高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程精品同步训练题

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1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解.
【详解】由题意可得圆心坐标，半径为，
则圆的方程为，即为，
故选：C.
2．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程即得.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心坐标为.
故选：B.
3．点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上
C．在圆内D．与a的值有关
【答案】A
【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论
【详解】圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆外，
故选：A
4．已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于对称的点为，
圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，
因此所求的圆的方程为.
故选：D
5．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
6．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解.
【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上．
设圆心坐标为，则由，解得或，
∴圆的标准方程为或．
故选：AD．
7．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为
【详解】圆的圆心为，半径，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，
故答案为：5
8．直线l平分圆的周长的充要条件是直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】过原点的直线一定平分圆的周长，故可得答案.
【详解】直线l平分圆的周长，
则直线l必过原点.
所以直线l的方程为或.
故答案为：或
9．参数方程表示圆心为 ，半径为 的圆，化为标准方程为 ．
【答案】 1
【分析】方法一：根据参数方程的定义可得圆心和半径，进而可得圆的标准方程；方法二：将参数方程整理得圆的标准方程，进而可得圆心和半径.
【详解】方法一：从参数方程中可以可得：圆心为，半径，
所以圆的标准方程为．
方法二：参数方程变形为平方相加，得到标准方程，
所以圆心坐标为，半径．
故答案为：；1；.
10．直角三角形ABC的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先设点，根据垂直关系，列式求，再根据圆心和半径求圆的方程.
【详解】由于点C在x轴上，设点．
又∠ABC为直角，所以.
即，解得x＝4，即,
由于是以为直角的直角三角形，
则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则，
所以圆M的半径为，
因此圆M的标准方程为.
故答案为：
1．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
2．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，
所以圆心为，直径为，
所以圆的标准方程是.
故选：C.
3．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】因为圆心，，所以圆心，
因为是圆的弦的中点，
所以，
所以，则直线的方程为，即，
故选：C.
4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离．
【详解】设点关于直线的对称点坐标为
故，解得，即对称点，故原点到点的距离，
所以最短距离为．
故选：C

5．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.
(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
6．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
1．已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】依题意，，由，得，解得，
所以.
故选：C
2．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
3．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断.
【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，
故经过点的圆有两个，故C错误；
D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.
故选：ABD.
4．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）

【答案】（答案不㫿一）
【分析】求出点D坐标及到三个正方形项点的距离可得答案．
【详解】
由图可得，，，，，，
所以，，，，
所以，，
，，
，，
点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，
所以圆D的一个方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
5．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．