河北省石家庄市第四十一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故本选项符合题意；
C．最高次项是二次，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 点到直线的距离
C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【详解】解：要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D.
【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键.
3. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵是二元一次方程一个解，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
4. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F（CZ－2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为（ ）
A. 48×105B. 4.8×105C. 48×104D. 4.8×104
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除，幂的乘方，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除，幂的乘方，积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
6. 如图，直线相交于点于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角的性质结合垂线的性质得出求出即可．
【详解】解：∵，
∴，则．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角以及垂线的性质，得出度数是解题关键．
7. 的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方法则是解题的关键．
根据积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：原式．
故选：A．
8. 如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠3=∠5D. ∠3+∠4=180°
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，
∴∠1=∠2，可以得到a∥b，
∴不符合题意
B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，
∴∠2=∠3，可以得到a∥b，
∴不符合题意，
C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，
∴∠3=∠5，不能得到a∥b，
∴符合题意，
D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角
，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，
∴不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定，难度不大．
9. 已知下列结论：
①相等的角是对顶角；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同旁内角互补；
④垂直于同一条直线的两条直线平行；
⑤两点之间的线段就是这两点间的距离；
其中正确的有( )个
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质与判定，对顶角的定义，平行公理以及两点间的距离的定义，分别对每一项进行判断即可．
【详解】解：①两角具有公共顶点，且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两角称为对顶角．故相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，故②正确；
③同旁内角互补的前提条件是两直线平行，故③错误；
④在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故④错误；
⑤两点之间的线段的长度是这两点间的距离，故⑤错误；
则正确的有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定、对顶角的定义、平行公理以及两点间的距离的定义，掌握基本定义和性质是解题的关键．
10. 如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等以及折叠的性质列出方程求解即可．
【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠的性质和平行线的性质，掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
11. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则m的值为（ ）
A. ﹣1B. ﹣4C. 1D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】方程组两方程相加表示出x＋y，代入已知方程计算即可求出m的值．
【详解】解：方程组，
①＋②得：2x＋2y＝2m＋4，即x＋y＝m＋2，
∵x＋y＝1，
∴m＋2＝1，
解得：m＝−1，
故选：A．
【点睛】此题考查了根据方程组解的情况求参数，关键是将原方程组整理为适当的形式．
12. 规定三角“”表示，方框“”表示．例如：，根据这个规定的值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了新定义运动，有理数的乘法，零指数幂和负整数指数幂运算，
根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则列出式子，然后根据有理数的乘法，零指数幂和负整数指数幂求解即可．
【详解】解：由题意得，
．
故选：B．
13. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．符合平方差公式要求，故A正确
B．中和的系数均互为相反数，不符合要求，故B错误；
C．符合平方差公式要求，故C正确；
D．符合平方差公式要求，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：．
14. 我国古代有这样一道数学题：“马五匹，牛六头，共价五十四两（我国古代货币单位）；马四匹，牛三头，共价三十六两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据马五匹，牛六头，共价五十四两（我国古代货币单位）；马四匹，牛三头，共价三十六两，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
15. 要使（x2＋ax＋1）（x－2）的结果中不含x2项，则a为（ ）
A. －2B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x2项确定出a的值即可．
详解】解：原式=，
由结果中不含项，得到a-2=0，
解得：a=2，
故选：D．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平移的性质，平行线的判定，根据平移的性得到相关结论，进行逐项判断即可．
【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，
∴，，
，，
∴，，即，故①和②正确；
∵四边形的周长，
∴四边形的周长，故③正确；
∵，
∴，故④正确，
故选：D．
二、填空题（共3小题，17、18每小题3分，19题每空2分，共10分）
17. 如图，已知，，则_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据两直线平行同位角相等即可得的度数，然后根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 若则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案
【详解】解：当时，
．
故答案为：．
19. 我们知道，同底数幂的乘法法则为：am·an＝am＋n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h(m＋n)＝h(m)·h(n)，请根据这种新运算填空：
(1)若h(1)＝，则h(2)＝________；
(2)若h(1)＝k(k≠0)，则h(n)·h(2017)＝________(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数)．
【答案】 ①. ②. kn＋2017
【解析】
【详解】(1)∵h(1)＝，∴h(2)＝h(1)·h(1)＝×＝.
(2)∵h(1)＝k，∴h(2)＝h(1)·h(1)＝k2，
∴h(3)＝h(1)·h(2)＝k3，
同理可得h(4)＝k4，h(5)＝k5……∴h(n)＝kn.
∴h(n)·h(2017)＝h(n＋2017)＝kn＋2017.
故答案为（1）；（2）kn＋2017.
点睛：本题考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共68分）
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程组：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，加减法解二元一次方程组，对于（1），根据单项式乘以单项式法则计算；
对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算；
对于（3），用加减消元法消去x，再代入求出y，可得答案．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
原式
，得，
解得．
将代入①，．
所以方程组的解是．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的换件求值，．利用单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项，最后把已知数据代入求出答案．
【详解】解：
当时，原式．
22. 根据解答过程填空：
如图，已知，试说明：．
证明：（已知）
__________（__________）
__________（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
__________（__________）
（__________）．

【答案】；内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；等量代换
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质证明即可．
【详解】证明：（已知）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
（两直线平行，同位角相等）
（等量代换）．
故答案：；内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．
23. 观察下列算式：
①
②
③
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母n的式子表示出来，并用学过的整式乘法的有关知识，说明其成立的理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字型规律，有理数的混合运算，整式的乘法运算：
（1）根据题干信息，直接作答即可；
（2）根据前4个算式，得出含有的式子的规律，即可作答．检查等式左边的数值与右边的数值是否相等，若相等即写出的式子一定成立，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
第4个算式：
【小问2详解】
解：一定成立，理由如下：
依题意，①
②
③
④
……
以此类推
第个算式 ：
等式的右边的数
等式的左边的数为，
即等式左边的数值与右边的数值是相等，故一定成立．
24. 已知，如图直线相交于点O，过点O作．
（1）若，求的度数；
（2）若射线，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】此题考查了垂直的定义、对顶角的性质、余角的性质等知识，弄清各角之间的关系是解题的关键．
（1）根据对顶角相等求出，由垂直定义得到，利用角的和差即可得到答案；
（2）分在上方和在下方两种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
与的数量关系是：或，理由如下：
①当在上方时，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当在下方时，如图2所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
综上所述：或．
25. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进黑.白文化衫各几件？
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】(1)学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)该校这次义卖活动共获得3800元利润．
【解析】
【分析】（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，根据两种文化衫200件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件．
(2)(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元)．
答：该校这次义卖活动共获得3800元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26. 在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起（直角顶点重合），
当时，__________；
（2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束．
探索的一边与的一边平行的情况．
①求当时，如图4所示，的大小；
②当的一边与的一边平行时，请直接写出的其余所有可能值．
【答案】（1）30 （2）①；②或或或
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）①过O作，利用平行线的性质求得，即可求解；
②利用平行线的性质分情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：①在图4中，过O作，
AI
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当时，如图，则；
AI
当时，如图，则；
AI
当时，如图，则，
∴；
AI
当时，如图，则，
∴，
AI
综上，满足条件的的其余所有可能值为或或或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
批发价(元)
零售价(元)
黑 色 文化衫
25
45
白 色 文 化 衫
20
35