西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数，则z的实部是(   )

A.-2 B. C.-1 D.

2、已知角的终边经过点，则的值为(   )

A. B. C. D.

3、如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形ABO的周长是(   )

A. B. C. D.

4、复数z满足，i为虚数单位，则复数(   )

A. B. C.或 D.或

5、为测量新校门的高度，在和新校门底部位于同一水平高度的共线三点A,B,C处分别测得校门顶端处仰角分别为,，且，则新校门的高度为(   )

A. B.  C. D.

6、如图，已知在中，，，DC和OA交于点E，若，则实数的值为(   )

A. B. C. D.

7、在矩形ABCD中，，，点E是AB中点，点P在BC边上，若，则(   )

A. B. C. D.

8、在锐角中，，，点D是BC边的中点，则AD的长度的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列命题正确的是(   )

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

B.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形等

D.底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱

10、已知复数，则下列结论中一定正确的是(   )

A.  B.若，则或

C.  D.若，则

11、已知函数，则下列说法正确的是(   )

A.的值域为

B.若，则的图像关于点中心对称

C.的最小正周期为，则

D.若，的增区间为

12、如图，已知圆O的半径为3，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(   )

A.

B.的取值范围是

C.当时，为定值

D.时，的最大值为28

三、填空题

13、已知向量，，若，则__________.

14、正三棱台的上底面边长，下底面边长，棱台的高为2，则该正三棱台的侧面积为__________.

15、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为__________.

16、已知点O是所在平面内一点，，，则向量4与所成夹角的最大值为__________.

17、如图，已知在直角梯形ABCD中，，，，，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积____________.

四、解答题

18、欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：

（1）将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；

（2）求的最大值.

19、在中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，若.

（1）证明：为等边三角形；

（2）若(1)中的等边边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.

20、在平面直角坐标系中，已知向量，，向量与间的夹角为.

（1）求的值；

（2）若向量与夹角为钝角，求实数的取值范围.

21、在中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，若.

（1）求角A；

（2）设，O为内一点，线段AO的延长线交BC于点D，________，求的面积.

22、在下面三个条件中选择一个补充在横线上，使存在，并解决问题.

①O为的重心，；

②O为的外心，；

③O为的内心，.

如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数,的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧.

（1）若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长；

（2）若点P在弧上，点M和点N分别在线段OF和线段OE上，若平行四边形OMPN区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值.

参考答案

1、答案：A

解析：, 故实部为 -2 .

故选：A

2、答案：D

解析：的终边经过点,

故选：D.

3、答案：B

解析：由题意可得：，

由直观图可得原图，如图所示，可知：，，，

可得，

所以原三角形ABO的周长.

故选：B

4、答案：C

解析：设,

由,得,

即, 解得 或.

或.

故选: C.

5、答案：B

解析：设校门高度为, 如图所示：

在地面上共线的三点 A,B,C处测得教学楼的 仰角分别为，，, 即, ，,

在中, , 即, 在中，

在中, , 即 ，

在 中,

同理可得

又, 则,

, 解得,

故

故选: B.

6、答案：C

解析：

A,O,E三点共线, 故, 解得

故选: C

7、答案：A

解析：如图, 设, 则:

，

且E为AB的中点

故选: A.

8、答案：D

解析：由, 根据正弦定理可得

点A的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆, 且 ,

，，

以BC 所在直线为x 轴, 垂直平分线为y 轴建立平 面直角坐标系,

可得点A的轨迹方程为,

当 时, 可得, 此时

AD的取值范围为 ).

故选: D.

9、答案：AC

解析：对A, 根据棱柱的特点知其侧棱都相等, 侧面都 是平行四边形，故A正确;

对B, 根据棱台定义知两个面不仅要平行, 还 要相似, 各条侧棱所在直线交于一点, 故 错 误;

对C, 若用与圆柱上下底面平行的平面去截圆 柱, 则得到截面为圆, 若用与圆柱轴截面平行 的的平面截圆柱（也可是轴截面）, 则得到矩 形, 若此截面保证与上下底面相交, 且交线相 互平行, 并且交线长不等, 此时截面为等腰梯 形, C正确;

对D, 若这两个是矩形的侧面为相对的侧面, 则此时另外两个面可以是平行四边形, 则此时 不是正四棱柱，故D错误.

故选: AC.

10、答案：BC

解析：

11、答案：ACD

解析：

12、答案：BCD

解析：

13、答案：

解析：向量 ， ，

则, 解得,

所以，,

所以.

故答案为:.

14、答案：

解析：取 ，AC的中点分别为M,N, 连接MN,,NB, 取 ,NB上靠近M，N 的三等 分点分别为 '，O,

连接, 过M 作, 垂足为H, 作图如 下:

根据题意可得： ,MN即为所求斜高;

易知四边形为平行四边形, 故可得

在 中,

,

在 中, ,

在,, , 故

,即斜高为,

所以该正三棱台的侧面积.

故答案为:.

15、答案：

解析：由题意在 中, 内角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,

因为, 所以, 即, 由正弦定理可得

因为，, 所以, 所以

又由余弦定理可得,

解得 或, 当 时, ,

, 又, 求得, 不符合题意舍去;

当 时, 的面积.

故答案为:.

16、答案：

解析：,

,

且

，

设 与 的夹角为, 则

，即

时取等号, 且, ,

的最大值为.

故答案为:.

17、答案：

解析：由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.

在直角梯形ABCD中，过D点作，垂足为E，

在中，，

所以，.

因为圆台的体积，

半球的体积，所以所求几何体的体积为.

18、答案： (1)

(2)2

解析：(1) 因为

所以.

(2)

所以

因为，所以，因此，

所以的最大值为2.

19、答案： (1)为等边三角形

(2)

解析：(1) 由题及余弦定理知，

即

又因为，所以，即，.

因此，为等边三角形.

(2)画法：①如图(1)，在等边中，取BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O；

在图(2)中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；

②在图(2)中，以为中点，在轴上取，在轴上取；

③连接，擦去辅助线轴和轴，得等边的直观图(图(3)).

因为是边长为2的正三角形，所以，BC边上的高为，

在中，，所以，

边上的高，

故，

故直观图面积.

20、答案： (1)

(2)

解析：(1)由题设知，

所以

即.

(2)因为向量与夹角为钝角，

所以，且与不能共线

即，所以，解得.

若与反向共线，则.

综上，实数的取值范围是.

21、答案： (1)

(2)见解析

解析：(1)因为

所以，即

因为，所以，

所以，又，所以，所以.

(2)若选条件①

因为O为的重心，且，所以，

又，所以，

即……(*)

由余弦定理得，即……(**)

联立(*)(**)可得，此时存在，为正三角形.

所以.

若选条件②

设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以.

若O为的外心，则AO为外接圆半径，所以，

条件②与此矛盾，此时不存在，故不选②.

若选条件③

因为O为的内心，所以，

由，得

因为，所以，即，

由余弦定理可得，即，

所以，即，

因为，所以，此时存在，为正三角形.

所以.

22、答案： (1)千米

(2)

解析：(1)由条件知，，又因为，，所以.

又因为当时，有，且，所以.

所以曲线段ABCD的解析式为，.

由，即，解得，

又因为，所以，，所以.

所以，即该学生走过的路BO的长为千米.

(2)由题可知，令，解得，

所以，，.

在中，，，，

则由正弦定理，可得，

故可得，

故

即

当时，，此时S取得最大值.