2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简ME+EN−PN=( )
A. MPB. MNC. NMD. PM
2.i2023−i2024=( )
A. 1+ 2iB. 1− 2iC. −1−iD. 1−i
3.不等式(x−2)(1−2x)⩾0的解集为( )
A. {x|x>12}B. {x|12⩽x⩽2}
C. {x|x⩽12或x⩾2}D. {x|x⩽12}
4.下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是( )
A. f(x)=3−xB. f(x)=x2+xC. f(x)=−|x|D. f(x)=−3x−1
5.如图所示，在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(−1,2)，C(−1,0)，D(1,−2)，则四边形ABCD的直观图面积为( )
A. 4 2
B. 3 2
C. 2 2
D. 2
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示，则函数f(x)=( )
A. f(x)=sin(2x+π6)
B. f(x)=2sin(2x+π3)
C. f(x)=sin(2x+π3)
D. f(x)=2sin(2x+π6)
7.若向量a，b的夹角是π3，a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 3π4
8.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2+ 3i，则( )
A. z的虚部为 3B. z是纯虚数
C. z的模是 7D. z在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知函数f(x)= 3sin(2x+π6)，则下列说法错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. |f(x)|为偶函数D. f(|x|)是周期函数
11.如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则( )
A. AH与CF不能构成一组基底
B. OA+OC=2 2OB
C. AG在AB上的投影向量的模为 2
D. PA⋅PB的取值范围为[−14,3+2 2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f(x)=ax2a+b+b是幂函数，则f(a+b)= ______．
13.已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC，则O是△ABC的______心.(填“重”或“垂”或“内”或“外”)
14.在三棱锥P−OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB= ______.(用角度表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知在正四棱锥S−ABCD中，SA=5，AB=6．
(1)求四棱锥S−ABCD的表面积；
(2)求四棱锥S−ABCD的体积．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,2),b=(−2,−1),c=a+2b．
(1)若(a−b)//(b+mc)，求实数m的值；
(2)若向量d满足(a+d)⋅(c−d)=−d2且d⊥(a+b)，求向量d的坐标．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2,c=2,csC=− 33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，|DA|=2，∠CDA=π3，CB=12DA，E为AB的中点，DP=λDC(λ≠0)．

(1)若PE=34DA+14DC，试确定点P在线段DC上的位置；
(2)若|DC|=t，当λ为何值时，|PE|最小？
19.(本小题17分)
已知f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2是偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(3)若锐角α满足f(−csα)=f(tanα)，证明：cs2α+cs4α=1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：ME+EN−PN=MN−PN，
=NP−NM=MP．
故选：A．
利用平面向量的加法和减法运算求解．
本题主要考查向量的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：i2023−i2024=i2022⋅i−i2024=(i2)1011⋅i−(i2)1012=(−1)1011⋅i−(−1)1012=−i−1．
故选：C．
利用i2=−1和幂的运算性质计算可得结果
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：不等式(x−2)(1−2x)⩾0可化为(x−2)(2x−1)⩽0，
所以12⩽x⩽2，
故原不等式的解集为{x|12⩽x⩽2}．
故选：B．
根据一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A，f(x)=3−x是单调递减函数，故A不正确；
