西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若随机变量服从正态分布,,则实数a等于( )
A.B.0C.1D.2
2．已知函数的定义域内R,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为.已知,,,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )
A.162B.166C.170D.174
4．将甲、乙、丙等7名志愿者分配到A，B，C三个地区参加志愿者活动，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知函数满足,且的导函数,则的解集为( )
A.B.C.D.
6．若某射击手每次射击击中目标的概率为（）,每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中,“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的,则p的值为( )
A.B.C.D.
7．定义;各位数字之和为9的四位数叫“好运数”,比如1008,2205,则所有“好运数”的个数为( )
A.165B.162C.156D.144
8．已知函数及其导函数的定义域均为R,与均为偶函数,且,则( )
A.2025B.2024C.1D.0
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的是( )
A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12
B.某人解答5个问题,答对题数为X,若,则
C.在的展开式中,各项系数和与所有项二项式系数和相等
D.已知一系列样本点(,2,3…)的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则
10．已知函数,则( )
A.有两个极值点,
B.有三个零点
C.点是的对称中心
D.在区间上有最大值,则a的取值范围为
11．现有红,黄,绿三个不透明盒子,其中红色盒子内装有两个红球,一个黄球和一个绿球;黄色盒子内装有两个红球,两个绿球;绿色盒子内装有两个红球,两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同色的盒子中;第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼,黄球获得2块月饼,绿球获得3块月饼,小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和,则下列说法正确的是( )
A.在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.如果第二次抽到红球,那么它来自黄色盒子的概率为
D.小明获得块月饼的概率是
三、填空题
12．从5名男生和6名女生中,选出3名代表,要求3名代表中既有男生又有女生的选法有___________种.
13．的展开式中项的系数为___________.
14．已知关于x的不等式在上有解.则实数k的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式以及前n项和;
（2）若,求数列的前n项和.
16．某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学学科提供4种不同层次的课程,分别称为数学1,数学2,数学3,数学4,每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习,该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表:
用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析.
（1）选出的10名学生中,选择数学1,数学2,数学3,数学4的各有几人?从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率;
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X,选择数学1的人数为Y,设随机变量,求随机变量的分布列和数学期望.
17．已知椭圆(),经过点,离心率为,圆O以椭圆的短轴为直径.
（1）求椭圆E的标准方程和圆O的方程;
（2）设P为椭圆的左顶点,过点P作两条相互垂直的直线,,设直线与椭圆E的另一个交点为Q,直线交圆O于A,B两点,求面积的最大值.
18．已知函数.
（1）若,求函数在处的切线方程;
（2）若函数在上单调递减,求a的取值范围;
（3）若函数有两个极值点,,求证:.
19．阅读知识卡片,结合所学知识完成以下问题:
知识卡片1:
一般地,如果两数在区间上的图象连续不断,用分点将区间等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点(,2,…,n),作和式(其中为小区间长度),当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即.这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,x叫做积分变量,叫做被积式.从几何上看,如果在区间上函数的图象连续不断且恒有,那么定积分表示由直线,,和曲线所围成的区域(称为曲边梯形)的面积.
知识卡片2:
一般地,如果在区间上图象连续不断,并且,那么.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如,如图所示,对于函数(),从几何上看,定积分的值为由直线,,和曲线所围成的区域即曲边梯形ABQP的面积,根据微积分基本定理可得.
（1）求下列定积分:
①;
②;
③;
④.
（2）已知,计算:
①;
②
（3）当,时,有如下表达式:.计算:
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,解得.
故选:B.
2．答案：D
解析：函数的定义域内R,则恒成立,
令,则,
时,;时,,
在上单调递减,在上单调递增,,
时,,则有,得,
所以实数m的取值范围是.
故选:D
3．答案：B
解析：根据题意,得,,
,由在上,得,即,故,
令,得,即该学生身高约为166cm.
故选:B.
4．答案：D
解析：将甲、乙、丙等7名志愿者分配到A，B，C三个地区，每个地区至少分配2人，则有3人分到同一个地区，分配方法共有种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有种，故所求概率为.故选D.
5．答案：D
解析：试题分析:令,则,所以函数在定义域上为单调递减函数,因为,所以,即,根据函数在定义域上单调递减,可知,故选D.
6．答案：D
解析：因为射击手每次射击击中目标的概率为p,且每次射击的结果相互独立,
由题可得,即,解得或(舍),
故选:D.
7．答案：A
解析：因为各位数字之和为9的四位数叫好运数,所以按首位数字分别计算:
当首位数字为9,则剩余三个数字分别为0,0,0,共有1个好运数;
当首位数字为8,则剩余三个数字分别为1,0,0,共有3个好运数;
当首位数字为7,则剩余三个数字分别为1,1,0或2,0,0,共有个好运数;
当首位数字为6,则剩余三个数字分别为3,0,0或2,1,0或1,1,1,共有个好运数;
当首位数字为5,则剩余三个数字分别为4,0,0或3,1,0或2,2,0或2,1,1,共有个好运数;
当首位数字4,则剩余三个数字分别为5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,1,
共有个好运数;
当首位数字为3,则剩余三个数字分别为6,0,0或5,1,0或4,2,0或4,1,1或3,3,0或3,2,1或2,2,2,
共有个好运数;
当首位数字为2,则剩余三个数字分别为7,0,0或6,1,0或5,2,0或5,1,1或4,3,0或4,2,1或3,3,1或3,2,2,
共有个好运数;
当首位数字为1,则剩余三个数字分别为8,0,0或7,1,0或6,2,0或6,1,1或5,3,0或5,2,1或4,4,0或4,3,1或4,2,2或3,3,2,
共有个好运数;
所以共有个好运数.
