广东省汕头市潮南区陈店镇2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
2. 下列条件中，不能判断为直角三角形是（ ）
A. ，，B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D．
【详解】解：A、∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
B、设，
∵，
∴不是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，解得：，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，
解得：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形那是直角三角形，以及三角形的内角和为．
3. 正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：设正方形的对角线为x，
∵正方形的面积是4，
∴边长的平方为4，
∴由勾股定理得，x＝＝2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4. 下列各式成立的是 ( )
A. =2B. =-5C. =xD. =±6
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据算术平方根的定义判断即可．
详解：A．，正确；
B．，错误；
C．，错误；
D．，错误．
故选A．
点睛：本题考查了算术平方根问题，关键是根据算术平方根的定义解答．
5. 菱形不具备的性质是（ ）
A. 四条边都相等B. 对角线一定相等C. 是轴对称图形D. 是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】菱形的四条边相等，
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，
菱形对角线垂直但不一定相等，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
6. 在直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边上的中线长是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理直接得出斜边长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可．
【详解】解：∵直角三角形两直角边的长分别为3和4，
∴斜边长=，
∴斜边上的中线长是
故选：B．
7. 大小在和之间的整数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】先估算和的值，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴在和之间的整数只有2，这一个数，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
8. 1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB延长线于点F，则BF的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A. 25°B. 30°C. 50°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的性质．
10. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴．
∴．
又∵，
∴BC·AE=24，
即．
故选D．
点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为线段的长为____________________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由点的坐标、勾股定理得．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
13. 如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点，若厘米，的周长是21厘米，则________厘米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分推出厘米，进而根据三角形周长计算公式得到厘米，再由三角形中位线定理即可得到厘米．
【详解】解：∵的对角线相交于点O，
∴，
∵厘米，
∴厘米，
∵的周长是21厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∵点E，F分别是线段中点，
∴是的中位线，
∴厘米，
故答案为：4．
14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：∵与是同类二次根式，即被开方数相同，
∴2a-4=2，
解得a=3．
故答案为：3．
15. 如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点，
∵与关于对称，
∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点为对角线的交点，
∴，
∵与关于对称，
∴，
∴，
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．
三、解答题（一）（每小题6分，共24分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，能合并的合并，再做除法．
【详解】解：原式=，
=，
=．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握二次根式的运算，注意运算顺序是解题的关键．
17. 如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角，求梯子的顶端离地面的距离的值．
【答案】梯子的顶端离地面的距离的值为
【解析】
【分析】本题考查饿了勾股定理，根据勾股定理计算即可得出答案，熟记勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：由题意得，
，
梯子的顶端离地面的距离的值为．
18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．
19. 如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的周长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形性质，直角三角形的性质以及勾股定理，先根据矩形性质得出，，结合，得出，运用勾股定理列式进行计算，即可作答．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，，，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
矩形的周长是．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20. 先化简，再求值：已知，试求的值．
【答案】原式，当时，原式.
【解析】
【详解】试题分析：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值．
试题解析：
,
当时，
原式.
21. 计算：如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上．

（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到边的距离．
【答案】（1）不是，见解析；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理在网络图直角三角形中，求三角形三边的平方，根据勾股定理逆定理判断是否构成直角三角形；
（2）由面积法：运用组合图形求出三角形面积，利用三角形面积公式构建方程求解．
【小问1详解】
不是；
如图，由勾股定理，
，，
∴
∴三角形不是直角三角形．
【小问2详解】
如图，
∵
∴
设点C到边的距离为,则，解得
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，组合图形求面积，观察图形，确定合适的直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
22. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
【小问2详解】
证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
五、解答题（三）（每小题10分，共30分）
23. 观察下列运算：
由，得；由，得；由，得；…
（1）通过观察得___________；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案；
（2）根据对原式进行裂项，得到，由此求解即可．
【小问1详解】
解：；
；
；
……
∴可以得到规律，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解．
24. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）先证明，，再根据证明，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，由，是斜边的中线，可得，从而可得结论；
（3）先由勾股定理得，再根据即可求解．
【小问1详解】
为中点
，
．
在和中，
，
，
，
为中线，
，
；
【小问2详解】
四边形的形状是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
为中线，
，
平行四边形是菱形；
【小问3详解】
由（2）知，
∵，
由勾股定理得：
，
答：四边形的面积为6．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
25. 如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．
（1）当时，求证：；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；
（2）延长CB至M，使，连接AM，先易得，推出，，进而得到，最后利用全等三角形的性质求解；
（3）过点H作于点N，易得，进而求出，再根据（2）的结论求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：BE，EF，DF存在的数量关系为．
理由如下：
延长CB至M，使，连接AM，
则．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∴∠MAE=∠FAE，
在和中
，
∴，
∴EM=EF，
∵EM=BE+BM，
∴；
【小问3详解】
解：过点H作于点N，
则．
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
由（2）知，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．