对于B，f(x)=x2+x=(x+12)2−14，在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,+∞)上单调递增，故B正确；
对于C，当x>0时，f(x)=−|x|=−x，函数单调递减，故C不正确；
对于D，f(x)=−3x−1，由y=−3x向右平移1个单位变换得到，
所以f(x)=−3x−1在区间(0,1)和(1,+∞)上单调递增，故D不正确．
故选：B．
根据基本函数的解析式直接判断单调性即可．
本题考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：依题意，由于A(1,0)，B(−1,2)，C(−1,0)，D(1,−2)，
则四边形ABCD是平行四边形，AC=BC=2，BC/​/AD，且AD与BC之间的距离d=2，
则▱ABCD的面积S=2×2=4，
则四边形ABCD的直观图面积S′= 24S= 2．
故选：D．
根据题意，由A、B、C、D的坐标可得四边形ABCD是平行四边形，进而求出其面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法与应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由图知，T=π，则ω=2ππ=2．
由图知，f(x)在x=π6取得最大值，且图象经过(−π12,0)，
故f(−π12)=Asin(−π6+φ)=0，
所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
函数又经过(0,1)，故f(0)=Asinπ6=1，得A=2．
所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x+π6)．
故选：D．
通过三个连续零点的值可以求出函数f(x)的周期，根据最小正周期公式可以求出ω的值，将特殊点代入解析式中，可以求出φ，A的值，进而确定函数解析式．
本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：设向量c与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
向量a，b的夹角是π3，a是单位向量，|b|=2，
则a⋅b=1×2×csπ3=1，
c=2a+b，
则c2=4a2+b2+4a⋅b=4+4+4=12，解得|c|=2 3，
c⋅b=(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=6，
故csθ=c⋅b|c| |b|=62 3×2= 32，解得θ=π6．
故选：A．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，
过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，
连接OC，OE，则OC为外接球的半径，
由△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE= 32×2= 3
又AC=3，则由余弦定理可得cs∠AEC=AE2+CE2−AC22AE⋅CE=3+3−92× 3× 3=−12，
所以∠AEC=120°，
因为P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，
所以CG=23CE=2 33，EG=13CE= 33，
可得△OPE≅△OGE，可得∠OEC=60°，而∠OGE=90°，
所以OG= 3EG=1，
在△OGC中：R2=OC2=OG2+CG2=12+(2 33)2=73，
所以外接球的表面积S=4πR2=28π3．
故选：C．
取BD的中点E，设△ABD和△BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC=60°，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对A：由虚部定义知z的虚部为 3，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：|z|= 22+( 3)2= 7，故C正确；
对D：z在复平面内对应的点为(2, 3)，位于第一象限，故D错误．
故选：AC．
根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
对于B，f(π12)= 3sin(π6+π6)= 3sinπ3=32≠0，故B错误；
对于C，|f(−π6)|=| 3sin(−π3+π6)|=| 3sin(−π6)|= 32，
|f(π6)|=| 3sin(π3+π6)|=| 3sinπ2|= 3，则|f(π6)|≠|f(−π6)|，
故|f(x)|不为偶函数，故C错误；
对于D，显然f(|x|)的图象关于y轴对称，如下图，结合正弦型函数的周期性，
可知f(|x|)在y轴的一侧是周期函数，而在R上不是周期函数，故D错误．
故选：BCD．
求出f(x)的最小正周期可判断A；f(π12)≠0可判断B；由|f(π6)|≠|f(−π6)|可判断C；画出f(|x|)的图象可判断D．
本题主要考查了正弦函数的周期性，奇偶性，对称性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：∵正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，
对于A选项：连接AF，∵∠AOB=45°，∴∠OAB=180°−45°2=67.5°，
∵∠AOF=3×45°=135°，
