2023-2024学年山东省济南市育英教育集团八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市育英教育集团八年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了已知两个分式等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．﹣a＞﹣bB．2﹣a＜2﹣bC．2a＜2bD．a﹣b＜0
2．（4分）下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9
B．a2+4a+4＝a（a+4）+4
C．a2﹣2a+8＝（a﹣2）（a+4）
D．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y）
3．（4分）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD∥BC
5．（4分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB=10，BC=8，∠ACB=90°，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m,4），则关于x的不等式-2x+2＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
8．（4分）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（ ）
A．被9整除B．被a整除C．被a+1整除D．被a﹣1整除
9．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF=BE；④PF=PC．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）已知两个分式：，，将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N1；（即
第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2；作差，结果记为N2；（即M2＝M1+N1，N2＝M1﹣N1）
第三次操作：将M2，N2作和，结果记为M3；作差，结果记为N3；（即M3＝M2+N2，N3＝M2﹣N2）⋯
（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，有以下结论：
①M3＝2M1；②当x＝1时，M2+M4+M6+M8＝20；③在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③④
二.填空题（共6小题）
11．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（1-2m,3）在第二象限，则m的取值范围是 ．
12．（4分）因式分解：x2﹣16x+64＝ ．
13．（4分）如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 度．
14．（4分）若关于x的分式方程+1＝有增根，则k= ．
15．（4分）在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中，．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐．毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p,H，q满足，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声，我们称p,H，q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．用含A、G的代数式表示H为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至点D，使BD=12，E为边AC上的点，且AE=2，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ的长为 ．
三.解答题（共10小题）
17．（4分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．（8分）分解因式：
（1）3x2﹣12；
（2）a2b2﹣ab﹣6．
19．（8分）（1）化简：；
（2）解方程：．
20．（6分）如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
21．（8分）先化简，再求值：，其中．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，CD=6，AC=8．动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）CB的长为 ．
（2）线段BQ的长为 .（用含t的代数式表示）
（3）当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值．
23．（10分）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆．
（1）求树苗基地每捆A种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
24．（10分）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+，∴x1＝1，x2＝3．
再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4）1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝ ，x2＝ ．
（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．
25．（12分）【问题背景】如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC=60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．
证明：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线交于点E，连接DE．
∵AB∥CE，AC∥BE．
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝ ，AB＝CE．
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠AOC＝60°．
又∵CD＝AB＝CE，
∴△DCE为等边三角形，CD＝ ．
