多选）某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与正相关
B．线性回归方程中
C．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）
D．当时，残差为
【答案】ABC
【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，从数据可得随着的增加而增加，所以变量与正相关，所以A正确；
对于B中，由表中数据知，
则样本中心点为，将样本中心点，代入中，
可得，所以B正确；
对于C中，当时，该商场手机销售量约为（千只），
所以C正确；
对于D中，线性回归方程为，
当时，可得，残差为，所以D错误.
故选：ABC.
7．以函数模型去拟合一组数据，，…，，设，，，则c的值为 ．
【答案】
【分析】两边同时取对数，将非线性回归问题化为线性回归问题，然后利用样本中心点可解.
【详解】由，两边同时取对数可得，
由，可得．
因为，，
所以直线过点，
所以，得，所以．
故答案为：
8．5G网络通信技术是一种先进的网络通信技术，我国的5G网络通信技术发展迅速，已位居世界前列．某公司于2020年8月推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的一些数据并绘制图形，如图所示，在此折线图中，横轴1代表2021年8月，2代表2021年9月，…，5代表2021年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早 该款5G手机市场占有率能超过0.5%.（精确到月）
【答案】2022年8月
【分析】根据给定的折线图求出样本的中心点，并求出值即可求解作答.
【详解】由折线图知，，
因此回归直线过点，即有，解得，
于是回归直线方程为，
由，而，解得，
所以预计最早在2022年8月该款5G手机市场占有率能超过0.5%.
故答案为：2022年8月
9．经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】(1)；
(2)预测时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
【分析】（1）利用最小二乘法计算求回归直线方程即可；
（2）利用一次函数与二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由表格可知：，
由最小二乘法得，
，
所以y关于x的回归直线方程为：；
（2）据（1）中所求的回归方程可知：
，
由二次函数的性质可知，，
故时，，
由一次函数的性质可知，在时，，
综上，显然时，.
1．（多选）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A．样本中心点为
B．
C．时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
【答案】ABC
【分析】先求得样本中心点，然后求得，再根据残差、相关系数等知识确定正确答案.
【详解】，
所以样本中心点为，则，所以AB选项正确，
则，当时，，
对应残差为，所以C选项正确.
由于，，则，
所以若去掉样本点，则样本的相关系数不变.D选项错误.
故选：ABC
2．由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（ ）
A．变量正相关
B．若，则
C．经验回归直线至少经过中的一个点
D．
【答案】ABD
【分析】根据回归直线的相关性质分别判断各个选项即可.
【详解】对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确；
对于B:代入回归直线可得，B正确；
经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误；
根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确.
故选：ABD.
3．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01）
(3)若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）
附：相关系数，参考数据：，.
回归直线中：，.
【答案】(1)模型的拟合程度更好.
(2)
(3)
【分析】（1）计算相关系数得到，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程.
（3）取，解方程得到答案.
【详解】（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，
，
，
，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，
，，
所以关于的线性回归方程为，即.
（3），即，，
，解得.
所以2024年的研发资金投入量的约为亿元.
4
4.5
5.5
6
12
11
10
时间代码
1
2
3
4
5
销售台数（单位：百台）
5
7
8
14
16.5
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
a
1
1.2
1.5
1
2
3
4
5
3
7
8
10
12
x
2017
2018
2019
2020
2021
2022
k
1
2
3
4
5
6
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
年人均借阅量（册）
16
22
28
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
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