∴∠OAF=180°−135°2=22.5°，
∴∠BAF=67.5°+22.5°=90°，
以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建系如图，
则A(0,0),B(1,0),H(− 22, 22),F(0, 2+1),C(1+ 22, 22)，
∴AH=(− 22, 22),CF=(−1− 22, 22+1)，
∴− 22×( 22+1)− 22×(−1− 22)=−12− 22+ 22+12=0，
∴AH//CF，∴AH与CF不能构成一组基不能构成一组基底，故A选项正确；
对于B选项：∵O(12, 2+12)，A(0,0),B(1,0),C(1+ 22, 22)，
∴OA=(−12,− 2+12)，
OC=(1+ 22, 22)−(12, 2+12)=( 2+12,−12)，
OB=(1,0)−(12, 2+12)=(12,− 2+12)，
∴OA+OC=( 22,− 2+22)= 2OB，故B选项错误；
对于C选项：∵G(− 22, 22+1)，A(0,0)，B(1,0)，
∴AG=(− 22, 22+1)，AB=(1,0)，
∴AG⋅AB=− 22×1+0×( 22+1)=− 22，|AB|=1，
∴AG在AB向量上的投影向量的模长为|AG⋅AB||AB|= 22，故C选项错误；
对于D选项：取AB的中点M，则PA+PB=2PM，PA−PB=BA=2MA，
∴(PA+PB)2=4PM2，(PA−PB)2=4MA2，
两式相减得：PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−14，
当点P与点E或F重合时，PM2最大，最大值为AM2+AF2=14+( 2+1)2=134+2 2，
∴PA⋅PB的最大值为134+2 2−14=3+2 2，
当点P与点M重合时，PM2最小为0，∴PA⋅PB的最小值为−14，故D选项正确．
故选：AD．
连接AF，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH与CF平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算判断C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到PA⋅PB的最值，即可判断D．
本题考查平面向量的运算和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：根据f(x)=ax2a+b+b是幂函数，及幂函数定义，
可知a=1，b=0，所以f(x)=x2，
所以f(a+b)=f(1)=12=1．
故答案为：1．
根据题意，由幂函数的系数为1，常数项为0，即可得a=1，b=0，代入计算即可求得结果．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
13.【答案】垂
【解析】解：因为OA⋅OB=OB⋅OC⇔OB⋅(OA−OC)=0⇔OB⋅CA=0⇔OB⊥CA，同理OA⊥CB，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．
故答案为：垂．
由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成OB⋅CA=0，即得OB⊥CA，同理可得另外两个垂直关系，即得点O为其垂心．
本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．
14.【答案】90°
【解析】解：因为PO⊥平面OAB，所以PA在平面OAB上的投影为OA，
所以PA与平面OAB所成的角的平面角为∠PAO，
所以△AOP是直角三角形，∠PAO=30°，
又OP=10，所以OA=OPtan30∘=10 3，
因为PO⊥平面OAB，所以PB在平面OAB上的投影为OB，
所以PB与平面OAB所成的角的平面角为∠PBO，
所以△BOP是直角三角形，∠PBO=45°，
又OP=10，所以OB=10，
又AB=20，所以在△AOB中，
AB2=OA2+OB2，所以∠AOB=90°．
故答案为：90°．
根据线面角的定义，结合题设条件即可求得．
本题考查直线与平面所成角的求法，属中档题．
15.【答案】解：(1)连接AC，BD相交于O，连接SO，
过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，
在直角三角形SOB中，SO= SB2−OB2= 52−(6 22)2= 7，
在直角三角形SOE中，SE= SO2+(12AB)2= ( 7)2+(62)2=4，
S△BCS=12BC⋅SE=12×6×4=12，
S表=S侧+S底=4S△BCS+62=48+36=84，
所以正四棱锥S−ABCD的表面积为84．

(2)V=13SABCD⋅SO=13(6×6)× 7=12 7，
所以正四棱锥S−ABCD的体积为12 7．
【解析】(1)根据表面积公式即可求解；(2)根据体积公式即可求解．
本题考查锥体的体积与表面积，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由a=(3,2),b=(−2,−1)，
得c=a+2b=(3,2)+2(−2,−1)=(−1,0)，
所以a−b=(5,3),b+mc=(−2−m,−1)，
由(a−b)//(b+mc)，得5×(−1)−3×(−2−m)=0，
解得m=−13；
(2)若向量d满足(a+d)⋅(c−d)=−d2且d⊥(a+b)，
设d=(x,y)，