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
请完成证明中的两个填空．
【迁移应用】
如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边AB上，点N在边CD上，点O在MN上，过点O作MN的垂线，交AD于点F，交BC于点E．求证：
①MN＝EF；
②．
【联系拓展】
如图3，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D在直线l上，点A到BD的距离为，求线段CD的最小值．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（-2，0），交y轴于点B（0，4），直线y=kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知△ABC面积为10．
（1）点C的坐标是 ，直线BC的表达式是 ；
（2）如图2，若G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△ABO，求G点坐标和直线AG的表达式；
（3）在（2）的条件下，点M为直线AG上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省济南市育英教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1．【答案】B
【解答】解：已知a＞b，
两边同乘﹣1得﹣a＜﹣b，则A不符合题意；
两边同乘﹣1，再同时加3得2﹣a＜2﹣b；
两边同乘3得2a＞2b，则C不符合题意；
两边同时减b得a﹣b＞2，则D不符合题意；
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：A、（a﹣3）2＝a3﹣6a+9从左到右的变形是整式的乘法，不符合题意；
B、a7+4a+4＝a（a+5）+4，从左到右的变形不是因式分解；
C、a2﹣4a+8≠（a﹣2）（a+6），故C不是因式分解；
D、2ax2﹣4ay2＝2a（x+y）（x﹣y），从左到右的变形是因式分解；
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：A．分子分母同时加上同一个数，故原选项错误；
B．，故原选项正确．
C．，故原选项错误；
D．，故原选项错误；
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：A、AB∥DC，故此选项不合题意；
B、AB＝DC，故此选项不合题意；
C、AO＝CO，故此选项不合题意；
D、AB∥DC，故此选项符合题意；
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝5k，
∴
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
6．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AO＝CO，
∵AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∴CO＝AO＝3，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝4BO＝2．
故选：A．
7．【答案】A
【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+5得﹣2m+2＝8，
当x＞﹣1时，﹣2x+3＜kx+b．
故选：A．
8．【答案】C
【解答】解：原式＝（3a+5+7）（3a+5﹣3）＝3（3a+2）（a+1），
则对于任何整数a，多项式（3a+3）2﹣4都能被a+6整除．
故选：C．
9．【答案】C
【解答】解：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③错误；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
正确的有3个，
故选：C．
10．【答案】C
【解答】解：∵，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
……
可知，故选项①正确；
当x＝4时，M2+M4+M7+M8＝＝2+6+8+16＝30；
当n＝1时，不是定值；
∵，
，
，
……
∴，
∵，
，
，
……
∴
故选项④正确，
故选：C．
二.填空题（共6小题）
11．【答案】．
【解答】解：∵点P（1﹣2m，2）在第二象限，
∴1﹣2m＜4，
解得，
故答案为：．
12．【答案】（x﹣8）2．
【解答】解：原式＝（x﹣8）2．
故答案为：（x﹣6）2．
13．【答案】48．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为＝108°．
∴∠EDC＝108°，
∴∠EDF＝72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°．
解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF＝72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°；
故答案为：48．
14．【答案】﹣4．
【解答】解：去分母，得：5+k+x﹣2＝7，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，
把x＝8代入整式方程，可得：k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．【答案】．
【解答】解：∵H为p和q的调和平均数，
∴，
∴，
∴，
∴H＝，
∵，，
∴H＝．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：如图，连接AD，连接PF，
∵P，Q分别为AB，
∴PF是△ABD的中位线，QF是△ADE的中位线，
∴PF＝BD＝，PF∥BDAE＝，QF∥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PFQ＝90°，
∴PQ＝＝＝，
故答案为：．
三.解答题（共10小题）
17．【答案】﹣1＜x≤3，数轴见解析．
【解答】解：
由①，得x≤3，
由②，得x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
解集在数轴上表示如下．
18．【答案】（1）3（x+2）（x﹣2）；
（2）（ab﹣3）（ab+2）．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣2）
＝3（x+2）（x﹣4）；
（2）原式＝（ab﹣3）（ab+2）．