故选:A.
8．答案：A
解析：因为是偶函数,所以关于直线对称,即,
由题知,又是偶函数,所以,
则,则,
又,所以,得到,
所以,又由,得到,
所以①,②,
由①②得到,所以函数是周期为的周期函数,
由①得到,又,所以,
故,
故选:A.
9．答案：BC
解析：对于A,这组数据共10个,,则第40百分位数为,A选项错误;
对于B,若,则,B选项正确;
对于C,在的展开式中,所有项二项式系数和为,令,各项系数和为,
即各项系数和与所有项二项式系数和相等,C选项正确;
对于D,样本点与的残差相等,则有,
得,D选项错误.
故选:BC.
10．答案：BCD
解析：对于A,令,解得,,
当时,,当,,
函数在上单调递增,在上单调递减,在单调递增,所以有两个极值点,0,故A错误;
对于B,由A知,
即三次函数的极大值大于0,极小值小于0,从而有三个零点,故B正确;
对于C,因为,则点是的对称中心,故C正确;
对于D,因为,结合函数图象,所以,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ACD
解析：记红球为1球,黄球为2球,绿球为3球,记事件,分别表示第一次,第二次取到i球,,2,3,
对于选项A,在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是,所以选项A正确;
对于选项B,因为,,又,,,
由全概率公式知,所以选项B错误,
对于选项C,如果第二次抽到红球,那么它来自黄色盒子的概率为,
所以选项C正确,
对于选项D,若小明获得块月饼可能的情况有三种:
①第一次从红色盒子内抽到红球,第二次从红盒子内抽到绿球,其概率为,
②第一次从红色盒子内抽到绿球,第二次从绿盒子内抽到红球,其概率为,
③第一次从红色盒子内抽到黄球,第二次从黄盒子内抽到黄球,其概率为,
所以小明获得块月饼的概率是,故选项D正确,
故选:ACD.
12．答案：135
解析：3名代表中医有1名男生,2名女生的选法有,
3名代表中医有2名男生,1名女生的选法有,
所以3名代表中既有男生又有女生的选法有,
故答案为:135.
13．答案：
解析：因为,
其中展开式的通项为（且）,
所以的展开式中含项为,
所以展开式中项的系数为.
故答案为:
14．答案：
解析：设,,则,
当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增;
则,则在上恒成立,即恒成立,
即恒成立,
则由切线不等式,当且仅当时取等,
知,
当且仅当时,取等,
从而在上有解等价与在上有解,
等价于在上有解,
令,则
当时,当时,,所以在上单调递增,
在上单调递减,,
时,;时,,
所以.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,
由,得,解得,
所以,
所以;
（2）由（1）可得,
所以,
则,
所以
,
所以.
16．答案：（1）2人,3人,3人,2人;
（2）分布列见解析,
解析：（1）依题意选择数学1的有人,选择数学2的有人,
选择数学3的有人,选择数学4的有人,
从10人中选3人共有种选法,
有2人选择数学2的选法共有种,有3人选择数学2的选法有种,
所以至少有2人选择数学2的概率.
（2）依题意的可能取值为,,0,1,2,3,
所以,
,
,
,
,,
所以的分布列为:
所以.
17．答案：（1）椭圆方程为,圆的方程为
（2）
解析：（1）由题意可得,解得,,
所以椭圆方程为,圆的方程为
（2）,
由题意可知直线,均有斜率,且不为0,
设直线AB方程为:,则:,
联立,
设,则,
进而可得,故,
则点Q到直线AB的距离为,
而,
故
令,,则,
所以,
故当即时,面积取最大值,
此时圆心到直线AB的距离,直线与圆有两个不同的交点,满足题意,
故面积最大值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时,则,
又,则,
所以函数在处的切线方程为,即;
（2）因为的定义域为,
又,
依题意在上恒成立,即在上恒成立,
即在上恒成立,
又,当且仅当时取等号,
所以,即a的取值范围为.
（3）依题意可得,
又函数的定义域为,且,
若,即,则,此时单调减区间为,不符合题意;
若,即,则的两根为,
所以当或时,
当时,
所以的单调减区间为,,单调增区间为,
所以当时,函数有两个极值点,,且,.
因为
,
要证,只需证,
令,,
则,所以在上单调递增,
又,,且在定义域连续,
由零点存在定理,可知在上唯一实根,
且当时,当时,
所以在上单调递减,上单调递增,
所以的最小值为,又,
因为,
当时,,又,所以,
所以恒成立,
所以,
所以.
19．答案：（1）答案见解析
（2）①;
②
（3）
解析：（1）;
;
令,,则,
所以表示以坐标原点为圆心,半径为的圆在第一象限部分及点,,
所以表示直线,,和曲线围成的区域的面积,
则;
因为,.
（2）①因为,
两边对求导可得,
令可得;
②因为,
又,
,,
,,
,,
,,
所以.
（3）因为,
所以,
其中,
,
所以,
所以.
课程
数学1
数学2
数学3
数学4
合计
选课人数
360
540
540
360
1800
0
1
2
3
P