广东省汕头市潮南区两英镇2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省汕头市潮南区两英镇2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，解答题23. 已知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（ ）
A. a＝1B. a＝－1C. a＝2D. a＝－2
【答案】A
【解析】
【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故选：A
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．
2. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 四个角都相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形、平行四边形的性质，且菱形具有平行四边形的全部性质，对每个选项进行分析比较即可得出结论．
【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，菱形具有平行四边形的性质且对角线互相垂直，
所以选项A不符合题意，选项C符合题意；
因为对角线相等、四个角都相等的是矩形或正方形，
所以选项B、D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形的性质的理解能力．涉及平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直且平分，矩形、菱形对角线相等且四个角都相等知识点．明确平行四边形和菱形的性质以及二者之间的关系是解本题的关键．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新来这里 全站资源一元不到！试卷。3. 若，则（ ）
A. B. C. D. x为一切实数
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
4. 如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出，再用，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查几何图形中的角度计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
5. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解．
【详解】解：正方形的边长为，
，
，
，
，
故选：．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
【详解】解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA==，∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB=，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则与乘法公式是解题的关键．
先利用平方差公式求出，再代入，计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
故选：B．
8. 如图，在中，，点 分别是的中点，连接．若四边形 为菱形，则的面积为( )
A. 7.5B. 9.6C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，等边对等角，勾股定理等知识，先证明得到，利用勾股定理求出，从而得到．推导是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点M是的中点，，
∴，
又∵四边形 为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴的面积为：．
故选：C．
9. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A. ﹣7B. ﹣6C. ﹣5D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
10. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，连接，由菱形的性质得，，，利用勾股定理可以求得的长为，又因为，，可证四边形为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得，当时，最短，再利用面积法求出的长即可求解的最小值，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，值最小，
此时，，
∴，
∴最小值为，
故选：．
二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分)
11. 在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D=_____．
【答案】130°
【解析】
【详解】解：由平行四边形对角相等可得∠A=∠C，
又因∠A+∠C=100°，
所以∠A=∠C=50°
根据平行四边形的邻角互补可求的∠D=130°.
考点：平行四边形的性质.
12. 请写出一个值，使有意义，则____．
【答案】5（答案不唯一）【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．由被开方数能求出的范围，再写出范围内的其中一个值即可．
【详解】要使有意义，
则，
即，
故的值可以是5．
故答案为：5（答案不唯一）．
13. 如图，，点是的中点，则的度数是______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及等腰三角形性质等相关知识，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据等腰三角形的性质可知，进而即可得解．
【详解】解：，点是的中点，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，对角线交点为，过点作的垂线交于点，若，则长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理、矩形的性质求出BD的长，从而可得OB的长，再求出的余弦值，从而可得的余弦值，然后根据余弦值可求出BE的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】四边形ABCD是矩形
，，，
在中，
，即
解得
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、余弦等知识点，掌握矩形的性质是解题关键．
15. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
三、解答题（一）(本大题4小题，每小题6分，共24分)
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法法则进行解题即可．
【详解】解：原式．17. 已知，求代数式值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，利用分母有理化把x化简，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：．

【答案】见详解
【解析】
【分析】根据条件证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
四、解答题（二）(本大题3小题，每小题7分，共21分)
20. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4
（2）阴影部分的面积为12
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；
（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：∵正方形ABCD面积为8，正方形ECFG的面积为32，
∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．
【小问2详解】
阴影部分的面积为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．
21. 如图，四边形是平行四边形．

（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，

∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
22. 阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：∵
∴
这种方法称为“构造对偶式”
问题：已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，然后问题可求解；
（2）由（1）及题意可列方程进行求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
；
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，①
∵，②
∴①+②得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
五、解答题（三）(本大题3小题，每小题10分，共30分)23. 已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度移动，设运动的时间为秒．
（1） ，边上的高 ；
（2）当为直角三角形时，求的值．
【答案】（1），
（2）的值为或
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由勾股定理可得，再利用面积法即可求得边上的高；
（2）由于为锐角，分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
，
，
故答案为：4，；
【小问2详解】
解：由题意得：，
在中，为锐角，
当时，，
；
当时，如图，
则，
在中，，
在中，，
，
解得：；
综上所述，的值为4或．
24. 在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点E，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：

（1）如图2，若，，，求的长；
（2）如图3，若，求四边形的面积；
（3）如图4，若，，，直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意得到，是等腰三角形即可求解；
（2）四边形面积即可求解；
（3）由勾股定理得到求可求解．【小问1详解】
解：,
是等腰三角形，
，
，
∴垂直平分，
．
【小问2详解】
解：，
∴

．
【小问3详解】
解：
∴都是直角三角形，每个直角三角形都满足勾股定理，
∴，，
得 ，
得 ，
∵上面两式左边相等，右边也相等，
∴，
将 代入上面等式，
解得，负值舍去．
【点睛】本题考查了四边形综合，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
25. 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质先证明，得出即可得证；
（2）延长到M，使得，连接，先证明，再证明即可求解．
【小问1详解】
∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；【小问2详解】
延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．