19．【答案】（1）；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝
＝；
（2）原方程去分母得：x+2（x﹣3）＝﹣4，
整理得：3x﹣6＝﹣6，
解得：x＝1，
检验：当 x＝1 时，x﹣5＝1﹣3＝﹣8≠0，
故原分式方程的解为x＝1．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：OP是∠AOB的平分线；
理由：由四边形AEBF是平行四边形可以知道AP＝BP，
又OA＝0B，
则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，
所以OP是∠AOB的平分线．
21．【答案】，．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣6时＝．
22．【答案】（1）10；
（2）BQ＝10﹣8t或BQ＝8t﹣10；
（3） 或1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，∠BAC＝∠DCA＝90°，
∴CB＝＝＝10，
故答案为：10；
（2）由题意得：CQ＝8t，
当点Q在线段CB上时，QB＝BC﹣CQ＝10﹣6t；
当点Q在线段CB延长线上时，QB＝CQ﹣BC＝8t﹣10；
综上所述，线段QB的长为10﹣8t或4t﹣10；
故答案为：10﹣8t或8t﹣10；
（3）①若四边形PQBA是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴5t＝10﹣8t，
解得：t＝1．
②若四边形APBQ是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴3t＝8t﹣10，
解得：t＝，
综上所述， 或7时、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形．
23．【答案】（1）30元；
（2）2800元．
【解答】解：（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，
答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元；
（2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗，
根据题意得：m≤100﹣m，
解得：m≤50．
设本次购买共花费w元，则w＝30×4.8m+40×0.4（100﹣m），
即w＝﹣8m+3200，
∵﹣8＜5，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最小值．
答：本次购买最少花费2800元钱．
24．【答案】（1）﹣2：﹣3
（2）﹣
（3）﹣
【解答】解：（1）x+＝﹣5可化为x+，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣3．
（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝﹣2，
∴+
＝
＝
＝
＝﹣．
（3）原方程变为x﹣4﹣＝﹣k﹣3，
∴x﹣8+＝k+（﹣2k﹣3）
∴x5﹣2＝k，x2﹣8＝﹣2k﹣3，
∴＝
＝﹣．
25．【答案】【问题背景】证明见解答过程；BE，DE；
【迁移应用】①证明见解答过程；
②证明见解答过程；
【联系拓展】CD的最小值为2．
【解答】【问题背景】证明：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，连接DE．
∵AB∥CE，AC∥BE．
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝BE．
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠AOC＝60°．
又∵CD＝AB＝CE，
∴△DCE为等边三角形，CD＝DE．
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
故答案为：BE，DE；
【迁移应用】证明：①如图2中，作FH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵FH⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∴四边形AFHB是矩形，
∴FH＝AB，
同理可证：MK＝BC，
∵AB＝BC，
∴FH＝MK，
∵MN⊥EF，
∴∠EON＝∠ECN＝90°，
∴∠MNK+∠CEO＝180°，
∵∠FEH+∠CEO＝180°，
∴∠MNK＝∠FEH，
∵∠FHE＝∠MKN＝90°，
∴△FHE≌△MKN（AAS），
∴EF＝MN；
②如图2中，以EF，连接NG．
∴FM＝EG，FM∥EG，EF∥MG，
∴∠NOE＝∠NMG＝90°，
∵MN＝EF，
∴MN＝MG，
∴GN＝MG＝，
∵FM+EN＝EG+EN≥NG，
∵EF≥AB＝4，
∴FM+NE≥8．
【联系拓展】解：如图3中，以AD，连接PA交BD于O．
∴DP＝AB＝AC，
∴∠DPB＝∠ABC＝∠ACB，
∵DP＝AC，∠DPB＝∠ACB，
∴△DPC≌△ACP（SAS），
∴DC＝AP，
∵A到DB的距离为，
∴AO≥，
∴DC＝AP＝2AO≥6，
∴CD的最小值为2．
26．【答案】（1）（3，0），y＝﹣x+4；
（2）G（，），
（3）N点坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．
【解答】解：（1）∵△ABC面积为10，
∴×AC×OB＝，
∴AC＝5，
∵A（﹣4，0），
∴C（3，7），
将点B与C的坐标代入y＝kx+b可得，
，
∴，
∴直线BC的表达式是 y＝﹣x+6，
故答案为：（3，0）x+4；
（2）连接OG，
∵S△ABG＝S△ABO，
∴OG∥AB，
设AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣7，0），4）代入得，
解得，
∴y＝2x+5，
∴OG的解析式为y＝2x，
∵直线BC的表达式是 y＝﹣x+4，
∴2x＝﹣x+4，
∴x＝，
∴G（，），
设AG的解析式为y＝k1x+b4，
将点A、G代入可得，
解得，
∴直线AG的表达式为y＝x+；
（3）∵点M为直线AG上动点，点N在x轴上，
则可设M（t，，N（n，
①当BC、MN分别为对角线时，
BC的中点为（，2），t+），
∴＝，2＝），
∴t＝，n＝﹣，
∴N（﹣，6）；
②当BM、CN分别为对角线时，
BM的中点为（，t+），0），
∴＝，t+，
∴t＝﹣，n＝﹣，
∴N（﹣，0）；
③当BN、CM分别为对角线时，
BN的中点为（，2），t+），
∴＝，2＝，
∴t＝，n＝，
∴N（，0）．
综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，0）或（﹣，0）