所以(a+d)⋅(c−d)=(3+x,2+y)⋅(−1−x,−y)=−x2−y2−4x−2y−3，d2=x2+y2，
由(a+d)⋅(c−d)=−d2，得−x2−y2−4x−2y−3=−x2−y2，
所以4x+2y+3=0①，
由d⊥(a+b)，得d⋅(a+b)=0，所以(x,y)⋅(1,1)=0，则x+y=0②，
由①②得x=−32,y=32，
故d=(−32,32)．
【解析】(1)先根据a,b的坐标，得到a−b,b+mc的坐标，再由(a−b)//(b+mc)求解；
(2)设d=(x,y)，由(a+d)⋅(c−d)=−d2,d⊥(a+b)求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，由csC=− 33，可得sinC= 1−cs2C= 63，
又由csinC=bsinB及b= 2,c=2，可得sinB= 33．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得3a2+2 6a−6=0，
由a>0，解得a= 63．
所以sinB= 33,a= 63．
(2)由(1)知，a= 63,sinC= 63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12× 63× 2× 63= 23．
【解析】(1)根据同角的三角函数关系求出sinC，结合正、余弦定理计算即可求解；
(2)由(1)，结合三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)过C作CF/​/AB交AD于F，如图所示：
因为CB=12DA，所以DA/​/BC，DA=2BC，
则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中点，
所以BE=12BA=12CF=12DF−12DC=14DA−12DC，
因为DP=λDC，所以PC=(1−λ)DC，
所以PE=PC+CB+BE=(1−λ)DC+12DA+14DA−12DC=(12−λ)DC+34DA，
又因为PE=34DA+14DC，
所以12−λ=14，解得λ=14，
所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处；
(2)因为DP=λDC(λ≠0)，所以PC=PD+DC=−λDC+DC=(1−λ)DC，
所以PE=PC+CB+BE=(1−λ)DC+12DA+14DA−12DC=(12−λ)DC+34DA，
因为DC⋅DA=2tcsπ3=t，DC2=t2，DA2=4，
所以PE2=(12−λ)2t2+94+32(12−λ)t=[(12−λ)t+34]2+2716，
所以当(12−λ)t=−34，即λ=12+34t时，PE2取得最小值2716．
所以|PE|的最小值为3 34，此时λ=12+34t．
【解析】(1)结合图形，先证得四边形ABCF是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点P在线段DC上的位置；
(2)结合(1)中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到PE2关于λ的二次表达式，从而可求得|PE|最小以及相应λ的值．
本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)易知f(x)的定义域为R，对∀x∈R，都有−x∈R，
因为f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2是偶函数，
所以f(x)−f(−x)=lg24(4x+12+2)−lg2(4−x+12+2)−2ax=lg24x+12+2412−x+2−2ax=lg21+4x1+4−x−2ax=(2−2a)x=0，
所以a=1；
证明：(2)因为a=1，f(x)=1+lg2(4x+1)+(12x−1)2=lg2(2x+2−x)+14x2+2x，
设x1>x2>0，
则f(x1)−f(x2)=lg22x1+2−x12x2+2−x2+(x1+x2)(x1−x2)4，
又2x1+2−x1−(2x2+2−x2)=2x1−2x2+2x2−2x12x1+x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，
因为x1>x2>0，所以2x1−2x2>0，2x1+x2>1，2x1+x2−1>0，
所以(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x22x1>0，
所以2x1+2−x1>2x2−2−x2>0，2x1+2−x12x2+2>1，lg22x1+2−x12x2+2>0，
又14(x1+x2)(x1−x2)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
解：(3)因为f(x)是偶函数，
所以f(−csα)=f(csα)=f(tanα)，
因为α为锐角，所以csα>0，tanα>0，
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又csα=tanα=sinαcsα，
所以sinα=cs2α=1−sin2α，sinα+sin2α=1，
所以cs2α+cs4α=sinα+sin2α=1．
【解析】(1)根据偶函数的定义可得f(x)−f(−x)=0，列方程求a的值；(2)根据单调性的定义证明结论；(3)结合偶函数和单调性的性质可得csα=tanα，结合同角三角函数关系证明结论．
本题主要考查了偶函数定义的应用，还考查了函数单调性定义的应用，同角基本关系的应用，属于中档题．